化歸與轉(zhuǎn)化思想

●章怡(杭州第二中學(xué)浙江杭州310053)

化歸與轉(zhuǎn)化思想

●章怡(杭州第二中學(xué)浙江杭州310053)

1 知識(shí)內(nèi)容

數(shù)學(xué)中的化歸與轉(zhuǎn)化思想方法，是指在遇到具體數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過一定的轉(zhuǎn)化過程，將其歸總到某類已經(jīng)解決或比較容易解決的類型，然后最終解決問題的一種手段和方法.其特點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范化、模式化，以便通過已知的理論、方法、技巧達(dá)到問題的有效解決.

數(shù)學(xué)家波利亞強(qiáng)調(diào):“我們必須一再變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止”，他認(rèn)為解題的過程就是相互“轉(zhuǎn)化”的過程:即將生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題;將多元問題轉(zhuǎn)化為少元問題;將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題;將一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題;將一個(gè)綜合問題轉(zhuǎn)化為若干個(gè)基本問題.因此學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法，可以有效地幫助他們實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)上的遷移和引導(dǎo)，從而較快地提高日常學(xué)習(xí)質(zhì)量和解決問題的能力.

2 命題分析

眾所周知，數(shù)學(xué)高考命題的主要依據(jù)是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，而命題的直接依據(jù)是數(shù)學(xué)考試大綱.在近年來的全國考試大綱以及各地的考試說明中均強(qiáng)調(diào)了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，這是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的考查.考查時(shí)，應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)，審核考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用能力;應(yīng)從數(shù)學(xué)學(xué)科的整體上立意，注重通性通法，淡化特殊解題技巧.化歸與轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)高考考查的基本數(shù)學(xué)思想方法之一.在近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中，化歸與轉(zhuǎn)化思想已不同程度地融入到各種類型的數(shù)學(xué)高考試題中.下面筆者以2014年部分高考試題為例，闡述一下化歸與轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用應(yīng)遵循的原則:

3 典題剖析

3.1 化生為熟的原則

解決數(shù)學(xué)問題就是將問題從一個(gè)生疏領(lǐng)域轉(zhuǎn)化到一個(gè)熟悉領(lǐng)域的過程，期間注意比照已解決過的問題，找出其共性和個(gè)性.在實(shí)際解題過程中，通常表現(xiàn)為借鑒熟悉的事例模型，在未知問題和已知問題之間尋找轉(zhuǎn)化的橋梁.

例1如圖1，4個(gè)棱長為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，Pi(其中i=1，2，…，8)是上底面上其余的8個(gè)點(diǎn)，則(其中i=1，2，…，8)的不同值的個(gè)數(shù)為()

圖1

A.1 B.2 C.4 D.8

(2014年上海市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析由正四棱柱的性質(zhì)可知，AB與上底面垂直，因此AB⊥BPi(其中i=1，2，…，8)，利用平面向量數(shù)量積的定義與幾何意義可以發(fā)現(xiàn):

點(diǎn)評(píng)此題富有新意，解題的關(guān)鍵是充分挖掘題意隱含的條件，讓學(xué)生明白在方向上的投影就是，從而將問題化歸到平面向量數(shù)量積的幾何意義中解題.

3.2 化多為少的原則

一個(gè)題目中往往含有較多的變量，它們之間必然存在一定的聯(lián)系，我們?cè)诮忸}時(shí)，可以通過一定的變形和轉(zhuǎn)化，來減少題目中變量的個(gè)數(shù)，從而變成一個(gè)較易解決的問題，這是一種從多元向少元的化歸.

例2對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，的最小值為.

(2014年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解法1(判別式法)令2a+b=t，則

代入到4a2-2ab+4b2-c=0中，得

因?yàn)殛P(guān)于a的二次方程有實(shí)根，所以

而此時(shí)由Δ=0得

從而2a=3b，得

當(dāng)|2a+b|取最大值時(shí)，

解法2(三角換元法)由已知得

點(diǎn)評(píng)多元函數(shù)的最值問題一直是數(shù)學(xué)高考中檢驗(yàn)考生思維能力和綜合素質(zhì)的重要素材.題中有3個(gè)變量a，b，c，而解題的目標(biāo)是探討使|2a+b|最大時(shí)，求出的最小值.因此解題過程的著重點(diǎn)是要放在“|2a+b|最大”上.解題中需通過從多元向少元的化歸，挖掘出a，b，c這3個(gè)變量間的隱性關(guān)系.

3.3 化繁為簡的原則

這一原則就是通過對(duì)一時(shí)無法解決的復(fù)雜問題，通過一定形式和方法的拆解和變形，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的簡單問題，或是規(guī)范化問題，從而達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的.

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x=-3上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q.

①證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn));

(2014年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析1)由橢圓的定義可知

2)①要證OT平分線段PQ，可以考慮證明PQ的中點(diǎn)M與點(diǎn)O，T共線，即證

②要求2條線段比值的最值，關(guān)鍵是要將線段的比值轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后再根據(jù)其類型選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解.可以設(shè)PQ的方程為x=my-2，代入橢圓方程得到

當(dāng)m=±1時(shí)，取到等號(hào)，此時(shí)T的坐標(biāo)為(-3，1)，(-3，-1).

點(diǎn)評(píng)圓錐曲線的綜合問題是讓眾多考生感到復(fù)雜而又困難的一種題型.對(duì)于此類題型在解答時(shí)要時(shí)刻關(guān)注解析幾何的基本思想:用代數(shù)的方法來研究幾何問題.最根本的做法就是將幾何結(jié)構(gòu)有系統(tǒng)地代數(shù)化、數(shù)量化，即先把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，然后運(yùn)用代數(shù)的知識(shí)來解決，最后再回到幾何中去.

3.4 化一般為特殊的原則

例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量a， b，|a|=|b|=1，a·b=0，點(diǎn)Q滿足，曲線，區(qū)域.若C∩Ω為2段分離的曲線，則()

A.1＜r＜R＜3 B.1＜r＜3≤R

C.r≤1＜R＜3 D.1＜r＜3＜R

(2014年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析設(shè)a=(1，0)，b=(0，1)，則

點(diǎn)評(píng)此題主要針對(duì)平面向量的應(yīng)用與線性規(guī)劃知識(shí)相結(jié)合的綜合問題的考查.如按題意，對(duì)a，b設(shè)變量來做顯然非常復(fù)雜，而利用特殊符合一般的原則，將a，b特殊化，較大幅度地簡化了問題的難度.

圖2

3.5 化難為易的原則

例5設(shè)a1=1，(其中n∈N*).

1)若b=1，求a2，a3及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

2)若b=-1，問:是否存在實(shí)數(shù)c，使得a2n＜c＜a2n+1對(duì)所有n∈N*成立?證明你的結(jié)論.

(2014年重慶市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析1)由a1=1，，可猜想

然后用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想.

用數(shù)學(xué)歸納法證明:

由式(1)和式(2)及f(x)在(-∞，1］上為減函數(shù)，得

點(diǎn)評(píng)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，動(dòng)態(tài)的函數(shù)觀點(diǎn)是解決數(shù)列問題的有效方法.數(shù)列中的恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.用函數(shù)的思想方法去研究數(shù)列問題不僅能加深對(duì)數(shù)列的理解，也有助于學(xué)生解題思維能力的培養(yǎng)及增強(qiáng)應(yīng)用函數(shù)思想解題的意識(shí).

4 精題集萃

2.在△ABC中，若sin(A-B)=1+2cos(B+ C)sin(A+C)，則△ABC的形狀一定是()

A.等邊三角形 B.不含60°的等腰三角形

C.鈍角三角形 D.直角三角形

3.如圖3，棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，點(diǎn)M在與正方體的各棱都相切的球面上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在△ACB1的外接圓上運(yùn)動(dòng)，則線段MN長度的最小值是()

圖3

圖4

5.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a+2b=2a+b，2a+2b+ 2c=2a+b+c，則c 的最大值是______.

7.已知A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，其中α， β為銳角，且

1)求cos(α-β)的值;

8.已知數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=Sn+ (-1)n，n∈N*，且是等比數(shù)列.

1)求a的值;

2)求出通項(xiàng)公式an;

9.如圖5，設(shè)橢圓C1:(其中a＞b＞ 0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若拋物線C2: y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過點(diǎn)F1，F(xiàn)2.

1)求橢圓C1的方程;

圖5

參考答案