區間二型隨機模糊系統的控制設計

張 彪，周紹生

(1.杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州310018;2.杭州電子科技大學自動化學院，浙江 杭州310018)

0 引 言

作為對傳統模糊集合理論的擴展，Zadeh 于1975年提出了二型模糊集合的概念[1]。在最近十年間，二型模糊集合理論與應用取得了快速發展，二型模糊集合是在傳統模糊集合基礎上進行擴維處理，使一個單一的模糊變量由兩個不同層次的隸屬函數來描述，其推理和設計的自由度得到了擴展，因此二型模糊集合具有描述多重不確定信息的能力[2]。區間二型模糊集合將二型模糊集合的次隸屬度賦值為1，大大簡化了二型模糊邏輯運算的復雜性。由于區間二型模糊集合既具有二型模糊集合描述不確定性問題的優勢，同時又避免了二型模糊集合運算過于復雜的問題，所以目前大多數基于二型模糊集合理論的應用都采用區間二型模糊系統[3]。近幾年，區間二型模糊系統的研究已經成為熱點[4-7]。Lam等人利用包含在不確定域中的信息，引入松弛矩陣，得到了區間二型T-S 模糊系統保守性更小的穩定性條件[4]，并研究了在不完全匹配條件下區間二型模糊系統的控制器設計問題[5];文獻[7]利用區間二型模糊集合隸屬函數的特性研究了帶有時滯的區間二型模糊系統的穩定性問題。另一方面，隨機系統的研究受到越來越多人的關注[8-9]。文獻[8]研究了帶有時滯的不確定隨機系統的控制器設計問題，文獻[9]研究了一類不確定It^o 隨機T-S 模糊系統的魯棒隨機鎮定問題。到目前為止還很少有關于區間二型隨機模糊系統的研究，受此啟發，本文主要研究了帶有多個維納過程基于T-S模型的區間二型隨機模糊系統的控制器設計問題，利用平行分布補償法設計狀態反饋控制器，采用不等式變換技巧和Schur補引理，以線性矩陣不等式形式給出了系統穩定的充分條件。

1 系統描述

區間二型模糊系統的優勢是它可以直接處理系統中存在的不確定性。從式(4)可以看出，在系統模型中用非線性函數)和來描述系統的不確定信息。同時式(4)也說明了不確定域中的內嵌一型模糊集合的隸屬函數可以通過和由區間二型模糊集合的上、下隸屬函數重構得到，在文獻[4]中，作者舉例闡明了這一點。

運用平行分布補償原理設計狀態反饋控制器，該控制器的第j個模糊規則描述如下:

式中，Kj∈Rm×n，j=1，2，…，p是第j個控制規則的反饋增益。區間二型模糊控制器被表述為:

引理1[9]如果存在一個正定且有上、下界的函數V(x，t)∈C2，1(Sh×[t0，∞);R+)，使得

是負定的，那么隨機系統(3)是隨機漸近穩定的。

2 主要結果

定理1 由式(3)和式(5)構成的區間二型閉環系統式(6)隨機漸近穩定的充分條件是:存在正定矩陣X ∈Rn×n，矩陣Dj∈Rn×m，使得下面的矩陣不等式成立:

證明 考慮二次型Lyapunov 函數:

式中，P=PT∈Rn×n＞0。記G(x)=[Ci1x Ci2x … Cimx]，W(t)=[ω1(t) ω2(t) … ωm(t)]T，可得:

將式(9)代入式(6)得到:

用對角陣diag{X-1，Ⅰmn，Ⅰmn}分別左乘和右乘不等式(7)兩邊可以推出:

記P=X-1，由Kj=DjX-1，由式(12)可得:

依據Schur 補引理可以推出不等式(13)式等價于:

3 數值實例

考慮區間二型隨機模糊系統式(6)，其中p=m=2，已知下列矩陣

下面給出一些仿真的初始參數:系統初始狀態為x1(0)=-1.5，x2(0)= 0.8，仿真時間區間為t ∈[0，T]，其中T=4。擾動變量步長Δt=Rδt，R=2。圖1和圖2反映的是系統狀態分別沿著10條和30條Wiener 過程路徑的反應曲線及它們沿這些路徑的均值，反映了系統沿著不同個數的隨機樣條下系統的狀態。

圖1 x1和x2 沿著10條Wiener 過程的響應曲線

圖2 x1和x2 沿著30條Wiener 過程的響應曲線

4 結束語

本文主要研究了一類帶有多維納過程的區間二型隨機模糊系統的控制器設計問題。設計狀態反饋控制器鎮定系統，利用隨機Lyapunov 理論，將這類系統的穩定性問題轉化為求解LMI 穩定性條件。最后給出一個仿真實例來闡釋這一方法的可行性。

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