磨光集及其應用

劉保乾

（西藏自治區組織編制信息管理中心，西藏拉薩850000）

磨光集及其應用

劉保乾

（西藏自治區組織編制信息管理中心，西藏拉薩850000）

提出了磨光集的概念，并詳述了計算磨光集的算法和程序；討論了磨光集在發現不等式、三角形不等式分拆證明及在量級研究中的應用；給出了關于R，r和s的三角形不等式的試探性分拆程序.

磨光集；Bottema軟件；agl2012程序；不等式自動發現

0 引言

文獻[1]利用隨機數驗證程序編寫了不等式磨光程序，即通過對一個給定的非負表達式集進行打磨，最終達到加強不等式的目的.由于隨機數驗證程序多數情況下得不到最佳系數的精確值，故文獻[1]中的不等式磨光器有局限性.本文通過對優秀機器證明軟件Bottema有關確定最佳值的命令進行修改，使不等式自動發現與判定程序agl2012能夠以程序方式調用Bottema軟件，并得到最佳值，從而實現最佳不等式的自動發現.在文獻[1]的基礎上，提出了磨光集的概念，并編寫了磨光集計算程序，專題討論了磨光集的若干應用.

1 調用Bottema軟件編程

Bottema軟件是一款十分優秀的機器證明軟件.Bottema軟件的作用不僅僅在于它強大的功能，而且還在于它影響了一個研究群體----包括本文作者以及文獻[2]和文獻[3]等作者在內（暫且不算那些校院內專門從事機器證明研究的眾多碩士和博士），都是通過Bottema軟件的輻射和引領邁入機器證明之門的.在此對Bottema軟件的影響力進行專門強調，不僅不多余而且十分必要，這有助于機器證明的進一步研究，有助于Bottema軟件應用潛力的挖掘.

以前人們對Bottema軟件的應用，大多停留在較低的層次上，即僅僅使用了Bottema的基本功能，即以輸入指令、等待響應的人機交互方式使用軟件，而且軟件也

沒有形成標準的有輸入參數和輸出參數的功能模塊.對此，筆者曾在中國不等式研究小組網站上建議讓有關命令設置返回值，以便于應用程序直接調用，以獲得更高級的應用形式.雖然目前Bottema軟件的版本已經做了一些改進（如判定命令xprove增加了返回值true或false），但在形成標準化模塊方面仍顯不足.在agl2012程序的應用層面上，由于對Bottema軟件的一些功能應用要求十分迫切，在此情況下，筆者對Bottema軟件的源程序進行了研讀，形成了Bottema軟件的一個修改版本，現暫命名為Bottemap，以解決實際問題.Bottemap主要做了如下修改工作：

（1）過濾了有關打印命令，從而使應用程序不再出現Bottema軟件的詳細提示信息，使運算界面更簡潔，并提高了運算速度；

（2）在目前的版本中，由于Bottema軟件判定三角形不等式的prove命令不是總能夠返回true或false，故用agl2012的代數化命令aptoxp將所有有關表達式代數化，統一用Bottema軟件的xprove命令作為證明器，因為在返回值方面，xprove命令比prove命令更完善一些.

（3）在Bottema軟件中，用aa表示銳角三角形，為了解決銳角三角形不等式用xprove命令的判定工作，可用aptoxp將約束條件同步代數化，如用aptoxp（cmp（a^2+b^2-c^2））>=0代替條件參數aa，以使用xprove命令的統一格式.

（4）Bottema軟件的優越功能之一是能夠確定最佳參數或系數（通常是給出關于最佳結果的一個方程式），其主要命令是findmax（三角形）和xmax（代數）.但這些最優化命令均按照便于閱讀的形式輸出，沒有返回值.經分析Bottema軟件源程序知，最佳值的最終計算結果在f3參數中，這樣將程序中的print f3（打印輸出）改為return f3，這樣就可以實現由程序方式得到Bottema的計算結果，這為拓展應用創造了條件.

agl2012程序主要應用了Bottema軟件的兩個功能：一是正性判定功能.由于agl2012程序自動發現的結果是用隨機數驗證程序測試的，最終要經過證明器判定.在最終結果判定方面，Bottema軟件是優先考慮的證明器之一.二是確定最佳系數功能.由于修改后的Bottemap程序可以直接返回計算結果（雖然只是一個關于結果的方程式），這為自動發現最佳不等式創造了條件.

由于3次以上的方程精確根往往不容易得到，故在用agl2012程序調用由Bottema軟件計算的最佳值時，常限制在3次方程以下.為了得到惟一的符合條件的解，可結合隨機數驗證程序進行編程，即如果方程是一次的，則直接求解；如果是二次的，則分兩種情況：若一正一負，直接求正根；若兩個正，此時可調用隨機數驗證程序otf直接測試取哪個根時不等式成立.

2 最簡集和磨光集

2.1 過濾掉等價的表達式

如果一些表達式，是通過對另一些表達式乘非零常數得到的，則稱這些表達式是彼此等價的.如s2-16Rr+5r2，2s2-32Rr+10r2，是彼此等價的.又如，x2+y2+z2-xy-xz-yz，（y+z-2x）2+（z+x-2y）2+（x+y-2z）2，

（y-z）2+（z-x）2+（x-y）2，也是彼此等價的.

在不等式自動發現結果集中，常常有一些結果是等價或重復的，此時需要將其中等價的元素過濾掉，為此需要編寫過濾程序ngldj.ngldj的主要語句是：

其中glxs的作用是過濾掉一個整系數多項式數據集中每個元素諸項系數的最大公約數.

例1有數據集

試過濾掉D中的等價元素.

解在讀入agl2012程序的Maple環境中，鍵入命令ngldj（D），立即輸出：

2.2 最簡集

兩個彼此不等價的半正定表達式f和g，如果存在正數k，使不等式f≥kg成立，則稱g能夠把f拆開.

設有半正定表達式構成的集合A，且A中的元素互不等價，用ai表示A的元素，n表示A中元素的個數.如果A中的某個元素ai不能被異于自身的其它元素拆開，則稱ai為A的最簡式.所有A的最簡式全體構成A的最簡集.現討論求最簡集的算法：考察測試式ei=ai-kaj（1≤i，j≤n，i≠j），對某個具體的i，當1≤j≤n時，如果存在正數k使ei≥0成立，則將ai拋棄，否則將ai存入結果變量J中，直到i取遍不超過n的所有自然數，這樣得到的集合J就是A的最簡集，記為Z（A）.據此算法就可以編寫確定一個集合最簡集的程序ljdl.

例2在ΔABC中，確定數據集

的最簡集，其中wa，wb，wc表示三角形內角平分線.

解對數據集T中的每兩個元素ti，tj（i，j＝1，2，3），驗證是否存在正數k，使不等式ti-ktj>0，如果k存在，則ti即T的非最簡式，經測試知，ti（i＝1，2，3）皆非最簡式，故Z（T）為空集.

例3在agl2012環境下，鍵入命令

很快輸出J集合的最簡集：

由量級（參閱文獻[4]）的定義可知，如果兩個表達式不能互相拆開，則這兩個表達式的量級是彼此獨立的.由此可知，最簡集中的元素之間的量級一定是彼此獨立的.而一個數據集中各元素的量級如果相等，則這個數據集的最簡集必是空集.

2.3 磨光集

以下敘述的算法類似于文獻[1]中的磨光器算法，但也有所變化.

在上面討論最簡集時，對于集合A和（1）式，如果正數k存在，則將ai拋棄了，其實，對于不等式

來說，可以借助Bottema軟件計算最佳kmax.用反證法結合量級的定義易證，E（ai-kmaxaj）是一個異于E（ai）和E（aj）的新量級.由此可得到不同于最簡集的另一種算法：在不等式（1）中，對某個具體的i，當1≤j≤n時，如果正數k存在，則計算最佳k，并將aikmaxaj存入結量變果A1中，否則將ai存入A1中，直到i取遍不超過n的所有自然數，稱這個過程為對集合A進行了一次打磨.很顯然，還可以對A1繼續進行打磨，如此循環，直到得到的集合中的元素數目不再發生變化為止.稱最后得到的集合為集合A的磨光集，記為G（A）.顯然對磨光集進行一次打磨將得到其自身.

在不等式（1）中，如果最佳系數kmax是一個高次方程的根，此時ai-kmaxaj將無法精確表示，在實際研究中，這種情況要舍棄，如此得到的磨光集稱為集合A的不完全磨光集.在實際編程中，當用Bottemap軟件的xmax命令計算出最佳系數所在的方程后，判斷是否為2次以下，以得到精確表達式，這樣就可編寫出計算不完全磨光集的程序（簡稱為磨光器）.由于磨光集的實際計算很費時，為了減少數據量，下面給出一個簡化算法，即在不等式（1）中，保證aj總在Z（A）中取值，ai總在A-Z（A）中取值，從而得到磨光器botkmgq.磨光器botkmgq的算法包括兩部分，即BOTK和BOTKMGQ.

算法BOTK：

B1.輸入一個沒有等價元素的數據集expr；

B2.計算expr的最簡集Z（exp r），并置入集合變量exa中；從expr中取掉exa，并放入變量exb中；

B3.用exb中的元素exb[i]和exa中的元素exa[j]建立不等式exb[i]-kexa[j]≥0，調用Bottema確定最佳值命令計算最佳k所在的方程，如果方程是一次式，則解出k，從而得到半正定式exb[i]-kexa[j]，將這個表達式收集在temp變量中，直到下標i跑遍exb中的所有元素、下標j跑遍中exa的所有元素為止.

B4.將temp與最簡集合并Z（exp r），即執行語句temp:=temp union exa；

B5.輸出temp.

算法BOTKMGQ：

L1.輸入一個沒有等價元素的數據集ex，并將這個數據集置入變量tempb中；

L2.計算botk（tempb），并將計算結果置入變量tempa中；

L3.過濾tempa中的等價元素，即作賦值運算tempa:=hjxs（tempa），并比較tempa和tempb集合；

L3.1如果tempa和tempb相同，則輸出tempa，停機；

L3.2如果tempa和tempb不相同，則計算botk（tempa），并將計算結果置入變量tempb中，轉向L2.

注1在BOTKMGQ算法中，過濾掉tempa中的等價元素是十分必要的，否則將會造成磨光集中的元素丟失.

例4設x，y，z≥0，LD＝{（x+y+z）3-3（x+y+z）（xy+zx+yz），（x+y+z）3-27xyz，3（x+y+z）（x2+y2+z2）-（x+y+z）3}，試求G（LD）.

則有G（LD）=G（LDD），用Bottema軟件驗證知，有最佳不等式

化簡系數，得

例5試說明數據集

的磨光集不可精確表示出來.

解用Bottema軟件驗證知，不等式LD[1]≥kLD[2]中的最佳k為方程

的一個實根，而這個方程的根不可精確表示，故LD的磨光集不可精確表示出來.

當集合中的元素較多時，計算磨光集十分費時，甚至不可能計算，此時可以考慮將集合分割為若干子集，再計算子集的磨光集.設A=A1∪A2…∪An，計算

T和G（A）是怎樣的關系很有趣.以（2）式為依據，可編寫分塊計算（部分）磨光集的程序botkmgqcut.

即使采用了分塊策略，也常常計算時間超長，而得不到最終磨光集，此時可考慮設置一些中間變量（如tempa）為全局變量，以傳出中間計算結果，這樣做，至少從發現新不等式的角度也是可取的.

注2由例5知，磨光集通常是不可以精確表示出來的，故平時研究所得的通常是某個集合的不完全磨光集，在不致誤解的情況下，也為了方便，通?；\統的稱為磨光集，而省略了“不完全”三個字.

3 磨光集的應用

3.1 發現不等式

例6鍵入命令：

則輸出優美不等式

3.2 發現恒等式

由于磨光集中的元素均是最簡式，故磨光集中的不等式也是（相對于數據集）最佳不等式，當然在磨光集中也會出現最佳不等式的另一種形式--恒等式.

例7鍵入命令：

經過3 767.094 s運算，輸出兩個量級彼此獨立的多項式

同時，輸出5 237個恒等式.但這些恒等式中，有些是等價的（僅相差一個系數），為此需要用hjxs函數過濾，最后得到1 229個恒等式，如有優美形式：

例8以三角形中的表達式作為數據，用磨光器程序可發現優美恒等式

3.3 發現擴展Si類不等式

有特殊零點的多項式歷來受到人們的關注，因為這類不等式往往很強.Si類不等式（多項式）是文獻[5]定義的，其含義是：n元多項式（不等式）當有n-i個變元相等時取值為零.為了引用方便，也為了把問題歸類，文獻[6]定義了擴展Si類不等式（多項式），它的含義是：不僅當變元相等時不等式可取到等號，而且當變元成某種比例關系時不等式也可取到等號.由于磨光集是由最佳不等式構成的集合，故磨光集中經常會出現擴展Si類不等式.

例9鍵入命令：

則運算幾個小時后仍不見終止跡象，這時人工中斷，顯示tempa變量（即顯示中間計算結果），其中有7 000多個結果，鍵入命令：

最后輸出107個結果，其中有優美形式：

類似可發現三角形中取等號條件為a=b=kc的不等式（擴展Si類不等式），如

3.4 實現關于R，r和s的三角形不等式分拆證明

三角形中關于半周長s，外接圓周半徑R，內切圓半徑r的不等式，一般利用基本不等式

和Gerretsen不等式

再結合函數的單調性進行證明，而且這種方法十分流行.1999年前后，江蘇的褚小光采用了一種方法，這種方法的特點是以不等式（3），（4）及Euler不等式

以及楊學枝不等式

為基礎進行分拆證明.1999年，在江蘇蘇州召開的第二次全國不等式研究學術交流會上，褚先生曾在會議上交流過這種分拆方法，并在中國不等式研究小組內刊《不等式研究通訊》上給出了大量的分拆例子，至此以后，這種s-R-r分拆方法普遍被采用.

在用褚小光的分拆方法證題時，常常會有這種情況：在分拆較弱的不等式時，用不等式（4）和（5）就可以完成，但在分拆較強的不等式時，必須借助于基本不等式（3）和楊學枝不等式（6）.這就給了我們一個暗示：要分拆證明一些不等式，還需要新發現一些更強的不等式.

在以前s-R-r分拆證明中，可見到的例子多是針對s的偶次方情形，對s的奇次方情形很少見到.文獻[7]指出，s的奇次方情形有獨特的證題意義，但文獻[7]沒有對此展開討論.實際上，利用磨光集可以部分解決這個問題，具體思路是：通過agl2012程序的自動發現命令發現關于s-R-r的二次不等式，從而得到數據集，然后計算這個數據集的磨光集，最后以磨光集作為分拆集[8]，再用文獻[6]中的算法實現不等式的分拆證明.

例10試建立一個關于三角形中s，R，r的二次不等式分拆集.

解首先用agl2012程序的命令gc_ex（1，2，{s，R，r}）得到表達式

以ki為循環變量，建立程序，從而得到具體系數的表達式，再調用隨機數驗證程序進行驗證，從而發現不等式.為了節約時間，并得到有理系數的不等式，可加入語句：

if has（bds，{sqrt（3）}）=false then…end if.

則經過28 677.188 s運算后輸出最佳不等式集F=F1∪F2，其中集合F1中是取等號條件僅為a=b=c的普通不等式，集合F2中是擴展Si類不等式（即取等號條件為a=b=kc的不等式）.

F就是想要得到的分拆集.令人意想不到的是，分拆集F中的不等式能夠拆開Gerrsenet不等式（4）的左半部分，即有分拆式：

由于分拆單位小了，故能夠分拆的范圍擴大了.

這樣，以F作為分拆集，按文獻[6]中的算法，調用文獻[9]中的解方程組程序，就可以得到關于R，r與s的三角形不等式的分拆命令tganyfc（一般三角形）和tgrjfc（銳角三角形）.

注3最簡式是相對于某個集合而言的，最簡集也是相對于某個集合而言的，磨光集同樣如此.當磨光集作為分拆集出現時，為了解決更多的問題，相對于的那一個集合通常取的很大，事實上它是已經認知到的不等式的全體.

注4在實際分拆程序中，分拆集F中的元素遠比這里的多，它們一方面來自于例10所述的途徑（如可將命令tgany2（-10，10）中的系數10改為更大的數，以得到更大的數

據集），另一方面，對平時研究過程中得到的關于s-R-r的二次不等式進行積累，以得到更完備的分拆集.如果一個不等式不能夠被F中的元素拆開，則它原則上就可以放入F，成為分拆集中的元素.

注5由文獻[10]知，關于R，r與s的二次三角形不等式，總是可以得到人工證明的，這也是筆者選擇二次結果作為分拆集的原因.

注6為了能夠拆出任意次的關于R，r與s的三角形不等式，分拆集F中還要增加一些線性不等式，這可由復合命令botkkmgq（xhh3_3（-2，2，{R，r，s}，1，1，1，{}，0，0））完成，輸出的磨光集是，對于較弱的不等式，為了使拆分形式簡潔，也可收入Euler不等式（5），其中即是著名的W.J. Blundon不等式.

注7在構造銳角三角形不等式的分拆集時，既要考慮收入銳角三角形不等式，也要考慮收入任意三角形不等式，除此之外，還要收入一些正的量.如對銳角三角形，考慮約束條件（b2+c2-a2）（-b2+a2+c2）（b2+a2-c2）≥0，由于

故得到一個正的量s-r-2R，這個線性表達式就要收入到銳角三角形不等式的分拆集中.

下面給出若干實際分拆的例子.

例11試證明分拆集F中的不等式g=-s2+（-4r+2R）s+r（-5r+16R）≥0.

鍵入命令tganyfc（g1，2，4），則輸出

例12筆者曾提出并證明三角形中的優美不等式

同理，用tganyfc命令可證得不等式鏈左邊，限于篇幅，此略.

3.5 實現量級分拆

由于磨光集中的各元素之間的量級是彼此獨立的，故可以用其實現量級分拆，并發現新的量級.

所謂量級分拆，是指對量級P，如果存在量級A和B，滿足P=A+B，且量級A和量級B彼此獨立（不分大?。?，則稱對量級P進行了分拆，且分拆式是P=A+B.

解法1由tganyfc命令易得分拆式

給上恒等式兩邊取量級得

由于E（（R-2r）r）和E（（s2-16Rr+5r2））是兩個彼此獨立（不分大?。┑牧考?，故L3的分拆式是

解法2 L3的分拆式的另一個分拆式是（這里省略了分拆過程）；

由例13可知，一個量級的分拆式是不惟一的.

例14設三角形ΔABC的三條中線是ma，mb，mc，求E（mambmc）.

解mambmc是一個正的量，而程序tganyfc只能拆非負量，如何解決？可以通過建立相應的不等式解決.事實上，有不等式y=ma2mb2mc2-729r6≥0，易證

用tganyfc命令可拆得

上式兩邊取量級并化簡得（有關過程略）

從而求得E（mambmc）.比較文獻[12]中例6中的結果，得優美量級恒等式

由恒等式（9），（10）可知，量級E（mambmc）一方面可以看成是非負量級

注8對正的幾何量，通過建立等腰三角形時取等號的不等式確定量級，是一個普遍且實用的方法.

例15試建立一個關于三角形R，r與s的二次量級庫.

解分四步建立：

a.要建立一個量級庫，首先要有大量的非負表達式，以便從中采集量級；其次，要保證庫中的量級不重復.由于agl2012程序有豐富的不等式自動發現命令，故第一個問題容易解決.而要保證量級不重復，就要設計量級過濾器gllj.程序gllj的設計要依據量級的定義編寫，即要測試量級恒等式E（a）=E（b）是否成立，只需測試不等式ak1b≥0，b-k2a≥0同時成立即可.由于在（1）式中，當系數k最佳時，E（ei）既不同于E（ai），也不同于E（aj），即在對集合A的磨光過程中，一直在產生新的量級，所以在算法BOTKMGQ中，對L1步驟中的tempb變量和L3步驟中的tempa施行過濾命令gllj，并用專門的變量進行收集，這樣就可以采集到集合A在磨光過程中產生的量級.用La標識這些量級集.

c.由文獻[11]知，如果量級P和量級Q彼此獨立，則P+Q是一個不同于P和Q的新量級.故確認La∪Lb中兩兩獨立的量級，并且求和，從而得到一個新量級集Lc.

La∪Lb∪Lc∪Ld就是所要求的量級庫，用LJ標識這個量級庫，具體實現程序是mgqlj.量級庫LJ有許多應用，限于篇幅，這里不再作討論.

[1]劉保乾.不等式的自動發現原理及其實現[J].汕頭大學學報：自然科學版，2011，26（2）：3-11.

[2]陳勝利，黃方劍.三元對稱形式的schur分拆與不等式的可讀證明[J].數學學報，2006，49（3）：491-502.

[3]姚勇.基于列隨機矩陣的逐次差分代換與正半定型的機械化判定[J].中國科學（數學），2010，40（3）:251-264.

[4]劉保乾.用對稱性和量級研究三角形中的非負對稱量[C]//楊學枝.不等式研究（第1輯）.西藏人民出版社，2000：200-222.

[5]劉保乾.類多項式初探[J].廣東教育學院學報，2007，27（5）：6-13.

[6]劉保乾.多項式非負分拆算法的若干改進和補充[J].汕頭大學學報：自然科學版，2013，28（3）：18-28.

[7]劉保乾.不等式自動發現與判定程序agl2012功能的若干拓展[J].廣東教育學院學報，2014，34（5）：28-35.

[8]劉保乾.隨機數驗證程序在多項式非負分拆中的應用[J].汕頭大學學報：自然科學版，2012，27（3）：27-37.

[9]隋振林.一個求線性方程組非負解的通用程序[J].廣東教育學院學報，2014，33（3）：32-35.

[10]陳勝利.關于，與的銳角三角形不等式[C]//單墫.幾何不等式在中國.南京：江蘇教育出版社，1996：72-81.

[11]林新群.三角形中兩個非負對稱量之和的量級[J].佛山科學技術學院學報：自然科學版，2009，26（1）：28-31.

[12]張小明.三角形二次一階量級大小的劃分[C]//楊學枝.不等式研究（第1輯）.拉薩：西藏人民出版社，2000：223-230.

Burnishing Set and Its App lications

LIU Baoqian
（Information Management Center,Department of Organizational Information,Lasa 850000, Xizang Autonomous District,China）

The concept of burnishing set is proposed.Algorithms and programs for calculating burnishing set are detailed.The applications of burnishing set in the decomposition proofs of inequalities，triangular inequalities are discussed.The applications of burnishing set in magnitude studies are also discussed.Testing decomposition programs for triangular inequalities of R，r and s are given.

burnishing set；Bottema software；program Ag12012；automatically finding of inequalities

O 122.3

A

1001-4217（2015）02-0044-12

2014-12-15

劉保乾（1962-），男，陜西鳳翔人，西藏組織編制信息管理中心工作人員.E-mail：wshr987@163.com