等差數列的前n項和

張喜超

一、教學目標

1.學生通過幾個具體的數列求和的例子，描述出數列的前n項和的定義；并能解釋數列的前n項和的判定功能和性質功能；

2.學生通過觀察幾個特殊數列的求和過程，對項數n的奇偶進行分類討論，利用“配對”進行求和；

3.學生通過比較與奇偶有關的“配對求和”，探究推導等差數列前n項和公式的一般方法，并得出等差數列前n項和公式；

4.學生能根據具體問題的特點，正確選擇公式，解決一類“知三求二”的等差數列問題；

5.學生能利用Sn的判定功能，解決一類“已知Sn求an”的數列問題，并能選擇方法解決等差數列前n項和的最值問題；

6.學生能運用等差數列前n項和的有關知識解決一些簡單的實際應用問題。

二、重、難點分析

重點：等差數列前n項和公式的推導。

難點：等差數列前n項和公式的推導過程及綜合應用。

三、教學方法：

在教學策略上采用：以問題驅動，層層鋪墊，由特殊到一般的方法啟發(fā)學生獲得公式的推導思路，并采用評價樣題的形式加強公式的掌握運用。

四、教學流程設計

1.雙基回顧，溫故導新

【問題1】等差數列的定義：____________________________

【問題2】等差數列的通項公式： _______________

【問題3】

（1）等差數列中中，若，則__________

（2）上面的問題用的是等差數列的哪條性質？

設計意圖：復習鞏固有關等差數列的知識，為下面的學習打好基礎。

2.創(chuàng)設情境，嘗試探究

【問題1】你能寫出嗎？它們各表示什么？

【問題2】Sn表示什么？它的表達式是什么？

【問題3】

（1）若，，則可以表示為_______

（2）=？an與Sn、Sn-1什么關系？

【評價樣題1】已知數列的前n項和為，求.

設計意圖：設計問題組，層層推進，引導學生自主探究數列前n項和的判定功能和性質功能：，為下面的學習做好鋪墊。設計評價樣題1，加深對知識的理解和認識。

問題探究二：

【問題4】你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？

設計意圖：這個問題的設計，源于歷史，富有人文氣息；承上起下，探討高斯算法，并且由學生所熟知的問題引入，貼近學生的認知水平，并激發(fā)學生進一步探究問題的熱情和積極性。

【問題5】S79=1+2+3+…+79=？

問題探究三：

【問題6】Sn=1+2+3+4+…+n=？

【問題7】能不能找到不分奇偶就能求和的方法？

設計意圖：使學生體驗由特殊到一般的數學方法，初步感受倒序相加方法，進一步鞏固把不同的數的數列求和問題轉化為相同的數的求和問題這一數學化歸思想。

【問題8】已知等差數列，試猜想前n項和Sn的表達式，并給予證明。

設計意圖：讓學生在合作、交流的探討氛圍中學會表述、傾聽、質疑、答疑，體驗成功的喜悅并養(yǎng)成一種既要敢于大膽猜想，又要勇于嚴密論證的科學精神。

【問題9】通項公式中an可以用a1， n， d來表示，那么你能用a1， n， d來表示Sn嗎？

設計意圖：學生自己推導，有利于學生對兩個公式聯系的理解。

3.步步推進，應用公式

例1等差數列的公差為2，第20項a20=29，求前20項的和。

【評價樣題2】

（1）已知在等差數列中，，求

（2）已知在等差數列中，，求

（3）已知在等差數列中，，求a1和an

設計意圖：學以致用，著重強調公式的選擇。主要通過方程的思想進行基本量的運算，注意理解格式和規(guī)范，并有意識的培養(yǎng)學生的表述能力。

4.綜合應用，能力提升

例2.已知數列的前n項和公式為：

（1）這個數列是等差數列嗎？求出它的通項公式；

（2）求使得 最小的序號n的值。

【問題10】

（1）證明等差數列都有哪些方法？

（2）如何用Sn公式求an？

（3）數列作為一種特殊的函數，在已知通項公式an和前n項和公式Sn的條件下，如何求Sn的最小值？

【評價樣題3】

（1）已知數列的前n項和公式為，求使得Sn最大的序號n的值。

（2）已知等差數列的首項，公差為2，求使得Sn最小的序號n的值。

設計意圖：由于問題難度較大，學生獨立完成比較困難，所以設計梯級問題，引導學生根據前面所學內容逐步分解完成。設計評價樣題，對“已知Sn求an”以及前n項和的最值問題進行鞏固。

5.反思評價，深化認識

（1）閱讀整理部分

①課后閱讀課本，對照學案，認真整理課堂筆記。

②針對學習目標，總結自己這節(jié)課的收獲。

（2）課下練習：

必做題：課本練習A，B

選做題：

已知數列的前n項和Sn是關于正自然數n

的二次函數，其圖象上有三個點A、B、C。求

數列的通項公式，并指出是否為等差數列，說明理由。

研究性課題：有關銀行利息問題

1.課本例3

2.今年我們榮成二中喜遷新校，家屬樓也正在建設中。我校王老師按揭買房，向銀行貸款25萬元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數額。2012年1月王老師第一次向銀行還款2348元，以后每月比上月的還款額減少5元，若以2012年1月銀行貸款利率為基準利率（月利率5.5‰），那么到2031年12月最后一次還款為止，王老師連本帶利一共還款多少萬元？

設計意圖：布置彈性作業(yè)以使各個層次的學生都有所收獲和發(fā)展，考慮到學生的實際情況設計一個思考題，使學有余力的同學的創(chuàng)造性得到進一步的發(fā)揮；并設置研究性課題，鼓勵學生積極參與、自主探究生活中的數學問題及應用，培養(yǎng)學生的應用意識和大膽實踐的科學精神。