2015年高考數學（新課標全國卷Ⅱ）試卷解讀

◎哈爾濱市第九中學 戴 鑫

2015年高考數學（新課標全國卷Ⅱ）試卷解讀

◎哈爾濱市第九中學 戴 鑫

2015年的高考已經進入了新課標教材的第六個年頭.每逢高考結束便是各高中教師分析高考試題，總結復習經驗，并為新一屆高三學生復習提出建議的時候.下面簡單闡述一下本人對本年度數學（新課標全國卷Ⅱ）的理解.

一、試卷整體評價

1.知識點覆蓋比較全面

三角12分，數列10分，函數與導數27分，立體幾何22分，解析幾何22分，統計與概率17分，集合、復數、算法、向量、線性規劃、二項式定理各5分，與2013和2014兩年相比，局部略有調整，總體知識主干不變，重點突出.

2.整體難度較2013、2014兩年有所下降

選擇題12個，填空題4個，解答題6個（其中一個為三選一的選修題）.選擇填空部分難度低于2013年，與2014年基本持平.解答題部分比2013、2014兩年均略簡單.

二、試卷題目特點

1.注重基礎知識，貼近教材

今年高考試卷的第1～8，13，14題，這10個題目均為基礎知識考查題，難度與課后習題A組類似，是教學中知識點的直接考查，而且題目背景極其貼近教材內容.

例如：8.下邊程序框圖的算法思路源于我國數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行該程序框圖，若輸入的a、b，分別為14、18，則輸出的a=（）.

A.0 B.2 C.4D.14

本題即為必修三教材第36頁的算法案例，其作用是求兩個數的最大公因數.

2.整理題型，重視基本方法

試卷第9，11，12，15，16，17，20（1），21題，這8個題目體現了教師和學生對經典題型和方法的掌握情況.

例如：9.已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）.

A.36πB.64πC.144πD.256π

該題是立體幾何中關于多面體外接球的經典補形題型之一.對于墻角類型具有三垂直的三棱錐的補形動作為以三垂直的頂點為頂點，三條互相垂直的棱分別為長寬高構造長方體或正方體，此長方體或正方體的體對角線即為其外接球直徑.

例如：16.設Sn是數列{an}的前n項和，且a1=-1，an+1=SnSn+1，則Sn=．

該題考查an與Sn之間的關系.解決此類題型一般有兩個方法：方法一，保留Sn.為以-1為首項，-1為公差的等差數列，所以，故

例如：20.已知橢圓C：9x2+y2=m2（m＞0），直線l不過原點O且不平行于坐標軸，l與C有兩個交點A，B，線段AB的中點為M．

（1）證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；

該題值得一提的是：點差法.設A（x1，y1），B（x2，y2），則，所以

甚至連今年的壓軸題21題導數，都是對典型題型和基本方法的考查.

例如：21.設函數f（x）=emx+x2-mx.

（1）證明：f（x）在（-∞，0）單調遞減，在（0，+∞）單調遞增；

（2）若對于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范圍．

（1）是平日練習中利用導數處理函數單調性的方法.（2）的條件即是f（x）在[-1，1]的最大值與最小值的差小于等于e-1.結合（1）的結論很快就可以解決（2）.

這些題目所考查的手法都應該是老師帶領學生在高三復習階段反復練習的重點，可見高考題目對經典題型和基本方法多么重視.

3.重視數學能力培養

（1）空間想象能力

自從在立體幾何中引入空間直角坐標系以來，立體幾何從特別注意考查學生空間想象能力的方向轉變成了計算題，使得學生在平時的訓練中多重視計算，空間想象力越來越弱.但今年的選擇題9和解答題19（1）改變了我們以上看法.

與球有關的問題大多需要學生有良好的空間想象力，手繪直觀圖，并在大腦中產生球的圖形，再加上點C在球面上運動的最值問題，使得選擇題9更具特色.

例如：19.如右上圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形．

（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）.

該題打破了以往高考試題中立體幾何解答題第一問證明的模式，要求學生繪制直觀圖中的截面，這是新課標高考的首次嘗試.

兩個題目的難度雖不大，但考查學生空間想象力的目的達到了，也改變了教師帶領學生復習立體幾何的常規，最重要的是將立體幾何學科的特點凸顯出來.

（2）數據處理能力

例如：3.根據下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫年排放量（單位：萬噸）柱形圖，以下結論中不正確的是（）.

A.逐年比較：2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著

B.2007年我國治理二氧化硫排放顯現成效

C.2006年以來我國二氧化硫年排放量顯減少趨勢

D.2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關

18.某公司為了解用戶對其產品的滿意度，從兩地區分別隨機調查了20個用戶，得到用戶對產品的滿意度評分如下：

A地區：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76

78 86 95 66 97 78 88 82 76 89

B地區：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

93 48 65 81 74 56 54 76 65 79

（Ⅰ）根據兩組數據完成兩地區用戶滿意度評分的莖葉圖，并通過莖葉圖比較兩地區滿意度評分的平均值及分散程度（不要求計算出具體值，給出結論即可）.

數據處理能力體現在會收集、整理、分析數據，能從大量數據中抽取對研究問題有用的信息，并做出判斷.2014年的第19題也考查了對大量數據的處理和預測的內容.連續兩年出現統計類的問題提示我們應該將統計中的數據處理問題和基本操作方法整理到復習的方案中.

4.突出數學知識的應用和創新

試卷中第3，10，18，19，20（2）題給我留下了非常深刻的印象，這些題目使得我們重新思考學習數學知識的意義，掌握數學知識的作用.讓我們看到了數學不僅僅是抽象的推理、論證、計算，它有很強的應用價值，它來源于我們的生活，并能很好地指導我們的生活；它富于探索，富于挑戰，富于創新，使得數學具有了神秘的色彩，它吸引著一代又一代無數的天才前赴后繼，為攀登數學的高峰不懈地努力著.

5.選修試題穩中求變

每年的三選一試題都是10分，是六個解答題中分值最低的一個，這也決定了它的難度應該是最低的一個，難度適中學生才不會在考場上發生心理突變.22題平面幾何選講變化不大，但23題坐標系與參數方程和24題不等式選講確有很多新意.

例如：23.坐標系與參數方程

（Ⅱ）若C1與C2相交于點A，C1與C3相交于點B，求|AB|的最大值．

該題最突出的部分便是其第（2）問，學生解決這一類問題往往都選擇轉化成直角坐標系的定式思維，表面上感覺易于上手操作，但今年的題目在極坐標系下更為簡單.可見出題人的用意是需要學生在適當的狀況下選擇適當的坐標系（直角坐標系或極坐標系），在同一坐標系下再選取適當的方程（直角坐標系下的普通方程或參數方程）.

例如：24.不等式選講

設a，b，c，d均為正數，且a+b=c+d，證明：

該題的亮點也是在第（2）問，考查了充要條件的雙向性（充分性和必要性）.學生在證明的時候必須體現以上兩個方面，是以往試題只考查單向證明的一個創新.

三、準高三教學建議

1.回歸教材

在近三年的高考中，每年的題目都會出現與教材中例題、課后習題、課文背景相同的試題.這些試題構成高考試題的基礎部分，是高中知識的直接考查，是每個高中生必須掌握的部分，是每個考生臨場答卷心理的保障.建議新高三生在一輪復習時多翻教材，緊扣教材中的知識和方法，這是高考取得好成績的必要條件.

2.重視通式通法

在一輪復習時，老師要帶領學生整理題型，體現多題一解，典型題型運用典型方法，使得學生在操作時易于上手，確立其解決問題的信心.二輪復習時，多體現通式通法的遷移，一題多解，讓學生能夠隨機應變.本年度的高考試題對很多經典題型、典型方法進行了考查，所以平時學習踏實認真的學生會比較容易取得高分.

3.關注學生落實

學生的落實情況是教師教學成效的直接反饋.很多學生平時夸夸其談，紙上談兵，實際操作中動手能力差，一寫就暈，一算就錯.要求學生必須在平日里多加練習，注重筆頭，在老師的幫助下多行動.教師也要及時批改作業、試卷，在第一時間發現并幫助學生解決問題，從而提高學生答題的準確性.

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?編輯/張燁