關于雙曲函數的Cusa-Huygens型不等式的改進

何燈，李云杰

(福清第三中學，福建福清350315)

關于雙曲函數的Cusa-Huygens型不等式的改進

何燈，李云杰

(福清第三中學，福建福清350315)

本文將雙曲函數的Cusa-Huygens型不等式作了進一步的改進，所建立的雙邊不等式優于現有的諸多結果，文末導出一條涉及算術平均、幾何平均、對數平均的不等式鏈.

雙曲函數；Cusa-Huygens型不等式；Seiffert平均；不等式

0 引言

文獻[1-2]建立了著名的Cusa-Huygens不等式，文獻[3]給出了雙曲函數的Cusa-Huygens不等式，針對文獻[3]所建立的不等式的改進與推廣，現有諸多結果[4-13].本文研究sh x/x更優的上下界形式，從而可將雙曲型Cusa-Huygens不等式作進一步的推廣和改進，并由此建立了涉及算術平均、幾何平均、對數平均的一條不等式鏈.

1 預備知識

Cusa-Huygens不等式[1-2]：設，則有.

雙曲函數的Cusa-Huygens不等式[3]：設x∈（0，+∞），則有

朱靈[7]將式（1）推廣為：設x>0，，則有.

E.Neuman與J.Sándor改進式（1）為：設x>0，則.

成立當且僅當q≥3.

朱靈[15]將式（2）推廣為：設x>0，p>1或p≤8/15，則當且僅當q≥3（1-p）.特別地，令p＝1/2，q=3/2，可得

楊鎮杭[11]將式（3）推廣為：

最近，楊鎮杭[16]證得如下兩個結論：

結論1設p，x＞0，雙邊不等式

結論2設x＞0，則

綜合上述結論，可得不等式鏈

2 引理及證明

引理1設n∈N*，n≥7，則22n＞（1+p）2n+0.57n（1+p）2n，其中（下同）.

引理2設an=89×22n+121-（2n+1）[25（1+p）2n+25（1-p）2n+34+75p2n]，n∈N*，則an≥0.

證明當n＝1，2，3，可求an＝0.可求.

當n≥7，由引理1得

綜上，引理2成立.

3 主要結論及其證明

從而式（5）右端不等式成立.又

由引理2可證最后一個不等式成立，則有式（5）左端不等式成立.

結合式（4），可得式（6）成立.

4 定理2的等價形式

兩個正數a，b的冪平均定義為[17]

A2，A1，A0分別稱為這兩個數的平方根平均，算術平均及幾何平均.

四類Seiffert平均分別定義為

從而定理2等價于下定理3.

定理3設a，b>0，a≠b，則如下不等式鏈成立

[1]Cajori F.A history of mathematics[M].2nd ed，New York：BibioLife，1929.

[2]Campan F T.The story of number[M].Romania：Ed Albatros，1977.

[3]Neuman E，Sándor J.On some inequalities involving trigonometric and hyperbolic functions with emphasis on the Cusa-Huygens，Wilker and Huygens inequalities[J].Math Inequal Appl，2010，13（4）：715-723.

[4]Zhu L.New inequalities for means in two variables[J].Math Inequal Appl，2008，11（2）:229-235.

[5]Zhu L.Some new inequalities for means in two variables[J].Math Inequal Appl，2008，11（3）：443-448.

[6]Zhu L.Some new inequalities of the Huygens type[J].Comput Math Appl，2009，58（6）：1180-1182.

[7]Zhu L.Inequalities for hyperbolic functions and their applications[J/OL].J Inequal Appl，2010. [2013-10-10].http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2010/1/130821.

[8]Neuman E，Sándor J.Inequalities for hyperbolic functions[J].Appl Math Comp，2012，218（18）：9291-9295.

[9]Wu S H，Debnath L.Wilker-type inequalities for hyperbolic functions[J].Appl Math Lett，2012，25（5）：837-842.

[10]Zhu L.New inequalities for hyperbolic functions and their applications[J/OL].J Inequal Appl，2012.[2013-10-20].http://www.journalo?nequalitiesandapplications.com/content/2012/1/303.

[11]Yang Z H.New sharp bounds for logarithmic mean and identric mean[J/OL].J Inequal，Appl，2013. http://www.journalo?nequalitiesandapplications.com/content/2013/1/116.

[12]Chen C P，Sándor J.Inequality chains for Wilker，Huygens and Lazarevitype inequalities[J].J Math Inequal，2014，8（1）：55-67.

[13]Yang Z H.Three families of two-parameter means constructed by trigonometric functions[J/OL].J Inequal Appl，2013.[2014-1-10].http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2013/1/541.

[15]Zhu L.Generalized Lazarevic’s inequality and its applications-Part II[J/OL].J Inequal Appl，2009. [2014-1-20].http://www.journalofinequalitiesandapplications.com/content/2009/1/379142.

[16]Yang Z H，Chu Y M.Jordan type inequalities for hyperbolic functions and their applications[J/OL]. Journal of Function Spaces.2014.[2014-3-10].http://www.hindawi.com/journals/jfs/aip/370979/.

[17]匡繼昌.常用不等式[M].第四版.濟南：山東科學技術出版社，2010.

[18]Seiffert H J.Werte zwischen dem geometrischen und dem arithmetischen Mittel zweier Zahlen[J]. Elemente der Mathematik，1987，42（4）：105-107.

[19]Seiffert H J.Aufgabe 16[J].Die Wurzel，1995，29：221-222.[20]Neuman E，Sándor J.On the Schwab-Borchardt mean[J].Math Pannon，2003，14（2）：253-266.

[21]Neuman E.Bounds for symmetric elliptic integrals[J].J Approx Theory，2003，12（2）：249-259.

Im provement of Cusa-Huygens Type Inequality for Hyperbolic Functions

HE Deng，LI Yunjie
（Number 3 Middle School，Fuqing 350315，Fujian，China）

In this paper，Cusa-Huygens type inequalities for Hyperbolic Functions are improved.The double inequality is obtained.An inequality chain about arithmetic mean，geometric mean，logarithmic mean is derived.

Hyperbolic functions；Cusa-Huygens type inequality；Seiffert mean；inequality

O 178

A

1001-4217（2015）02-0028-07

2014-09-08

何燈（1984-），男，福建福清人，學士，全國不等式研究會成員.研究方向：解析不等式及不等式機器證明.E-mail：hedeng123@163.com.