立體幾何的復習策略

●張曉東(桐鄉高級中學浙江桐鄉314500)

立體幾何的復習策略

●張曉東(桐鄉高級中學浙江桐鄉314500)

1 知識內容

立體幾何的主要內容有:能識別三視圖所表示的幾何體，理解三視圖與直觀圖的聯系并能相互轉化，會計算柱、錐、臺、球的表面積與體積;理解空間2條直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，并能利用相關公理、定理證明平行與垂直這2種特殊位置關系;理解2條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念并能利用綜合法求解;掌握空間向量及其運算，并能利用空間向量解決空間的平行與垂直的證明問題，解決異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角以及點到平面距離的計算問題.

2 命題分析

立體幾何是高中數學的主干知識，在考查學生空間想象能力、邏輯推理能力以及應用與創新意識等方面有著獨特的、不可替代的作用.綜觀浙江近幾年的數學試卷，立體幾何基本保持著2個小題、1個大題的格局:小題主要考查三視圖、綜合法求角，有時還有空間線面位置的判定，其中對三視圖的考查難度有所增加，而綜合法求角往往以考查空間想象能力與應用、創新意識為主，有一定難度且已經多年小題壓軸，應引起重視;大題第1)小題考查空間平行與垂直的證明，第2)小題考查空間角的計算，其中平行與垂直的證明一般用綜合法較容易，而對于空間角的計算，綜合法與向量法各有千秋，在復習時應2種方法并重.

3 典題剖析

考點1三視圖例1如圖1，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為( )

(2014年全國新課標卷I理科試題第12題)

分析本題的難點是作幾何體的直觀圖.不妨把它置于一個正方體中(如圖2)，在正方體中取3個頂點A，B，C和一條棱的中點D，通過計算不難得最長邊為AD，長度為6.故選C.

圖1

圖2

考點2空間線面位置關系的判定

例2如圖3，有一菱形紙片ABCD，E是AD邊的一點(不包括A，D)，先將ABCD沿對角線BD折成直二面角，再將△ABE沿BE翻折到A'BE，則下列情況不可能正確的是( )

A.BC與A'BE平面內某直線平行

B.BC與A'BE平面內某直線垂直

C.CD∥平面A'BE

D.CD⊥平面A'BE

圖3

圖4

分析本題主要考查空間想象能力和邏輯推理能力.顯然當平面A'BE轉至過BC時，選項A，B成立;聯結AC，并在線段AC上取點F，使CD∥EF，A'BE翻轉至A'E?平面BEF，CD∥平面A'BE，故選項C成立;假設CD⊥平面A'BE，可得CD⊥平面ABD，得CD⊥BD，這與∠BDC是銳角矛盾，故選項D不成立.故選D.

(2014年全國新課標卷I理科試題第12題)

考點3空間向量及空間直角坐標系

例3如圖4，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=11，AD=7，AA1=12，一質點從頂點A射向點E(4，3，12)，遇長方體的面反射(反射服從光的反射原理)，將i－1次到第i次反射點之間的線段記為Li(其中i=1，2，3，4)，L1=AE，將線段L1，L2，L3，L4豎直放置在同一水平線上，則大致的圖形是( )

A.

B.

C.

D.

(2014年江西省數學高考理科試題第10題)

分析本題的關鍵在于將空間問題平面化.不妨將光線的運動方向分解為水平與豎直方向，如圖5，在A1B1C1D1平面內，光線A1E首先與棱交于點，經D1C1反射后交C1B1于點，依次類推，并相應地作出點N，Q在底面ABCD上的射影M，P.于是光線AE，EF，FG在平

面AMNA1上，GH在平面MNQP上，如圖6，易得

圖5

圖6

故選C.

考點4射影與截面問題

例4在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=2，任意地翻轉該長方體，則它在水平面上的投影面積最大值為( )

圖7

圖8

分析本題的難點是弄清射影圖形的形狀.長方體在水平面上的投影A'A1'B1'C1'C'D'是六邊形(四邊形可看成六邊形的退化).如圖7，因為長方體每個面在水平面上的投影都是平行四邊形，所以△A1'C1'D'的面積是六邊形A'A1'B1'C1'C'D面積的一半.設△A1'C1'D'是長方體內△A1C1D的投影，平面A1'C1'D'與平面A1C1D所成角為θ，則S△A'1C1'D'=S△A1C1D·cosθ，顯然當平面A1C1D與水平面平行時，△A1'C1'D'的面積最大.因為S△A1C1D=6，所以投影面積最大為12.故選C.

例5如圖8，正方體ABCD-A1B1C1D1棱長為2，E，F分別是AA1，C1D1的中點，平面α過點A1且與平面CEF平行，則平面α截正方體所得截面的周長為______.

圖9

圖10

分析本題的難點是作出截面.根據對稱性，所求截面其實與過點C，E，F的截面全等，因此只需將過點C，E，F的截面作出計算即可.也可以取AB的中點M，CC1的中點N，顯然過點A1，M，N的平面與平面CEF平行.如圖9，將該截面作出，計算得

考點5翻折與展開問題

例6如圖10，把一個水平放置的正方形ABCD繞AB向上轉動45°到ABC1D1，再將所得正方形ABC1D1繞BC1向上轉動45°到A2BC1D2，則平面A2BC1D2與ABCD所成角的余弦值為______.

分析本題主要考查應用與創新意識，難點是要找到著力點.方法1是利用平面的法向量，設3個平面的法向量分別為n1，n2，n3，并設n1，n2;n2，n3;n3，n1所成的角分別為θ1，θ2，θ，顯然θ1=45°(或135°)，θ2=45°(或135°)，易得

方法2以ABC1D1為一個公共底面在2側作2個正方體，將它置于2個長方體之中，問題便迎刃而解.

考點6軌跡與實際問題

例7直線l在平面α上，直線m∥α，l，m異面，動點P在平面α上，且到直線l，m的距離相等，則點P在下列哪個軌跡上( )

A.直線 B.橢圓 C.拋物線 D.雙曲線

分析本題的難點在于將空間問題轉化為平面問題.如圖11，設m在α上的射影為m'，作PA⊥l于點A，PC⊥m'于點C，CB⊥m于點B，聯結PB，則由PA=PB，得PA2－PC2為正常數，從而點P在雙曲線上.故選D.

圖11

考點7空間垂直與平行的證明

例8如圖12，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=4，D，E分別是AB，BB1的中點，F是棱CC1上一動點，設CF=t.

圖12

1)若CD∥平面A1EF，求t的值;

2)若AE⊥平面A1EF，求t的值;

3)t為何值時，平面A1EF與底面ABC所成銳二面角最小.

解法1(綜合法)

1)如圖13，取A1B1的中點M，平面CDMC1交平面A1EF于FN，則FN∥CD，故t=3.

2)作AG⊥BC于點G，聯結EG，故EG⊥EF，易得t=3.

3)延長A1E，A1F分別交AB，AC于點P，Q，聯結PQ，作AH⊥PQ于點H，聯結A1H，則∠A1HA就是平面A1EF與底面ABC所成銳二面角θ.因為，AH≤AP=4，所以

當AP⊥PQ時，θ最小，此時易得t=3.

圖13

圖14

解法2(向量法)分別取AC，A1C1的中點為O，O1，以O作為原點，OB，OC，OO1為x，y，z軸建立坐標系，如圖14，則F(0，1，t).易得平面A1EF的一個法向量為.

3)平面ABCD的一個法向量為m=(0，0，1)，從而

當t=3時銳二面角最小.

考點8空間角與距離的計算

例9如圖15，四面體ABCD中，AC⊥BC，AC⊥AD，BC=2，AC=3，AD=2，M，N分別是線段AB，CD的中點.

1)求證:AC⊥MN;

2)設二面角B-AC-D的大小為θ，二面角A-BC-D的大小為φ，若，求線段MN的長.

圖15

圖16

圖17

解法1(綜合法)

1)如圖16，取AC的中點E，聯結ME，NE，通過證明AC⊥平面MNE，從而AC⊥MN.

2)作CF∥AD，且CF=AD，聯結DF，則DF⊥平面BCF，作FG⊥BC于點G，聯結DG，則

解法2(向量法)以E為原點，EN，EA分別為x軸、z軸，過點E的平面ABD的垂線為y軸，如圖17建立坐標系，則M(cosθ，sinθ，0).

2)通過計算可得平面ABC的一個法向量為n1=(sinθ，－cosθ，0)，平面DBC的一個法向量為n2=(3sinθ，－3cosθ，－2sinθ)，則

圖18

4 精題集萃

1.某幾何體的立體圖如圖18所示，該幾何體的三視圖不可能是( )

2.一平面α與四棱錐P-ABCD的側棱分別交于點E，F，G，H，若EFGH為平行四邊形，則底面ABCD( )

A.一定是平行四邊形

B.一定是梯形

C.至少有一組對邊平行

D.2組對邊可以都不平行

3.如圖19，ABCD-A'B'C'D'為正方體，任作平面α與對角線AC'垂直，使得α與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l，則( )

圖19

A.S，l均不為定值

B.S為定值，l不為定值

C.S不為定值，l為定值

D.S，l均為定值

5.直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC1=1，P是BC1上一動點，則

6.如圖20，現有一正三棱錐P-ABC放置在平面α上，已知它的底面邊長為2，高為h，把BC靠在平面α上轉動.若某個時刻它在平面α上的射影可以是等腰直角三角形，則h 的取值范圍是______.

7.過正四面體A1A2A3A4的4個頂點分別作4個相互平行的平面α1，α2，α3，α4.若每相鄰2個平面間的距離都為1，則該四面體的體積為_____.

圖20

8.如圖21，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點，ABCE為菱形，∠BAD=120°，PA=AB，G，F分別是線段CE，PB上的動點，且滿足.

1)求證:FG∥平面PDC;

圖21

圖22

1)當平面COD⊥平面AOB時，求θ的值;

10.如圖23，有一邊長為2的正方形紙片ABCD，E是AD邊中點，將△ABE沿直線BE折起至A'BE位置，此時恰好A'E⊥A'E，點A'在底面上的射影為O.

圖23

1)求證:EO⊥BC;

2)求直線A'C與平面A'BE所成角的正弦值.

參考答案

1.C 2.D 3.C

8.提示:1)分別過點F，G作BC的平行線交PC，CD于點M，N，聯結MN，只要證明FG∥MN.

2)由于∠BAD=120°，故建系不一定簡單，因此可嘗試用綜合法.如圖24，作FM⊥AB于點M，作MN⊥CD于點N，聯結FN，則FN⊥CD，∠FNM為二面角F-CD-G的平面角.又，不妨設PA=2，則

圖24

圖25

9.提示:1)面面垂直通常要轉化為線面垂直，故可在平面AOB內作BE⊥OD于點E，則BE⊥平面COD，故BE⊥CO.又因為CO⊥OA，所以CO⊥平面AOB，于是CO⊥BO，即θ=90°.

2)本題由于∠BOC不確定，故建系是個難點.一般可以這樣建系:如圖25，以O為原點，在平面OBC內垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸、z軸建立空間直角坐標系O-xyz，則C(2sinθ，2cosθ，0).可求得平面COD的一個法向量，平面AOB的一個法向量為n2=(1，0，0)，設二面角C-OD-B的大小為α，當時，cosα=0;當時，，從而

10.提示:1)因為A'E⊥A'C，A'E⊥A'B，A'C與A'B是平面A'BC內2條相交直線，所以A'E⊥平面A'BC，故A'E⊥BC.又因為A'O⊥BC，A'O與A'E是平面A'EO內2條相交直線，所以BC⊥平面A'EO，故EO⊥BC.

圖26

圖27

2)作OF⊥BE于點F，聯結A'F，則A'F⊥BE，故在圖26中點A，F，O共線，因此△ABE∽△EAO，于是，得得.以O為原點，過O垂直BC，CD的直線為x軸、y軸，OA'為z軸如圖27建立坐標系，.在平面A'BE中，，解得平面A'BE的法向量為，－1).設直線A'C與平面A'BE所成角為θ，則