不確定環(huán)境下區(qū)間數(shù)優(yōu)化方法

李雁冰

（長(zhǎng)安大學(xué)工程機(jī)械學(xué)院，陜西 西安710064）

不確定性優(yōu)化的方法和理論已經(jīng)得到了人們的廣泛關(guān)注和研究，總結(jié)起來可以大致分為兩大類：模糊規(guī)劃方法和隨機(jī)規(guī)劃方法[1，2]。在隨機(jī)規(guī)劃中，是使用離散的或者連續(xù)的概率分布函數(shù)來描述不確定性變量；而在模糊規(guī)劃中，把不確定性變量作為模糊數(shù)（fuzzy number），約束當(dāng)作模糊集；把約束的滿足程度定義成隸屬度函數(shù)[3，4]。隨機(jī)規(guī)劃和模糊規(guī)劃本質(zhì)上都是基于概率建模，所以它們往往需要大量的不確定的信息。然而在實(shí)際生產(chǎn)中要獲得大量的、足夠的不確定信息會(huì)遇到很大的困難或者獲取信息的成本很高，使得這兩類方法在實(shí)際應(yīng)用中受到的限制比較多[5]。在這種情況下就凸顯了區(qū)間數(shù)優(yōu)化方法的便捷和經(jīng)濟(jì)性，因?yàn)閰^(qū)間數(shù)優(yōu)化只需要獲得不確定變量參數(shù)的取值范圍，需要的不確定性信息也會(huì)大大的減少。

1 生產(chǎn)計(jì)劃模型

區(qū)間數(shù)優(yōu)化模型是一種不確定性優(yōu)化模型，該模型中的一系列不確定性參數(shù)是用區(qū)間來表示。對(duì)于生產(chǎn)計(jì)劃的區(qū)間數(shù)優(yōu)化模型，一般采用以企業(yè)總的生產(chǎn)成本作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，輔以生產(chǎn)能力，勞動(dòng)力及市場(chǎng)需求等約束條件[6，7]。基于區(qū)間數(shù)的生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化模型如下：

約束條件：

上述模型中公式（1）是以企業(yè)的總生產(chǎn)成本為目標(biāo)的目標(biāo)函數(shù)，包括正常生產(chǎn)成本，加班成本，外包成本，庫(kù)存成本以及延遲交貨成本，還有各個(gè)計(jì)劃期內(nèi)的人工成本。公式（2）-（9）是生產(chǎn)計(jì)劃模型的各約束條件。約束（2）是每個(gè)計(jì)劃期產(chǎn)品能夠滿足市場(chǎng)需求；約束（3）是計(jì)劃期內(nèi)正常生產(chǎn)與加班生產(chǎn)的時(shí)間要小于設(shè)備所允許的最大工作時(shí)間；約束（4）、（5）是計(jì)劃期內(nèi)正常生產(chǎn)和加班生產(chǎn)所需要的勞動(dòng)力要小于企業(yè)當(dāng)前所擁有的勞動(dòng)力；約束（6）是參與生產(chǎn)的勞動(dòng)力要小于企業(yè)所能提供的最大勞動(dòng)力數(shù)量；約束（7）是庫(kù)存量要小于所能提供的最大庫(kù)存容量。

2 區(qū)間數(shù)優(yōu)化模型

在區(qū)間數(shù)優(yōu)化中，優(yōu)化模型中的不確定參數(shù)的可能值是利用區(qū)間來表示。在生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化中，區(qū)間數(shù)優(yōu)化是通過區(qū)間數(shù)序關(guān)系將生產(chǎn)計(jì)劃優(yōu)化中的不確定性問題轉(zhuǎn)化為確定性問題進(jìn)行求解[8]。

對(duì)于不確定參數(shù)利用區(qū)間數(shù)描述如下：

式中DR，DL分別是區(qū)間數(shù)D軒的上下限，表示區(qū)間數(shù)D軒的取值范圍在DR和DL之間。

2.1 不確定目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換

區(qū)間序關(guān)系是用來比較兩個(gè)區(qū)間的好或壞，通常用于線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化中不確定目標(biāo)函數(shù)的處理。上述的生產(chǎn)計(jì)劃模型中，目標(biāo)函數(shù)的可能取值是一個(gè)區(qū)間數(shù)而不是確定準(zhǔn)確的數(shù)值。因而需要比較不同變量下目標(biāo)函數(shù)值的區(qū)間數(shù)的好與壞，進(jìn)而獲得最優(yōu)的目標(biāo)變量。區(qū)間數(shù)優(yōu)化中可以選用的區(qū)間序關(guān)系有多種，通常選擇以區(qū)間的中點(diǎn)和半徑為偏好的區(qū)間序關(guān)系。基于以區(qū)間的中點(diǎn)和半徑為偏好的區(qū)間序關(guān)系，式（1）目標(biāo)函數(shù)的轉(zhuǎn)換模型如下：

其中Zc，Zw是目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的中點(diǎn)和半徑。基于以區(qū)間的中點(diǎn)和半徑為偏好的區(qū)間序關(guān)系，則式（1）中的不確定目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)換成確定性的多目標(biāo)函數(shù)：

2.2 不確定約束的轉(zhuǎn)換

在區(qū)間數(shù)優(yōu)化中，區(qū)間的不確定性約束需要滿足某一可能度水平，將不確定約束轉(zhuǎn)化為確定性的不等式約束。上述生產(chǎn)計(jì)劃模型中的不確定約束（2）、（3）和（6）的轉(zhuǎn)換如下：

0≤γ1，γ2≤1 是給定的可能度水平。

3 結(jié)論

為了處理生產(chǎn)過程中的不確定參數(shù)和變量，采用區(qū)間數(shù)優(yōu)化方法即把不確定參數(shù)和變量用區(qū)間來表示，確定不確定參數(shù)和變量值的上下限，建立區(qū)間數(shù)優(yōu)化模型。求解區(qū)間數(shù)優(yōu)化模型的方法是把區(qū)間優(yōu)化模型轉(zhuǎn)換成確定性問題來解決，把不確定目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成確定的多目標(biāo)函數(shù)，不確定約束轉(zhuǎn)換成確定的不等式約束。區(qū)間數(shù)優(yōu)化能夠很好的處理現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)環(huán)境中的不確定性問題，相比于傳統(tǒng)的不確定優(yōu)化，區(qū)間數(shù)優(yōu)化能夠更加經(jīng)濟(jì)便捷的對(duì)生產(chǎn)計(jì)劃進(jìn)行優(yōu)化。

[1]Ahmed S，Sahinidis N V.An approximation scheme for stochastic integer programs arising in capacity expansion.Operations Research[J].2003，51（3）:461-471.

[2]TakritiS，Ahmed S.On robustoptimization of two-stage systems[J].MathematicalProgramming，2003，99（1）:109-126.

[3]崔 迪.隨機(jī)規(guī)劃若干問題的研究[D].山東科技大學(xué)，2005．

[4]馮英俊，魏權(quán)齡.多目標(biāo)規(guī)劃模糊解的一般形式[J].模糊數(shù)學(xué)，1982，2（2）：29-35.

[5]姜潮·基于區(qū)間的不確定性優(yōu)化理論與算法[D]：湖南大學(xué)，2008.

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[7]張 健.不確定信息環(huán)境下集約生產(chǎn)計(jì)劃方法研究與應(yīng)用[D].華中科技大學(xué)，2011.

[8]馬龍華.不確定系統(tǒng)的魯棒優(yōu)化方法及應(yīng)用研究[D].浙江大學(xué)，2002.