用單調函數優化社會擴大再生產

摘 要：根據社會擴大再生產的充分必要條件，形成社會擴大再生產的優化問題，并將這一優化問題轉換成一個求一元函數的最大值問題。運用函數的單調性和某一部類的最高、最低積累率，簡便地獲得社會擴大再生產的優化問題的最優解。

關鍵詞：社會擴大再生產 優化 單調函數 最優解

中圖分類號：F014.6 ?文獻標識碼：A

文章編號：1004-4914（2015）09-030-02

一、實現社會再生產與社會再生產公式求解的對應

馬克思擴大再生產理論及其公式對于研究宏觀經濟具有重大的理論指導作用。馬克思社會再生產理論在兩大部類社會再生產公式得到集中體現。按照馬克思社會再生產理論，社會生產部門劃分成生產資料、消費資料的兩個部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類。第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ。下同）在年初的總資本分解成用于購買生產資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為Cj，Vj，按照經典的馬克思再生產公式中的假定，設Cj和Vj都是每年周轉一次;Cj作為中間消耗轉移到產品當中，Vj在產品當中新創造出來，并產生剩余價值Mj;第j部類的不變資本對于可變資本的固定不變倍數hj表示該部類的資本有機構成，剩余價值Mj與可變資本Vj之間保持固定不變的比率ej是剩余價值率。以Yj，Xj分別表示第j部類的新創造價值、總產值，對確定了含義的字母前面加符號△表示在當年再生產過程中所形成的增量，以Mxj表示第j部類投資者把本部類的剩余價值中用于個人消費的部分。由于剩余價值Mj是形成本部類的新增資本和投資者的個人消費的唯一來源，所以社會再生產公式中有剩余價值使用的行為方程：

△Cj+△Vj+Mxj=Mj j=I，II （1）

實現再生產意味著當年的全部生產資料、消費資料的使用量與生產量平衡，因而分別有生產資料、消費資料的均衡條件：

式（2）、（3）的左右兩邊分別表示了全社會的生產資料、消費資料的總需求和總供給。

式（1）、（2）、（3）組成了社會再生產公式。實現社會再生產就是能夠從式（1）、（2）、（3）中獲得一組待定變量△Cj，△Vj，Mxj的解。當△CI，△CII當中至少有一個大于零，就對應著擴大再生產;當△CI，△CII同時為零，就對應著簡單再生產。

因為每個部類的資本有機構成固定不變，那么剩余價值使用的行為方程式（1）可以改寫成：

將式（2）化簡，與將式（1）與（4）都代入式（3）并化簡得到的結果完全一樣。都是：

△CI+△CII=YI-CII ?△CI，△CII≥0（5）

所以，式（5）就是簡化的社會再生產公式，這時公式就只含有一個方程和△CI，△CII兩個變量。

按照馬克思社會再生產理論，社會總產品是由生產資料、消費資料兩種不同用途的產品共同組成。（YI-CII）表示生產資料總產品扣除掉兩個部類的生產資料消耗后剩余的部分，是用于擴大再生產的生產資料總供給，在當年數量是既定的，表示了一種狀態。而這種狀態隨著年份不同而不同，所以可以看作是狀態變量。陶為群（2014）提出并證明了社會擴大再生產的充分必要條件是狀態變量取值的一個限定區間：

由于每個部類內部的結構是固定不變的，因而再用兩大部類新創造價值之間的比例表示兩大部類之間的當年結構，就可以與資本有機構成、剩余價值率所表示的部類內部結構一起，完整地反映當年社會再生產的全部結構。兩大部類之間的當年結構是：

是以比例形式表現的狀態變量。將式（7）代入社會擴大再生產的充分必要條件式（6），得到結構狀態變量？漬取值的一個限制區間。

（YI-CII）是當年全社會的生產資料總產品當中的一個既定部分。式（7）表明了擴大再生產對于這一部分生產資料相對最低、最高數量限制，實際上就表明了對于生產資料總產品的最低、最高數量限制。又因為社會總產品是由生產資料、消費資料兩種不同用途的產品共同組成，所以，對于生產資料總產品的相對最低、最高數量限制，實際上就分別是對于生產資料占社會總產品的最低、最高比例限制。這一點又等價于兩種社會產品當中的一種產品對于另一種產品的最低或者最高比例的限制。正因為如此，式（6）所表明的擴大再生產的充分必要條件，可以替換成用消費資料產品與生產資料產品之間比例狀態的？漬最低、最高取值式（8）表示。

二、運用單調函數優化社會擴大再生產

擴大再生產的最一般結果就是有新增的社會產品。由于每個部類所生產的新增的社會產品的價值構成是固定不變的，所以本部類新增的社會產品中的任何一個部分，都能夠一般地代表整個新增的社會產品。為了便于和現代經濟模型中的產品或者產出概念銜接，這里以第j部類新增的新創造價值（產品）△Yj一般地代表該部類新增的社會產品（j=Ⅰ，Ⅱ）。那么，下一年相對于本年兩個部類新增的新創造價值（產品）總和△Y是：

△Y=△YI+△YII（9）

△Y能夠最一般地表示擴大再生產的結果。根據每個部類內部的固定不變結構關系，有：

擴大再生產的實質是剩余價值用作資本積累轉化成資本，包括新增不變資本、可變資本兩個部分。以μj表示第j部類的剩余價值積累率，那么式（4）可以改寫成：

將式（11）代入（10），得到：

將式（10）和（12）代入簡化的社會再生產公式（5），得到：

將的表達式（7）以及每個部類內部的固定不變結構關系代入式（13），得到：

式（14）表示了擴大再生產中的兩個部類積累率μI，μII之間的相互匹配關系。陶為群（2011）從式（14）中將μI作為μII的函數解出：

將式（12）和（15） 代入（9），并利用？漬的表達式（7）以及每個部類內部的固定不變結構關系，得到：

根據式（16），全社會的投資所產生的下一年新增的新創造價值是第Ⅱ部類積累率變量μII的函數。因為第j部類的新創造價值（產出）與不變資本之間的比率Yj/（Cj=1+ej）/hj是該部類的不變資本產出率（j=Ⅰ，Ⅱ），所以式（16）表明，△Y是μII的單調函數。在第Ⅰ部類的不變資本產出率不低于第Ⅱ部類即（1+eI）/hI≥（1+eII）/hII的條件下，△Y是μII的單調減函數，當μII取最小值時△Y取得最大值;而在第Ⅰ部類的不變資本產出率低于第Ⅱ部類即（1+eI）/hI<（1+eII）/hII的條件下，△Y是μII的嚴格單調增函數，當μII取最大值時△Y取得最大值。所以，可以運用△Y是μII的單調函數優化社會擴大再生產。

陶為群（2011）給出了第Ⅱ部類的最低積累率min（μII）和最高積累率max（μII）的表達式。

于是，在第Ⅰ部類的不變資本產出率不低于第Ⅱ部類的條件下，取μII*=min（μII），再代入式（16）得到新增的新創造價值△Y的最大值max（△Y）。

而在第Ⅰ部類的不變資本產出率低于第Ⅱ部類的條件下，取μII*=max（μII），再代入式（16），得到新增的新創造價值△Y的最大值max（△Y）。

因為擴大再生產的實質是剩余價值用作資本積累，所以擴大再生產的優化問題就是資本積累的優化問題，以上所獲得使擴大再生產得以優化的積累率μII*并代入式（15）相應確定μI*，就是全社會的最優資本積累。

綜合本文的全部論析說明，根據社會擴大再生產的充分必要條件，可以將一般的擴大再生產的優化問題轉換成一個求一元單調函數的最大值問題，運用函數的單調性和某一部類的最高、最低積累率，簡便地求得擴大再生產的優化問題的最優解。

參考文獻：

[1] 陶為群.兩大部類擴大再生產的充分必要條件與求解[J].經濟數學，2014（3）

[2] 陶為群.馬克思再生產模型中的最高、最低積累率[J].巢湖學院學報，2011（4）

（作者單位：中國人民銀行南京分行 江蘇南京 210004）

（作者簡介：陶為群，中國人民銀行南京分行巡視員，研究員，安徽財經大學兼職教授，主要研究方向：馬克思主義經濟學、數量經濟學。）

（責編：賈偉）