s-半條件置換子群對有限群結構的影響*

馬麗娜，錢方生

(哈爾濱師范大學)

0 引言

近年來，研究有限群的超可解性和p-超可解群的一個重要手段是利用子群的各類置換性質，設A、B為群G的兩個子群，如果AB=BA，那么A被叫做與B可置換的，群G的一個子群H如果與G的所有子群可置換，則稱H為G的置換子群或擬正規子群，置換子群的概念被廣泛的推廣，郭文彬等引入了條件置換子群的概念，并且利用他們已經成功得到了有限群結構的一系列新的結果，黃建紅進一步減弱條件置換的條件，得到了s-條件置換子群的概念，并研究了s-條件置換子群的性質，利用子群的s-條件置換性質給出了有限群的結構，后來進一步弱化了s-條件置換子群的條件，定義了s-半條件置換子群的概念:群G的子群H在G中稱為s-半條件置換的，如果對于群G的任一Sylow子群T，只要(|H|，|T|)=1，就存在 x∈ G，使得 HTx=TxH，并通過s-半條件置換子群的性質研究其對有限群結構的影響，推廣了一些現有的結論．該文試圖根據之前的結果改變已有的結論，根據s-半置換子群的性質對群超可解性及p-冪零性給出一定的結論．

1 預備知識

定義［1］群G的子群H稱為在G中s-半條件置換，如果存在G中的任一Sylow子群T，只要(|H|，|T|)=1，就存在一個元素x∈G，使得HTx=TxH．

引理1．1［1］設G是有限群，K?—G 且H≤G，則下列結論成立:

(1)若H在G中是s-半條件置換的且H為一個p-群，則HK/K在G/K中是s-半條件置換的．

(2)若HK/K在G/K中是s-半條件置換的且K?H，則H在G中是s-半條件置換的．

(3)若H在G中是s-半條件置換的且H≤M≤G，則H在M中是s-半條件置換的．

(4)若HK/K在G/K中是s-半條件置換的且(|H|，|K|)=1，如果G可解或K冪零，則H在G中是s-半條件置換的．

(5)若H在G中是s-半條件置換的且H為一個p-群，則H∩K在G中是s-半條件置換的，且H∩K在K中是s-半條件置換的．

引理1．2［2］G 為有限群，Z∞(G)為 G 的超中心，H≤G，Z∞(G)∩H≤Z∞(H)．

引理1．3［3］G是一個極小非超可解群，則G有一個Sylow p-子群滿足下列性質:

(1)P是G的一個最小正規子群，且其商群滿足G/P超可解．

(2)P/Φ(G)是G的一個主因子．

(3)若p ＞ 2，則exp=p，若p=2，則exp=2或4．

(4)P'=Φ(G)=P∩Φ(G)且P或是一個初等阿貝爾群，或P'=Z(P)．

引理1．4［3］設 A，B，C 是群 G 的子群，且A?C，則C∩AB=A(C∩B)．

2 主要結果

定理1 設G的每個p階子群含于Z∞(G)，4階子群在G中s-半條件置換，則G為p-冪零群．

證明 設G為極小反例，設H＜G，K為G的p階子群，則由引理1．2可知K≤Z∞(G)∩H≤Z∞(H)，故H的每個p階子群包含在Z∞(H)中，且由引理1．1可知，4階循環子群在H中s-半條件置換，從而H滿足題設條件，由G的極小性可知，H為p-冪零群，從而G為內p-冪零群，由文獻［4］知:

(1)G=PQ，P?—G，Q= ＜ a ＞，其中P，Q分別為G的Sylp(G)子群和Sylq(G)子群．

(2)若p=2，則exp≤4，若p ＞ 2，則exp=p．

若p＞2，則由題設知 P≤ Z∞(G)，而由文獻［5］可知，Z∞(G)Q為冪零群，從而G=PQ=Z∞(G)Q冪零，故 p=2．

任取x∈P，若 o(x)=4，則由文獻［6］可知，＜x＞Q=Q＜x＞超可解，從而Q ?— ＜ x ＞ Q，故 x∈ NG(Q)，若 o(x)=2，則x∈ Z∞(Q)，而由 Z∞(G)Q冪零可知 x∈NG(Q)，從而由x的任意性得P≤NG(Q)，矛盾．

故極小反例不存在，從而G為p-冪零群．

推論1 設G的每個p階子群含于Z(G)，4階循環子群在G中s-半條件置換，則G為p-冪零群．

推論2 設G的每個極小子群含于Z∞(G)中，4階循環子群在G中s-半條件置換，則G為p-冪零群．

推論3 設G的每個極小子群含于Z(G)，4階循環子群在G中s-半條件置換，則G為p-冪零群．

定理2 設G是有限群，N?—G，且G/N超可解，若N的所有極小子群及4階循環子群都是G的s-半條件置換子群，則G是一個超可解群．

證明 設H是G的任意子群，HN/N≌H/(H∩N)是超可解的，H∩N?—H且H∩N的極小子群及4階循環子群為N的極小子群和4階循環子群，由引理1．1知，定理條件對子群繼承的．

假設結論不成立，設G為一個最小階反例，G中所有的真子群都是超可解的，即G是一個內超可解群，故由引理1．3知，存在P∈Sylp(G)，使得P?—G，P/Φ(P)是G/Φ(P)的極小正規子群，當p＞2時，exp=p，當 p=2或4，因為 P∈Sylq(G)，由Schur-Zassenhaus定理知，P在G中有補，設P在G中的補群為D，則由D超可解得G/P超可解，故G/(P∩N)超可解，令M=P∩N，則 M ≠1，且 M ?—G，由 P/Φ(G)的極小性知MΦ(P)=Φ(P)或者MΦ(P)=P．

(1)若MΦ(P)=Φ(P)，則有M?Φ(P)，又因為 Φ(P)?—Φ(G)，從而有 M ? Φ(P)?Φ(G)．由于 G/Φ(G)≌ (G/M)/(Φ(P)/M)，知G/Φ(G)超可解，G/Φ(G)≌(G/Φ(P))/(Φ(P)/Φ(P))，故G/Φ(G)超可解，進而 G 超可解，矛盾．

(2)MΦ(P)=P，則M=P，進而P≤N，由題設知P中的p階子群和4階循環子群都是G的s-半條件置換子群，令x∈P但不屬于Φ(P)且L=＜x＞，則L或者是G的一個極小子群，或者為G中的一個4階循環子群，由題設，L是G中一個s-半條件置換子群，設D為P在G中的一個補，因為L是s-半條件置換子群，所以存在g∈G，使得 LDg=DgL，利用引理1．4 可得

這表明LDg?NG(L)，因此，對于群G的階的每個不等于 p的素因子 q，總有 q不能整除|G:NG(L)|，下面考察 G/Φ(G)的子群 ˉL=LΦ(P)/Φ(P)，因為 P/Φ(P)是一個初等交換群，所以P/Φ(P)正規化LΦ(P)/Φ(P)，從而有Dg?NG(L)知，

且

從而

故可得

綜上所述，定理成立．

［1］ 林輝．有限群的s-半條件置換子群與p-超可解性［J］．佛山科學技術學院報:自然科學版，2008，26(5):11-14．

［2］ 王麗芳．s-半條件置換子群對群的冪零性的影響［J］．山西師范大學學報:自然科學版，2006，20(4):6-9．

［3］ 查明明．極小子群的完全條件置換性與有限群的超可解［J］．徐州師范大學學報:自然科學版，2004，22(3):1-3．

［4］ 徐明耀．有限群導引:上冊［M］．北京:科學出版社，1999．

［5］ 張遠達，等譯．冪零與可解之間［M］．武漢:武漢大學出版社，1988．

［6］ Huppert B．有限群論I:譯本［M］．福州:福建人民出版社，1992．

［7］ 陳重穆．內外群與極小非群［M］．重慶:西南師范大學出版社，1988．