例析均值不等式工具性視角下的解題技巧

王莉敏

摘 要：在均值不等式應用的視角下，闡述了湊項、配項、拆項、串求、換元和待定系數六種變形與轉化技巧，體現了均值不等式應用的靈活性.

關鍵詞：均值不等式；解題技巧；工具性

均值不等式作為一種解題工具，它在許多問題的解決中應用得較為廣泛，而且表現出獨特的功能.然而，在使用均值不等式解決問題時，通常需要配合一定的變形與轉化技巧，既有難度又不失靈活性.現舉例說明如下：

一、湊項

例1.若0

解：y=x4（1-x2）= x2·x2·（2-2x2）≤ [ ]3=

當且僅當x2=2-2x2，即x= 時等號成立，故ymxa= .

二、配項

例2.若x，y，z∈R+，求證： + + ≥ .

證明：要證原不等式成立，

只需證 +1+ +1+ +1≥ ，

即證（x+y+z）（ + + ）≥ ，

即證[（x+y）+（y+z）+（x+z）]（ + + ）≥9，

而（x+y）+（y+z）+（x+z）≥3 ，

+ + ≥3 ，所以原命題得證.

三、拆項

例3.已知a1，a2，…，an∈R+且a1·a2…an=1，求證：（2+a1）（2+a2）…（2+an）≥3n.

證明：（2+a1）（2+a2）…（2+an）=（1+1+a1）（1+1+a2）…（1+1+an）

≥3 ·3 …3 =3n，

當且僅當a1=a2=…=an=1時等號成立.所以原命題得證.

四、串求

例4.已知a，b∈R+，a+b=1，x1，x2∈R+，求 + + 的最小值.

解： + + ≥3 =3 ≥3 =3 =6，

當且僅當 = = 時有最小值，即（ + + ）min=6.

五、換元

例5.已知a，b，c為△ABC三邊的長，求證：abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

證明：設m=b+c-a，n=c+a-b，p=a+b-c，

解之得a= ，b= ，c= .

所以abc= · · ≥ · · =mnp.

即abc≥（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b）.

六、待定系數

例6.已知0

解：因為0

所以可設y= （1-t）x（1-x）（t+tx）

≤ [ ]3= （ ）3（t>0），

當且僅當（1-t）x=1-x=t+tx，即x= = 時取等號，解得t=2± .

若t=2+ ，則x=- <0，故舍去；若t=2- ，則x= ，y= .

綜上可知，ymax= .

編輯 張珍珍