酉群與正交群和辛群之間的關系

(臨滄師范高等專科學校 數理系，云南 臨滄 677000)

1 預備知識

歷史上對群的研究最早是從置換群和變換群開始的，1771年Lagrange 自發地采用置換群以解決用根式解代數方程的問題.1799年Ruffin，1824年Abel 繼續這一工作，直到1830年，Galois 自覺地應用群的思想(群的術語就是他首先引進的)徹底解決了這一問題，1872年推出了著名的Erlangen 綱領，用對變換群來對幾何學分類.到19世紀末，人們意識到，在數學的不同領域中獨立存在的群論思想，在原則上是統一的.這種想法引起了研究抽象群的概念.Kelly，Frobenius，Dyck 等最早從事抽象群的研究，Schmidt 于1916年出版了《抽象群論》一書.于是群論成為代數學的一個重要分支，而有些不同的典型群之間有著密切關系，搞清楚他們之間的關系是非常有必要的.

n 維歐幾里得空間V 上所有正交變換組成的集合只有一種運算:乘法，它滿足結合律，恒等變換屬于這個集合，這個集合的任一元素可逆且逆元素也在這個集合中.類似地，n 維酉空間上所有酉變換組成的集合，域F 上n 維正則的正交空間上所有正交變換組成的集合，特征不是2的域F 上2r 維正則辛空間上所有辛變換組成的集合都具有這樣的性質.

定義[1]設G是一個非空集合，如果在G 上定義了一種代數運算，叫做乘法并且滿足以下法則:

1° a(bc)= (ab)c，a，b，c ∈G(結合律)

2° G 中有一個元素e，使得ea=ae=a，a ∈G

3° 對于G 中每一個元素a，都有G 中一個元素b，使得ab=ba=e，那么G 稱為一個群.

實數域上所有2r級正交矩陣組成的集合對于矩陣乘法構成一個群，稱它為實數域上的2r級正交群，記錄O(2r).

所有r級酉矩陣組成的集合對于矩陣乘法組成的一個群，稱它為r級酉群，記為U(r).

特征不為的域R 上2r級辛矩陣的全體，對于矩陣乘法組成一個群，稱它為2r級辛群，記作Sp(2r，R).

2 主要結論

結論 U(r)= O(2r)∩Sp(2r，R).

證明 r 維復線性空間Cr中元素X=(a1+b1i，…，ar+bri)'可以寫成

于是Cr可以看成是2r 維實線性空間，記作V，它是一個基為ε1，ε2，…，εr，iε1，iε2，…，iεr.于是同一個記號C 即可表示r 維復線性空間Cr的元素，又可表示2r 維實線性空間V的元素.

任給一個r級復矩陣P，可定義復線性空間Cr上的一個線性變換P:P(X)= PX，X ∈Cr，又可定義2r 維實線性空間V 上的一個線性變換珘P:

在復線性空間Cr中定義標準內積(即X，Y)c=Y*X 成為一個酉空間.

在2r 維實線性空間V 中定義內積如下:設

規定

則V 成為一個2r 維歐幾里得空間.

在2r 維實線性空間V 中，定義一個雙線性函數f，它在V的基ε1，…，εr，iε1，iε2，…，iεr下的度量矩陣A為

由于A是可逆斜對稱矩陣，因此f是非退化的斜對稱雙線性函數.從而(V，f)成為一個2r 維正則辛空間，f是(V，f)上的辛內積，對于上述X，Y，有

于是有

設P是Cr上的線性變換，按前面所述，它也表示V 上的一個線性變換，利用(5)式可以得出:

因此在對于有兩種理解的約定下，我們可以寫成

由于U(Cr)U(r)，O(V)O(2r)，Sp(V，f)Sp(2r，R).因此在上述約定下，可以寫

對于(6)式的理解如下:任給一個r級酉矩陣P，可以按上述方法得到一個2r級正交矩陣Q，并且Q是2r級辛矩陣;反之，任給一個2r級正交矩陣Q，如果Q 也是2r級辛矩陣，那么可得到一個r級酉矩陣P.

證明揭示了酉群U(r)與正交群O(2r)和辛群Sp(2r，R)之間的關系，這是很深刻的一個結果.證明的關鍵之一是把r 維復線性空間Cr看成2r 維復線性空間，記作V;關鍵之二是證明了(5)式，即酉空間Cr的標準內積(X，Y)C與2r 維歐幾里得空間V的內積，2r 維辛空間(V，f)的辛內積之間的關系.

為了幫助讀者理解結論，例如，在U(2)中取一個元素bφ，設X=(a1+b1i，a2+b2i)'∈C2.C2可看成4 維實線性空間，記作V，X可寫成

C2上的線性變換bφ的定義為bφ(X)= bφX.

于是V 上的線性變換bφ在基ε1，ε2，iε1，iε2下的矩陣為

[1]丘維聲.高等代數(下冊)(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2003:162-188.

[2]許莆華，張賢科.高等代數解題方法[M].北京:清華大學出版社，2001.

[3]丘維聲.抽象代數基礎[M].北京:高等教育出版社，2003.