自選模塊復習策略

●伊建軍(杭州高級中學浙江杭州310003)

自選模塊復習策略

●伊建軍(杭州高級中學浙江杭州310003)

1 知識內容

2015年高考數學自選部分含“復數與導數”和“計數原理與概率”2個模塊，其中復數與導數模塊包含的知識內容有:導數的概念與幾何意義，基本初等函數的導數公式，導數的運算法則，利用導數求函數的單調性、極值、最大(小)值，復數的概念，復數的加、減運算的幾何意義，復數的四則運算.計數原理與概率模塊包含的知識內容有:加法原理和乘法原理，排列與組合，二項式定理，楊輝三角與二項式系數，事件、事件的關系與運算，互斥、對立、獨立事件，概率與頻率，古典概型，解決簡單的實際問題.

2 命題分析

復數與導數模塊中導數部分主要考查基本概念與基本運算，以及導數在函數的單調性、極值、最值等方面的基本應用;復數部分主要考查復數概念和復數的運算，以及復數在復平面上表示的幾何意義.計數原理與概率模塊中主要考查二項式定理，二項式系數和系數的概念與計算，最基本的排列組合問題，及古典概率的理解與簡單計算.在對這2個模塊的考查中，也包含了一些數學思想方法的運用，如命題轉換思想、分類討論思想等.

3 典題剖析

例1設函數f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.

1)若f(x)的2個極值點為x1，x2，且x1x2=1，求實數a的值.

2)是否存在實數a，使得f(x)是(－∞，+∞)上的單調函數?若存在，求出a的值;若不存在，說明理由.

分析本題包含的內容是導數在函數中的簡單應用，分別是利用導數求極值及導數在函數單調性中的應用.由于極值點一定是導數等于0的點，可得x1，x2一定是導函數f'(x)=0的2個根，然后利用韋達定理即可求出a=9.

而導函數f'(x)=18x2+6(a+2)x+2a的圖像是開口向上的拋物線，故當Δ≥0時，可以使得f(x)在(－∞，+∞)上單調，但此時無解，從而得到a不存在.

1)求證:函數f(x)和g(x)在(1，+∞)上都是增函數.

分析函數的單調性證明可以直接求函數的導數進行判斷，因此第1)小題只需要證明導函數f'(x)≥0和g'(x)≥0在(1，+∞)上恒成立即可.

對于第2)小題，只要利用第1)小題的結論，得f(x)＞f(1)=0和g(x)＞g(1)=0在(1，+∞)上恒成立，也即x－ 1＞lnx和，可得，接下來只要把需證明的不等式轉化成所得到的不等式即可.可通過換元法:設，則，即可得到證明.在該題的解題過程中，運用了一些數學方法與數學思想，如換元法、命題轉換思想等，難度不大，但能考查學生的數學思維能力.

1)若復數z∈C，且z1=z2·z，求z;

分析本題是復數的基本運算問題，觀察已知復數的結構形式，對簡化運算步驟、提高正確率非常重要.

1)若復數z1－z2在復平面上對應的點落在第一象限，求實數a的取值范圍;

2)若z2是實系數一元二次方程x2－6x+m=0的根，求實數m的值.

分析復數在復平面上對應的點在第一象限，即這個復數的實部與虛部均大于0.由于

z2是實系數一元二次方程x2－6x+m=0的根，那么z2應該滿足方程，代入z2，然后利用復數相等的充要條件，等式左邊的實部與虛部分別等于0，可得，即此時z2為一個實數，從而求得m=8.

分析二項式定理中，二項式系數的性質是重點.本題根據二項式系數的性質可知:，代入已知條件，然后利用組合數公式即可得到m=6.

例6設(1+2x)10=(a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x5)(1+x)5+(1－x)9，求a4.

分析比較等式2邊的系數是解出這個問題的關鍵.等式2邊含x項的次數從高到低逐步比較，左邊二項展開式中含x10的系數為210，右邊含x10的系數為a5，從而得到a5=210.左邊含x9的系數為，右邊含x9的系數為，即得到，可解得a4=1.

例7有一個奇數列1，3，5，7，9，…，現在進行如下分組，第1組有1個數為1，第2組有2個數為3，5，第3組有3個數為7，9，11，…，依次類推，則從第10組中隨機抽取一個數恰為3的倍數的概率為______.

分析本題需要求出第10組的第1個數的值和這一組共有幾個數，由于前9組共有45個數，那么第10組的第1個數是奇數列中的第46個數，這個數為91，從而可以得到第10組數中是3的倍數的數為93，99，105共3個，概率為

例8質點A位于數軸上的原點處，質點B位于數軸的x=2處，這2個質點每隔1秒就向左或向右移動1個單位，設向左移動的概率是，向右移動的概率是

1)求3秒后，質點A在點x=1處的概率;

2)求2秒后，質點A，B同時在點x=2處的概率.

“走了以后，那些個喜啊，憂啊，苦啊，樂啊，就都煙消云散了。一輩子，也就過去了。”王爺這樣想著的時候，內心很平靜。

分析該題需要理解的是:質點到達規定的位置后，需要進行哪幾個步驟.如3秒后到達x=1處，應該是向右移了1個單位，另2次移動應該是互相抵消的，也就是向右移2個單位，向左移1個單位，從而所求的概率是

2秒后，A到達x=2處只需要向右移動2個單位，B可以向左向右各移動1次即可，于是質點A，B同時在點x=2處的概率是

4 精題集萃

A.－2 B.－2i C.2 D.2i

2.已知(1－2x)n展開式中的奇數項的二項式系數之和為64，那么(1－2x)n(1+x)展開式中含x2項的系數為( )

A.71 B.70 C.21 D.49

3.已知函數f(x)=x(lnx－ax)有2個極值點，則實數a的取值范圍是( )

A.(－∞，0)

C.(0，1)

D.(0，+∞)

4.將數1，2，3，4，5，6，7隨機分成2組，使得每組至少有1個數，那么2組中各數之和相等的概率是______.

5.袋中有5張卡片，其中紅色卡片3張，標號分別為1，2，3;藍色卡片2張，標號分別為1，2;從以上5張卡片中任取2張，那么這2張卡片顏色不同且標號之和小于4的概率是_____.

6.已知a，b為正實數，函數f(x)=ax3+bx+2x在［0，1］上的最大值為4，則f(x)在［－1，0］上的最小值為______.

9.一個袋子里裝有7個球，其中有紅球4個，編號分別為1，2，3，4;白球3個，編號分別為2，3，4.從袋子中任取4個球(假設取到任何一個球的可能性相同).

1)求取出的4個球中，含有編號為3的球的概率;

2)求取出的4個球中，紅球編號的最大值不超過2的概率.

10.若函數f(x)=x－1－alnx.

1)若a＞0，且f(x)≥－1恒成立，求a的取值范圍;

2)若a＜0，且對任意x1，x2∈(0，1］，都有，求實數a的取值范圍.

參考答案