光學教學中楊氏雙縫衍射的數值模擬

劉永欣

摘要：考慮到楊氏雙縫實驗中狹縫寬度的影響，采用惠更斯-菲涅爾衍射積分公式對高斯激光光束經過楊氏雙縫后在觀察屏上的光強分布進行了計算模擬，本文詳細分析了雙縫距離、狹縫縫寬、光束束腰寬度等對衍射圖樣的影響。

關鍵詞：光學;楊氏雙縫;衍射;數值模擬

中圖分類號：G642.41 ? ? 文獻標志碼：A ? ? 文章編號：1674-9324（2015）23-0174-02

一、引言

楊氏雙縫干涉是光學中最重要的內容之一。通常情況下，為了計算方便，幾乎所有的教材都對兩狹縫作了理想化的處理，即假定兩狹縫縫寬非常狹窄，近似為零，在此假設下，兩束光束發生相干疊加（即干涉），其條紋必定是等間隔均勻分布的[1]。針對此簡化模型的數值模擬已有人做了一些研究[2，3]。然而，實際中的狹縫都有一定寬度，所以都不可避免的存在多光束干涉的現象。此時用分波陣面法計算光程差只能粗略描述接收屏上的光強分布，不夠精確。因此，將縫寬因素考慮進去的楊氏雙縫實驗的數值分析將更具實際意義。另外，為了降低測量誤差，減少視覺疲勞，不少院校已經將鈉燈光源改進為激光光源[4]。本文將利用惠更斯-菲涅爾衍射積分公式對激光高斯光束經過楊氏雙縫后在接收屏上的光強分布進行計算模擬，詳細分析雙縫距離、縫寬、束腰寬度等對衍射圖樣的影響。該結果可對實際實驗中如何選取合適的參數提供理論指導和幫助，也有助于進一步加深學生對楊氏雙縫實驗的理解，提高教學質量。

二、理論推導與數值模擬

假設如圖1所示雙縫位于z=0平面，雙縫的透過率函數可表示為：

其他，（1）

式中，2a為雙縫的距離，b為狹縫的寬度。采用入射激光束為高斯光束，其在z=0平面的場分布為：

式中，w ?為高斯光束束腰寬度。利用惠更斯—菲涅爾衍射積分公式，可得z=z平面的場分布為：

進而可得任意z平面的光強分布I（x，y，z）=|E（x，y，z）|2。利用mathcad對上式進行數值模擬，可得光強分布結果，其中所使用參數若無特別說明分別是：波長λ為633nm，束腰寬度w ?為1.5mm，z為0.8m。橫坐標x軸的范圍均為（-2mm，+2mm），縱坐標y軸的范圍均為（-2mm，+2mm）。

圖1（見上頁）是縫距2a為1.6mm時不同的狹縫寬度b情況下高斯光束經過雙縫的衍射圖樣，其中（a）b=0.003mm，（b）b=0.1mm，（c）b=0.3mm。由圖可知，高斯光束經過雙縫后呈現出等間距的明暗條紋的分布。但隨著狹縫寬度的變大，菲涅爾衍射的影響也增大，使得明暗相間的條紋變得較模糊，可參見圖1（c）。另外由圖1（a）、（b）可知，當狹縫縫寬b=0.003mm，0.1mm時，其z平面的光強分布差別不大。因此，在實驗中我們可以使用0.1mm的狹縫寬度去模擬狹縫極小情況下的楊氏雙縫干涉的實驗。但縫寬大于0.1mm時，其實驗效果將較不理想。其中縫距2a=1.6mm（a）b=0.003mm，（b）b=0.1mm，（c）b=0.3mm.

圖2是狹縫寬度b為0.1mm時，縫距2a不同的情況下高斯光束經過雙縫后的衍射圖樣，其中（a）2a=1.2mm，（b）2a=0.8mm.由圖1（b）與圖2（a）、（b）比較可見，隨著縫距的變小，條紋變粗，并且相鄰明（暗）紋的間距也變大，這與楊氏雙縫的干涉結果也是相一致的。其中b=0.1mm（a）2a=1.2mm，（b）2a=0.8mm.

在實驗操作時，會根據實驗需要對激光光束進行擴束，擴束后的光斑尺寸的大小也會影響光束經過雙縫后的光強分布。圖3給出了不同束腰寬度的高斯光束經過雙縫后的衍射圖樣，其中（a）w ?=2.5mm，（b）w ?=0.5mm。由圖1（b）與圖3（a）、（b）比較可知，隨著光束束腰寬度的變小，光束經過雙縫后的條紋變得也越短，但相鄰明（暗）紋的間距基本不變。因此可通過擴束改變入射光斑的尺寸進而改變衍射條紋的長短。其中b=0.1mm，2a=1.6mm（a）w ?=2.5mm，（b）w ?=0.5mm.

三、結論

本文利用惠更斯-菲涅爾衍射積分公式對激光高斯光束經過楊氏雙縫后在接收屏上的光強分布進行了計算模擬，詳細分析了雙縫距離、縫寬、束腰寬度等對衍射圖樣的影響。通過比較發現，在文中給定參數前提下，使用0.1mm的狹縫寬度即可較好模擬狹縫極小情況下的楊氏雙縫干涉實驗。其所得結果對實際實驗中如何選取合適的參數提供理論指導和幫助，也有助于進一步加深學生對楊氏雙縫實驗的理解，提高教學質量。

參考文獻：

[1]馬文蔚，等.物理學[M].第五版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]譚毅.楊氏雙縫干涉實驗的仿真研究[J].實驗技術與管理，2012，（3）：91-93.

[3]梁齊，許曉琳，王明虎.光干涉實驗的計算機模擬[J].大學物理實驗，2003，（3）：61-63.

[4]彭小蘭，王紅成，劉敏霞.楊氏雙縫干涉實驗的改進[J].廣東技術師范學院學報（自然科學），2012，（2）：6-9.endprint