多智能體網絡系統的能控性代數條件

董潔，紀志堅，王曉曉

（青島大學自動化工程學院，山東青島266071）

多智能體網絡系統的能控性代數條件

董潔，紀志堅，王曉曉

（青島大學自動化工程學院，山東青島266071）

能控性是多智能體系統研究的核心問題，主要包括結構可控性和精準可控性。對多智能體系統的模型和能控性代數條件進行了總結。在相對協議和絕對協議條件下，運用圖論和矩陣論的知識系統分析了多智能體系統能控性的代數條件。按照同質多智能體到異質多智能體的順序，對現有的多智能體系統模型和代數條件進行了梳理，并在已有結論的基礎上對多智能體系統能控性的代數條件進行了改善，進一步提出了新的代數條件。多智能體能控性代數條件的改進大大簡化了能控性的計算量。

多智能體系統；結構可控性；精準可控性；相對協議；絕對協議；代數條件；圖論；矩陣論

自然界中普遍存在著群體行為，例如鳥的成群結隊、魚和昆蟲協作捕食等，都顯示出一些群體特質：相對簡單的生物個體可以通過群體共同完成更為復雜的任務。自然界中的群體行為使得它們能夠很好地生存繁衍下去，同時也給人類很大的啟發：與單個智能體相比，多智能體系統的合作可以大大提高系統的性能，完成更復雜的任務。

多智能體技術是近年來新興的一門控制學科，它具有自主性、協調性、自組織能力和推理能力等特點。采用多智能體系統解決問題在魯棒性、可靠性和對未知環境的適應性等方面也有很多的潛在優勢［1］。因此，多智能體系統的研究已經成為控制領域的一個熱點［2?4］，并且已經廣泛的應用在各個領域，如智能交通、機器人的編隊控制，甚至是軍事用途［5?11］。

智能體系統研究的核心問題是能控性問題，能控性是現代控制理論的一個基本概念，由卡爾曼（Klaman）在20世紀60年代首次提出［12］。多智能體系統的能控性是指基于系統內部智能體之間的相互連接關系，通過對多智能體內部的領航者施加外部控制輸入，使得跟隨者由任意給定的初始狀態到達期望的最終狀態。能控性能使每個智能體的狀態達到人們預定的結果，使系統發揮最大的作用，因此多智能體系統能控性的研究具有非常重要的意義。Tanner在2004年最早提出了多智能體網絡系統的能控性概念，敘述了單輸入線性系統領航－跟隨者的經典可控性，即領航者接受外部控制信號，對跟隨者發布指令，從而影響跟隨者的運動。但是這種結構的引入也帶來了新的問題，如領航者的選取，領航者的丟失問題等［13］。文獻［14］提出了控制協議，介紹了多智能體網絡系統能控的代數條件和圖論條件。近年來，越來越多的研究者開始從圖論的角度研究多智能體的能控性［15?16］，拓展了多智能體系統能控性的理論研究范圍。多智能體網絡系統的能控性不僅在理論方面具有重要研究價值，同時也具有重要的實踐意義，例如可以借助多智能體網絡研究編隊控制，即通過調整領航者的行為來驅動跟隨者達到理想的位置［17］。很多現實中的網絡，如社交網絡、電網、食物網和神經網絡等都存在內在節點間的動態關系，但是文獻［13?18］沒有考慮到節點之間具有內在動力的情況。因此，從理論和實踐的角度來看，異構動態多智能體網絡系統的可控性研究具有極其重要的意義和價值［19?20］。Cai基于高階異質多智能體系統的分析建立了復雜異質多智能體系統模型，并且提出了系統不能控的2個充分條件［21?28］。Ji等研究了具有狀態時間延遲和切換拓撲的多智能體系統的能控性［22?24］。Liu研究了含多個領航者和時滯情況下切換離散時間多智能體系統的能控性，提出系統的能控性僅僅是由領航者與跟隨者之間的交互信息所決定的［25］。在絕對協議下，文獻［26?27］研究了在廣播控制信號下多智能體系統的能控性。與領航者－跟隨者結構相比，廣播信號在現實生活中應用更為廣泛。文獻［28］研究了一致性協議下單智能體的能控性。本文基于相對協議和絕對協議，總結了多智能體網絡系統的模型和能控性的代數條件。闡述了圖論的基本知識，敘述了在相對協議下，多智能體網絡系統的模型和能控性的代數條件。總結了在絕對協議下多智能體網絡系統的模型和能控性的代數條件，指出了該領域新的研究方向。

1 圖論的準備知識

本文使用的通信結構均為無向圖，關于無向圖更全面的內容見文獻［29］。

一個無向圖G＝（V，E）包括一個頂點集V＝｛v1，v2，…，vn｝和一個邊集E＝｛（vi，vj）｜vi，vj∈V｝，邊是指在圖G里不同的無序節點對。如果節點vi，vj∈V，并且互為鄰居，那么它們之間的關系可以用vi～vj表示。令Ni表示節點i的鄰居集，Ni＝j{｜vi～vj}。路徑vi0vi1…vis是一個vik－1～vik，k＝1，2，…，s的有限序列。如果在任意2個不同的節點對之間都有路徑，那么就說G是連通的。完備圖是指圖中任意2個節點都是相鄰的關系。圖G＝（V，E）是無向圖，其中vi∈V，與節點vi鄰接的節點數就是vi的度數。不含圈和重邊的無向圖稱為簡單圖。各頂點的度均相同的無向簡單圖稱為正則圖。

圖G的度矩陣D（G）是一個對稱矩陣，它的對角線元素就是節點的度數。圖G的鄰接矩陣A（G）表達了圖G中各頂點之間的相鄰關系，任意一個無向圖都可以由鄰接矩陣A（G）來表示，它是一個只含有元素0和元素1的對稱矩陣，如果節點vi和vj是相鄰的，則aij是1，否則就是0。圖的拉普拉斯矩陣L（G）是一個實對稱矩陣，它定義為度矩陣與鄰接矩陣之差：L（G）＝D（G）－A（G），經過計算可得：

2 相對協議下多智能體網絡系統的可控性

多智能體網絡系統的相對協議是ui＝本節基于相對協議，總結了多智能體網絡系統能控性的模型和代數條件，同時提出了一些新的代數條件。

2．1 同質多智能體網絡系統的能控性

將按照從一階同質多智能體網絡系統到高階同質多智能體網絡系統的方式，對能控性代數條件進行總結。

2．1．1 一階同質多智能體網絡系統的能控性

采用多智能體系統如下：

式中：xi代表智能體i的狀態，wij代表G的邊權重，n和l分別是領航者和跟隨者的數目。假設圖G代表該系統的通信拓撲圖，其相應的拉普拉斯矩陣為L。定義一個含有n個跟隨者，l個領航者的多智能體，令系統（1）可以寫成如下形式：

式中：xf和xl分別代表跟隨者和領航者狀態的迭加向量，Lff∈Rn×n和Lll∈Rl×l分別對應于系統跟隨者和領航者的編號，Llf表示從跟隨者到領航者的通信連接關系，Lfl表示從領航者到跟隨者的通信連接關系。只要系統中的領航者能驅動跟隨者到達期望的狀態，那么系統就是可控的。本文研究的能控性問題是領航者對跟隨者的控制能力，即系統（3）的能控性問題。

如果存在輸入信號u（t），能使系統在規定的時間內從任意的初始狀態xf（0）被驅使到理想狀態xf（T），則系統（3）是能控的。

定義1［30］如果將矩陣L劃分成式（2）的形式，最后l個智能體為領航者，當且僅當可控，則系統就是能控的。

引理1［31］給定系統x·f＝－Lffxf－Lflxl，可以得出以下的說法是等同的：

1）系統是能控的；

2）能控性矩陣

是行滿秩的；

3）對于系統所有的特征值λ∈R，矩陣對［λI－LffLfl］都是行滿秩的，也就是說如果vTLff＝λvT則vTLfl≠0，其中v是矩陣Lff的特征值λ所對應的非零的左特征向量。

注釋1 學術界已經廣泛研究了一階動力學多智能體網絡系統的模型，例如文獻［13?18］。而系統（1）是一般的加權系統模型。

命題1 系統（3）是能控的，也就是［LffLfl］是可控的，那么當且僅當矩陣L和矩陣Lff沒有相同的特征值。

定理1 系統（3）是可控的，即矩陣對［LffLfl］是可控的，那么矩陣L不存在與領航者節點所對應向量元素全為0的左特征向量。

證明 根據引理1，如果矩陣Lff中存在與特征值λ所對應的左特征向量vf∈Cn，使得vTfLfl＝0成立，那么矩陣對［LffLfl］是不可控的。構造一個向量v∈Cn＋l，令，那么下式成立：則有

所以vTL＝λvT。這說明向量v是L的左特征向量，并且對應于所有領航者的最后l項全為零元素。因此定理1成立。

2．1．2 高階同質多智能體網絡系統的能控性采用文獻［21，32］的多智能體網絡系統模型：

式中：xi∈Rd，F∈Rd×d，wij∈R，B∈Rd×m，ui∈Rm；xi表示智能體i的狀態；wij表示圖G的邊權重，代表了節點i和j之間的連接強度；B是控制輸入矩陣。如果輸入ui＝0，那么智能體i就是跟隨者，反之就是領航者。定義則系統（4）就可以寫成

假設前q個智能體是領航者，那么

注釋2 文獻［21，32］的狀態方程為X·＝－FXLT＋BU。為了使分析一致，將X·＝－FXLT＋BU進行拉直處理轉化成式（5）進行分析。

引理2 實矩陣A、B、C、D的維數兼容，那么有以下結論［33］：

4）A為m×m的矩陣，它的特征值λ1，λ2，…，λm所對應的左特征向量分別是α1，α2，…，αm，B為n× n的矩陣，它的特征值μ1，μ2，…，μn所對應的左特征向量分別是β1，β2，…，βn。則A?B的特征值是λiμj（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，n），對應的左特征向量是αi?βj。

定理2［21］要使系統（5）能控，那么以下2個條件必須同時成立。

1）［F B］是一個能控矩陣對；

2）矩陣L不存在前q項全是零元素的左特征向量。

證明 根據PBH判據，如果系統（5）是不可控的，那么矩陣L?F中存在與特征值λ相對應的左特征值向量v，使得vT（Λ?B）＝0成立。假設矩陣L和F對應的左特征向量分別是α∈Cn和β∈Cd，由引理2可知，v＝α?β和（αT?βT）（Λ?B）＝0同時成立，所以得到

要使式（6）成立，則有以下2種情況：

1）如果αTΛ＝0，也就是說矩陣L存在這樣的左特征向量，其前q項都是零元素；或者

2）βTB＝0，即［F B］是不可控的。

分析以上2種情況，可知定理2成立。

2．2 異質多智能體網絡系統的能控性

按照從簡單異質多智能體網絡系統到復雜異質多智能體網絡系統的順序對能控性的線性代數條件進行總結。

2．2．1 簡單異質多智能體網絡系統的能控性

1）領航－跟隨者框架下簡單異質多智能體網絡系統的模型與文獻［19］相似：

式中：xi∈Rd，ci∈R，F∈Rd×d，wij∈R，B∈Rd×m，ui∈ Rm。ciFxi表示節點i之間的內部動態關系。如果輸入ui＝0，那么智能體i就是跟隨者，否則就是領航者。定義則系統（7）可以寫成：

定理3［19］要使系統（8）能控，那么以下2個條件必須同時成立。

1）［F B］是一個能控矩陣對；

2）（C－L）不存在前q項都為零的左特征向量。證明 定理3的證明過程與定理2相似。

2）廣播信號下簡單異質多智能體網絡系統的模型與文獻［20］中相似，系統模型為

式中：xi∈Rd，ci∈R，F∈Rd×d，wij∈R，B∈Rd×m，u∈Rm。ciFxi表示節點i之間的內部動態關系。由于系統（9）中所有的智能體都接收相同的控制信號，所以稱u為廣播控制信號。定義，則系統（9）可以寫成如下形式：

命題2［19］如果系統（10）是能控的，那么當且僅當以下2個條件同時滿足：

1）［F B］是一個能控矩陣對；

2）矩陣（C－L）?F的所有特征值各不相同。

2．2．2 復雜異質多智能體網絡系統的能控性

文獻［21］的復雜異質多智能體網絡系統寫成

式中：xi∈Rd，wij∈R，Fij∈Rd×d，ui∈Rm，Bi∈Rd×m。將標量wij與Fij合并為一項，那么方程（11）可以變形為

將方程（12）與方程（1）相比較，如果把方陣Mij∈Rd×d看作是拓撲圖G的邊權重，那么系統的鄰接矩陣為

命題4［21］如果文獻［21］中異質多智能體系統的拓撲圖G是結構不能控的，那么整個系統都是不能控的。

2．3 一般多智能體網絡系統的能控性

采用文獻［25］的一般動力學多智能體網絡系統模型：

式中：xi∈Rp代表智能體i的狀態，ui∈Rs是智能體i的耦合變量，ul∈Rq是智能體i的外部輸入。A＝Rp×p，B∈Rp×q，C∈Rp×s。

注釋3 文獻［19］中，ci∈R表示節點i之間的異質動態關系，文獻［21］中Fij∈Rd×d表示節點i之間的異質動態關系。文獻［21］的異質多智能體網絡系統的能控性是非常復雜的，所以對于這樣一個異質網絡系統，只得到了系統不能控的2個充分條件。

命題3［21］如果方程（11）表示的加權矩陣圖是雙向的，即Mik＝Mki（?i，k＝1，2，…，n），并且矩

每個智能體i的耦合變量ui∈Rs是由鄰居間的耦合擴散變量決定的。也就是說，系統的相對協議為

令x＝col（x1，x2，…，xn），u＝col（u1，u2，…，um），則系統（15）可以寫成矩陣形式：

定理4［25］是能控的，當且僅當以下2個條件同時成立：

1）（L，M）是能控的；

2）對于矩陣L的每一個特征值λ，矩陣對（A－λCK，B）都是可控的。

證明 （必要性）只證明矩陣（L，M）能控的必要條件，（A－λCK，B）能控的必要條件可以用相似的方法來證明。假設（L，M）是不能控的，則存在非零向量x∈Rn使得xTL＝λxT和xTM＝0成立。令（θ，y）∈C×Cp是矩陣（A－λCK，B）的左特征向量，那么

由xTL＝λxT，可得xTL／λ＝xT，即L／λ＝In。所以式（18）可轉化成1／λ｛L?（A－λCK）｝＝1／λ｛L?A－λL?CK｝＝In?A－L?CK＝L＾。由引理2，（θ，x?y）是L＾的一個左特征向量，則有

式中：λi是矩陣L的特征值。引入2個矩陣L＾和M～：

和

1）（UTM）s＝0，也就是說（L，M）是不能控的；

2）假如（UTM）s≠0，那么（A－λsCK，B）是不能控的。

因此矛盾，故結論成立，定理證明完畢。

注釋4 定理4的證明比較復雜，是一個新的證明方法，并且有一定的參考價值。

3 絕對協議下多智能體網絡系統的能控性

3．1 一階同質多智能體網絡系統的能控性

采用文獻［26］的多智能體網絡系統模型，它由廣播信號控制：

式中：xi表示智能體i的狀態，Ni＝｛j｜vi～vj；j≠i｝是節點vi的鄰居集，u是控制輸入。多智能體系統（20）的所有智能體都接受相同的控制信號，即u，稱這個信號為廣播信號。

系統（20）可以寫成如矩陣形式如下：

式中：A∈Rn×n為多智能體系統的鄰接矩陣，b＝［1 1 … 1］T∈Rn。

命題5［13］當且僅當以下2個條件同時成立，系統（21）是能控的。

1）矩陣A的特征值各不相同；

2）A的特征向量都不與b正交。

注釋5 命題5證明過程見文獻［13］。但是命題5只要滿足條件2）系統就是能控的，即條件2）是系統能控的充要條件，條件1）是系統能控的必要條件。

定理5 當且僅當矩陣A的所有特征向量都不正交于b，則系統（21）是能控的，并且如果系統（21）是能控的，那么矩陣A的特征值各不相同。

證明 假設向量v是矩陣A的特征向量，在PBH判據的條件下，如果系統（21）是能控的，那么rank（λiI－A，b）＝n成立。將PBH判據和對稱的狀態矩陣結合起來，如果系統是不能控的，那么矩陣A存在一個特征向量使得（λiI－A，b）vT＝0成立，則有

簡化成

因此，要使系統實現全控，A的所有特征向量不能與b正交，也就是說，如果矩陣A存在特征向量與b垂直，則系統（21）是不能控的。所以矩陣A的所有特征向量都不正交于b是系統（21）能控的充要條件。另一方面，A是一個實對稱矩陣，因此存在矩陣U使得A＝UDUT成立［33］，U是A的特征向量，那么

向量vi是特征值λi所對應的特征向量，即v＝（v1，v2，…，vn）。由于U是非奇異矩陣，所以它不影響［（λiI－D）UTUTb］的秩，只需考慮［（λiI－D）UTUTb］是否滿秩。將[(λiI－D)UTUTb]展開：

從式（22）可以看出，要使系統（21）是能控的，則矩陣A的所有特征值各不相同。

3．2 高階異質多智能體網絡系統的能控性

給定多智能體系統模型：式中：xi∈Rd，ci∈R，F∈Rd×d，B∈Rd×m，和ui∈Rm。cFx表示異質多智能體系統中節點i之間的動態ii關系。如果輸入ui＝0，那么智能體i就是跟隨者，反之是領航者。

式中：C＝diag（c1，c2，…，cn），A∈Rn×n是系統的鄰接矩陣。如果前q個智能體是領航者，那么Λ＝

定理6 假設F是對稱的，如果系統（24）是能控的，那么必須同時滿足以下2個條件：

1）［F B］是一個能控矩陣對；

2）矩陣（C＋A）不存在前q個元素都是零元素的左特征向量。

證明 假設系統（24）是不能控的，根據PBH判據，（C＋A）?F就存在左特征向量v使得vT（Λ?B）＝0成立。根據引理2，矩陣（C＋A）和矩陣F分別存在特征向量v1和v2使得P＝v1?v2和（vT1?vT2）（In?B）≠0成立，那么

當且僅當以下2個條件同時滿足時，式（25）成立。

顯然，定理6成立。

4 結束語

本文探究了多智能體網絡系統的能控性問題，分別在相對協議和絕對協議下總結了多智能體網絡系統的部分模型和能控性的線性代數條件。相對協議下，主要在Leader?Follower模型下利用已有的能控性代數條件對一階系統和高階系統的能控性代數條件進行了總結和改進，并且還總結了一般多智能體網絡系統模型下能控性的充分必要條件。在絕對協議下，研究了廣播信號下能控性的充分必要條件，使能控性的充要條件得到了簡化。此外，本文不僅討論了同質多智能體網絡系統的能控性，還討論了異質多智能體網絡系統的能控性問題。由于自然現象和實際應用中，不同生物群體之間動力學具有較大的差別，異質多智能體網絡系統的能控性問題是未來研究的一個重要方向，所以本文對異質多智能體網絡系統能控性研究結果也具有很大的實際意義。

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Algebraic conditions for the controllability of multi?agent systems

DONG Jie，JI Zhijian，WANG Xiaoxiao

（School of Automation Engineering，Qingdao University，Qingdao 266071，China）

Controllability is a key issue in the study of multi?agent systems，especially structural controllability and exact controllability．This paper summarizes the system model and the algebraic conditions for controllability of multi?agent systems．Based on relative and absolute protocols，the algebraic conditions are analyzed systematically for multi?agent system controllability，using graph theory and matrix theory．Going from homogeneous dynamical multi?agent systems to heterogeneous dynamical multi?agent systems，the existing models and algebraic conditions for multi?agent systems are sorted out．The algebraic conditions for controllability of multi?agent systems are im?proved，and some new algebraic conditions are proposed．The improvement of algebraic controllability conditions for multi?agent system simplifies the calculation greatly．

multi?agent system；structure controllability；exact controllability；relative protocol；absolute protocol；algebraic condition；graph theory；matrix theory

董潔，女，1990年生，碩士研究生，主要研究方向為多智能體系統。

紀志堅，男，1973年生，博士，教授，博士生導師，主要研究方向為群體系統動力學與協調控制、復雜網絡、切換動力系統的分析與控制、系統生物以及基于網絡的控制系統等。主持國家自然科學基金項目3項、山東省杰出青年科學基金項目1項。山東省杰出青年基金獲得者，發表學術論文70余篇，其中被SCI檢索23篇，EI檢索50余篇。

王曉曉，女，1989年生，碩士研究生，主要研究方向為多智能體系統。

TP273

A

1673?4785（2015）05?0747?08

10．11992／tis．201411030

http：／／www．cnki．net／kcms／detail／23．1538．tp．20150930．1556．008．html

董潔，紀志堅，王曉曉．多智能體網絡系統的能控性代數條件［J］．智能系統學報，2015，10（5）：747?754．

英文引用格式：DONG Jie，JI Zhijian，WANG Xiaoxiao．Algebraic conditions for the controllability of multi?agent systems［J］．CAAI Transactions on Intelligent Systems，2015，10（5）：747?754．

2014?11?25．

日期：2015?09?30．

國家自然科學基金資助項目（61374062）；山東省杰出青年科學基金資助項目（JQ201419）．

紀志堅．E?mail：jizhijian＠pku．org．cn．