納米器件的非零點能Casim ir排斥力

方 明，宋開宏，王娟娟，黃志祥，吳先良，2

（1.安徽大學計算智能與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230039；2.合肥師范學院物理與電子工程系，合肥 230061）

文章編號：1001?246X（2015）01?0101?06

納米器件的非零點能Casim ir排斥力

方 明1，宋開宏1，王娟娟1，黃志祥1，吳先良1，2

（1.安徽大學計算智能與信號處理教育部重點實驗室，合肥 230039；2.合肥師范學院物理與電子工程系，合肥 230061）

結合邊界元方法，利用離散點表面電流及表面磁流的格林函數得到任意三維幾何體及任意材料納米器件互相作用離散點之間的Casimir力.給出浸泡在液體中納米器件的“非零點能”Casimir效應，分析Casimir排斥力產生的條件，為實際納米器件之間Casimir效應分析提供新的數值方法.

Casimir力；頻域電磁算法；非零點能；Casimir排斥力

0 引言

Casimir效應是由荷蘭物理學家Hendrik Casimir提出的，他指出真空中充滿了各種波長的粒子，當兩個不帶電的金屬板平行靠近時，會形成諧振腔較長波長粒子會被隔斷在平板之外，導致平板系統外能量高于系統內產生吸引力，這就是Casimir效應［1］.近十年隨著微機電系統技術的發展，納米器件之間Casimir效應越來越受到關注.如果納米器件距離小于一定量級，器件之間的Casimir力將占主導地位成為強吸引力［2］，它會使本來可以移動的器件粘滯在一起，導致微機電系統［3］（MEMS）失效.所以需要一種精準的方法對復雜幾何體微系統進行建模分析計算納米器件之間的Casimir效應，尤其是Casimir排斥力［4］，這是MEMS技術商用化的關鍵.

近年來國內外很多學者做了很多Casimir排斥力的研究，給出了幾種Casimir排斥力產生的方法，如使用特殊材料：左手材料［5］、負折射材料［6］、各向異性單負超材料［7］、基于飽和亞硝酸鹽對Casimir力極性調節［8］和通過磁光效應理論［9］等，以及特殊的系統中：浸沒在液體中的介質體之間［10］，交錯間隔的幾何體之間［11］.但是都只給出了Casimir排斥力產生的條件，或者簡單理想模型Casimir力的計算.真實MEMS應用中需要面對任意溫度下復雜的三維幾何體任意材料的器件Casimir力，所以分析Casimir排斥力產生條件需要精確的數值方法.本文使用頻域電磁算法邊界元法，通過經典電磁理論頻域求解散射問題，通過電磁場的量子化得到物體表面的Maxwell應力張量，由應力張量得到Casimir力.計算出MEMS中器件之間Casimir排斥力產生的距離范圍，甚至得到吸引力轉變為排斥力的平衡位置，克服MEMS器件粘附現象.

1 基本原理

1.1 基于Maxwell應力張量求解Casimir效應

通常計算Casimir效應從兩方面出發，①是直接計算各模式真空零點能進行重正化［12］，該方法對于對稱幾何體之間Casimir計算可以快速收斂而且精度較高，但是此方法只適合簡單的模型，對復雜幾何體很難操作；②是使用Maxwell應力張量［13］.本文使用應力張量方法，結合電磁算法可以求解任意材料和幾何體之間Casimir力.

如圖1所示，考慮兩個任意材料的三維物體A和B放置在真空中，根據“零點能”理論，真空環境中存在無窮多頻點的電磁能，A和B會改變真空中“零點能”的邊界．B表面S面上會產生感應電流，這些感應電流產生的散射電磁場會在A上產生的Maxwell應力張量，對A表面S′應力張量面積分即為A和B之間的Casimir力

FCasimir＝ ∮S′

Fm＝∫∞

0

∮S′

圖1 兩個物體使用三角形面元離散，使用RWG基函數對電磁流描述Fig.1 Schematic of electromagnetic currents discreted by RWG basis functions

Fm（ξ）dξ． （1） Fm（ξ）表示A上的m點在虛頻率ξ下Casimir力頻點分量，它可以表示為對物體B表面S的面積分（r）表示S面上r點的內法線方向，Tmn表示n點電磁流對應的散射電磁場在m點產生的Maxwell應力張量，對電磁場進行量子化可以得到

在絕對零度，將上式中〈Em（r）En（r′）ξ〉和〈Hm（r）Hn（r′）ξ記為

?為普朗克常量，GEEmn（r，r′；ξ）表示電流源r′（n點）在r（m點）產生的散射電場，GMMmn（r，r′；ξ）表示磁流源r′（n點）在r（m點）產生的散射磁場．將（2）－（4）式代入（1）便可以得到m點Casimir力的為

所以對于任意材料和幾何體物體之間的Casimir力計算首先我們要得到GEEmn（r，r′；ξ）和GMMmn（r，r′；ξ）兩個格林函數.

1.2 離散求解

對經典電磁理論部分求解使用PMCHW方程［14］，分別由等效原理和介質體表面電磁場切向連續邊界條件可以得到介質體內外的電場積分方程和磁場積分方程，將電場積分方程和磁場積分方程疊加可得到PMCHW方程

這里L0、L1、K0和K1為積分算子［14］，對電流和磁流使用RWG基函數［15］離散J（r）＝∑ajafa（r），M（r）＝∑amafa（r）．使用加勒金法進行檢測可得到矩陣方程

通過求解矩陣方程（9）得到電流和磁流離散系數，通過該系數可以得到散射場.記PMCHW阻抗矩陣的逆為

則待求電流磁流為

將RHS向量中的激勵場更換為n點上的點電磁流源在m點產生的電磁場，計算m點電磁流產生的散射場即可得到（r，r′；ξ）和（r，r′；ξ），由此可得到

將（13）式代入到（1）式中，得到物體間相互作用Casimir力為

2 計算結果

2.1 Casimir排斥力分析

圖2 各種材料相對介電常數ε（iξ）隨虛頻率ξ變化Fig.2 Materials relative permitivity as functions of image frequency

如圖2所示，使用Drude?Lorentz模型描述不同色散材料虛頻率下相對介電常數隨頻率的變化.浸沒在液體里介質體之間的介電常數滿足

則此時Casimir力表現為排斥力［16］，即在液體的虛頻率相對介電常數介于兩介質之間時，介質體之間Casimir力為排斥力.當兩個物體距離較近時，高頻率Casimir分量占到主導地位；而在物體距離較遠時，低頻率Casimir分量占主導地位［17］.由此可以推測兩個材料為聚四氟乙烯和硅的器件放入乙醇中，當兩物體距離較近時Casimir力為排斥力而距離較遠時為吸引力.為了驗證這個猜想使用本文方法計算不同材料放在液體中的Casimir力，同時準確地計算出物體之間的平衡距離（物體之間Casimir力為0）.

如圖3所示，兩個浸沒在乙醇液體中平行放置的立方體邊長分別為150 nm和300 nm，計算不同材料下兩個立方體之間的Casimir力（曲線上方標注前者為小立方體材料后者為大立方體材料），曲線都是使用PFA Casimir力歸一化［18］.本文歸一化方式是首先計算出介質體之間Casimir力，然后使用介質體相同的幾何模型，將介質體的介電參數改為理想導體，計算出此時的Casimir力，使用后者的Casimir力對介質體計算結果進行歸一化.圖中歸一化Casimir力為正表示吸引力，負值表示排斥力.計算結果與預測趨勢相同，同時給出了不同材料之間的平衡距離.

2.2 非零點能Casimir力計算

對于非零點能Casimir計算，需要在式（3）量子化過程加入溫度T的影響［18］.則（4）、（5）式改寫為

圖3 不同材料立方體之間經PFA歸一化的Casimir力隨距離變化Fig.3 Casimir force between cubes with differentmaterials normalized with PFA predictions

如圖4（a）所示模型，高為50 nm，直徑為120 nm的聚四氟乙烯圓餅和厚度為100 nm長度為400 nm的正方形硅板浸沒在乙醇中.圖4（b）所示曲線，為圓餅旋轉角度為0°時，在不同溫度下，Casimir力隨著聚四氟乙烯圓餅和正方形硅板距離變化.圖中可以看出溫度對Casimir力的影響，隨著溫度從0 K增加到400 K，Casimir力平衡距離從58 nm逐漸增加到100 nm.將聚四氟乙烯圓餅旋轉，圖4（c）所示曲線，計算圓餅旋轉不同角度下Z方向的Casimir力，隨著旋轉角度增大，圓餅在硅板上的投影變小，Casimir平衡距離逐漸變大.

圖4 常溫下聚四氟乙烯圓柱和硅板浸沒在乙醇中不同放置下Casimir力Fig.4 Casimir forces between silicon plate and Teflon cylinder immersed in ethanol

3 結論

使用頻域電磁方法即邊界元法對經典量子現象Casimir效應求解，對Drude?Lorentz模型的色散材料任意幾何體器件表面電磁流使用RWG基函數進行離散，求解經典電磁場理論中的散射問題，經過電磁場量子化得到離散元上的Maxwell應力張量.由應力張量得到Casimir力.本文給出的幾個算例包括不同材料物體之間Casimir力計算，分析了Casimir力排斥力出現的條件并且通過計算得到驗證.同時從實際應用出發，給出非零點能Casimir力計算方法，為實際應用MEMS系統器件之間Casimir效應分析提供了精確的數值方法.

［1］ Casimir H B G.On the attraction between two perfectly conducting plates［J］.Proc Kon，1948，51：793.

［2］ Buks E，Roukes M L.Stiction adhesion energy and the Casimir effect in micromechanical systems［J］.Physical Review B，2011，63：033402.

［3］ 樊康旗，賈建援，朱應敏，劉小院.原子力顯微鏡在輕巧模式下的動力學模型［J］.物理學報，2007，56：6345－6351.

［4］ Buks E，Roukes M L.Stiction adhesion energy and the Casimir effect in micromechanical systems［J］.Physical Review B，2001，63：033402.

［5］ Yang Y，Zeng R，Xu JP，Liu S T.Casimir force between left?handed?material slabs［J］.Physical Review A，2008，77：015803.

［6］ 曾然，羊亞平，劉樹田.負折射率材料對產生Casimir排斥力的影響［J］.物理學報，2008，57：4947－4952.

［7］ Zeng R，Yang Y P，Zhu SY.Casimir force between anisotropic single?negativemetamaterials［J］.Physical Review A，2013，87：063823.

［8］ Zeng R，Yang Y P.Tunable polarity of the Casimir force based on saturated ferrites［J］.Physical Review A，2011，83：012517.

［9］ Zeng R，Yang Y P.Repulsive and restoring casimir forces based onmagneto?optical effect［J］.Chinese Physical Letter，2011，28：054201.

［10］ Munday J，Capasso F，Parsegia V A.Measured long?range repulsive Casimir?Lifshitz forces［J］.Nature，2008，457：170.

［11］ Rodriguez AW，Joannopoulos JD，Johnson SG.Repulsive and attractive Casimir forces in a glide symmetric geometry［J］. Physical Review A.2008，77：062107.

［12］ Klinchitskaya G L，Mohideen U，Mostepanenko V M.Casimir and van derWaals forces between two plates or a sphere（lens）above a platemade of realmetals［J］.Physical Review A.2000，61：062107.

［13］ Toma?M S.Opposites attract：A theorem about the Casimir force［J］.Physical Review Letter.1995，97：160401.

［14］ Medgyesi?Mitschang L N，Putnam J M，Gedera M B.Generalized method of moments for three?dimensional penetrable scatterers［J］.JOpt Soc Am A，1994，11：383.

［15］ Rao SM，Wilton D R，Glisson AW.IEEE.Electromagnetic scattering by surface of arbitrary shape［J］.Trans on Ant Prop，1982，30：409.

［16］ AlejandroW R，Alexander PM，David W，Federrico C，Joannopoulos JD，Johnson SG.Bonding，antibonding and tunable optical forces in asymmetric membranes［J］.Physical Review Letter，2010，104：160402.

［17］ Yang Y P，Zeng R，Chen H，Zhu S Y，Zubairy M S.Controlling the Casimir force via the electromagnetic properties of material［J］.Physical Review A，2010，81：022114.

［18］ Homer M T.Fluctuating surface currents：A new algorithm for efficient prediction of Casimir interactions among arbitrary materials in arbitrary geometries［D］.Massachusetts：Masssachusetts Institute of Technology，2011.

Nonzero?point Casim ir Force Between Nano Devices

FANG Ming1，SONG Kaihong1，WANG Juanjuan1，HUANG Zhixiang1，WU Xianliang1，2（1.Key Laboratory of Intelligent Computing and Signal Processing，Ministry ofEducation，Anhui University，Hefei 230039，China；2.Department ofPhysics and Electronic Engineering，Hefei Normal University，Hefei 230061，China）

A frequency domain electromagnetic algorithm boundary element method is applied for computation of Casimir forces between arbitrarymaterialswith arbitrary geometry.Considering electric andmagnetic surface currentdistributions，Casimir force of two objects in terms of interactions of surface currents is obtained.Casimir effects between dielectric objects embedded in dielectric fluid are presented and numerical conditions of repulsive Casimir force are investigated.Non?zeropoint energy Casimir force calculation method is provided.It can be used for design of realistic MEMS.

Casimir force；electromagnetic algorithm；nonzero?point energy；repulsive Casimir force

O413.2

A

2014－01－15；

2014－06－07

國家自然科學基金（61101064，51277001）；安徽省杰出青年基金（1108085J01）；教育部新世紀優秀人才基金（NCET?12?0596）；安徽省高校自然科學基金（KJ2011A002，KJ2011A242，KJ2012A013）及教育部博士點基金（20123401110009）資助項目

方明（1990－），男，研究生，從事量子光學中電磁算法研究，E?mail：lyqy007＠gmail.com

Received date： 2014－01－15；Revised date： 2014－06－07