數(shù)形結(jié)合三要點(diǎn)

郭煒

對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)這樣描述：“數(shù)與形本相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時(shí)少知覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離。”數(shù)形結(jié)合思想作為高中階段七大數(shù)學(xué)思想之一，每年都是高考的熱點(diǎn)。在平時(shí)練習(xí)過程中，我們應(yīng)該主要把握以下三個(gè)要點(diǎn)：

一、理清限制約束條件是前提

在使用數(shù)形結(jié)合解題前，應(yīng)該先注意理清題目中的限制約束條件，限定范圍，才可準(zhǔn)確地解決問題。

例1.設(shè)集合A={x|y= +m}，B={x|x+y- =0}，若A∩B=？覫，求m的范圍。

解：y= +m得（y-m）2+x2=1（y≥m）

其幾何意義為以（0，m）為圓心，1為半徑的上半圓。

A∩B=？覫知直線與半圓無公共點(diǎn)。

在x+y- =0中，令x=-1，得y= 。

∴m> ，無公共點(diǎn)。

又由點(diǎn)（0，m）到直線距離d= >1

得到m> + （舍）或m< -

綜上可知m< - 或m> 。

在解答本題的過程中需要注意y的范圍，A集合所表示的圖形并非整個(gè)完整的圓，而只是圓的上半部分，如果忽略這一點(diǎn)，將得到m> + 或m< - 這一錯(cuò)誤答案。

二、掌握?qǐng)D象變換是基礎(chǔ)

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合，需要對(duì)圖象的平移、翻折等變換非常熟練，才能準(zhǔn)確地作出較復(fù)雜的函數(shù)圖象。

例2.函數(shù)f（x）=0 x=1lgx-1 x≠1，關(guān)于x的方程f 2（x）+bf（x）+c=0有7個(gè)實(shí)數(shù)根的充要條件是什么？

解：首先作出f（x）圖象，其中涉及較多圖象的翻折及平移，其圖象是由y=lgx→y=lgx→y=lgx-1→y=lgx-1變化得到，分為四個(gè)步驟，先y=lgx沿y軸翻折，再向右平移一個(gè)單位，在將x軸下部分圖象向上翻折。

當(dāng)f（x）>0時(shí)，相應(yīng)的x有四個(gè)解；當(dāng)f（x）=0時(shí)，x有三個(gè)解；當(dāng)f（x）<0時(shí)，x無解。故欲使方程有7個(gè)根，只需關(guān)于f（x）的二次方程有一個(gè)正根，一個(gè)零根，

即c=0，此時(shí)另一根f（x）=-b>0，

所以，此方程有7個(gè)根的充要條件為：c=0且b<0。

本題主要考查函數(shù)圖象的各種平移及翻折，“左加右減，上加下減”的運(yùn)用及f（x）和f（x）的圖象變化。

三、熟悉函數(shù)性質(zhì)的關(guān)鍵

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題，還要求熟練掌握函數(shù)的性質(zhì)（周期性、對(duì)稱性等）。

例3.x1為方程2x+2x=5的根，x2為方程2x+2log2（x-1）=5的解，求x1+x2。

解：2x+2x=5可變形為2x-1= -x，

2x+2log2（x-1）=5可變形為log2（x-1）= -x，

由反函數(shù)的對(duì)稱性質(zhì)及平移可知，y=2x-1和y=log2（x-1）圖象關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱。

設(shè)兩交點(diǎn)分別為A（x1，y1）和B（x2，y2），易知A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=x-1對(duì)稱，故有x2=y1+1y2=x1-1且A點(diǎn)在直線y= -x上，即y2= -x2=x1-1移項(xiàng)得到x2+x1=

本題對(duì)考查函數(shù)平移及對(duì)稱等關(guān)系要求較高，要求學(xué)生深刻理解互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)平移后對(duì)稱軸的變化情況，以及掌握兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱時(shí)的坐標(biāo)關(guān)系，即對(duì)函數(shù)的各種性質(zhì)非常

熟悉。

總之，當(dāng)我們?cè)诮忸}時(shí)時(shí)刻注意以上三個(gè)要點(diǎn)，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)就會(huì)得心應(yīng)手；而一旦忽視這些問題，就往往會(huì)出現(xiàn)一些“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”的問題，事后追悔莫及。

編輯 張珍珍