函數的應用知識點解讀及高考題型分析

王立超

一、知識點解讀

1.函數的零點

（1）函數零點的定義：對于函數y=f（x），我們把使f（x）=O的實數r叫做函數y=f（x）的零點。（2）幾個等價關系：方程f（x）=0有實數根<=>函數y=f（x）的圖像與z軸有交點<=>函數y=f（x）有零點。（3）函數零點的判斷（零點存在性定理）：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0.那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=O，這個c也就是方程f（x）=0的根。

2.二次方程的實根分布及條件

（l）方程f（x）=0的兩根中一根比r大，另一根比r小<=>a·f（r）（檢驗）或（檢驗），檢驗另一根在（p，q）內。（5）方程f（x）=0兩根中的一根小于p，另一根大于

3.二分法求方程的近似解

（l）二分法的定義：對于在區間[a，b]上連續不斷且的函數，通過不斷地把函數的零點所在的區間一分為二，使區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。（2）給定精確度ε，用二分法求函數零點近似值的步驟如下：①確定區間[a，b]，驗證，給定精確度②求區間（a，b）的中點c。③計算，則c就是函數的零點；若，則令b=c（此時零點則令此時零點。④判斷是否達到精確度e，即若，則得到零點近似值a（或b）；否則重復②③④。

4.常見的函數模型

（l）一次函數模型：為常數.k≠o）。（2）反比例函數模型：常數，k≠O）。（3）二次函數模型：為常數，a≠0）。（4）指數函數模型：為常數，（5）對數函教模型：為常數，。（6）冪函數模型：為常數，a≠0，n≠1）。（7）分段函數模型：這個模型實際是以上兩種或多種模型的綜合，因此應用上分廣泛。（8）函數模型。

5.幾類不同增長的函數模型及其增長差異

分別作出函數在第一象限的圖像，如圖1所示。

函數剛開始增長得最快，隨后增長的速度越來越慢；

函數剛開始增長得較慢，隨后增長的速度越來越快；

函數增長的速度也是越來越快，但越來越不如增長得快。

函數和的圖像有兩個交點（2，4）和（4，16）。

當x∈（2，4）時，，當x∈（0，2）U（4，+∞時，。所以當x>4時，

一般地，在區間（O，+∞）上，盡管函數和都是增函數，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上。隨著x的增大，的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于（n>O）的增長速度，而的增長速度則會越來越慢，因此，總會存在一個x。，使得當x>x。時，就有。這一結論充分體現了指數函數的爆炸式增長。

二、高考題型分析

1.函數零點所在區間的判斷

判斷函數f（x）的零點所在的區間，依據零點存在性定理將區間端點的值代入驗證，此法只適用于變號零點。值得說明的是零點存在性定理是充分條件，而并非是必要條件。不易判斷時也可以畫圖觀察。

例1 已知函數在下列區間中，包含f（x）零點的區間是（）。

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，4）

D.（4，+∞）

解：由題意知函數f（x）在（O，+∞）上為減函數。

由零點存在性定理，可知函數f（x）在區間（2，4）上必存在零點。

應選C。

跟蹤練習1：對于函數，若，則函數f（x）在區間（a，b）內（）。

A.一定有零點

B.一定沒有零點

C.可能有兩個零點

D.至多有一個零點

提示：判斷二次函數的零點，也可結合其圖像進行判斷。

由二次函數的圖像可知，若a，b在二次函數的兩個零點外側，則有，所以函數f（x）在區間（a，6）內可能有兩個零點，應選C。

2.二分法的應用

二分法只適用于變號零點，二分法是求方程的根的近似值的一種方法。

記憶口訣：定區間，找中點，中值計算兩邊看，同號去，異號算，零點落在異號間。周而復始怎么辦？精確度上來判斷。

例2 設函數f（x）的零點為的零點為，若，則函數f（x）的解析式為（）。

解：先確定選項A、B、C、D中的零點為x1，再利用二分法可求得。

選項A中，x1=l；選項B中，x2=O；選項C中，選項D中，

因為g（1）=4+2-2>0，g（O）=1-2<0，，所以，應選D。

跟蹤練習2：函數的一個正數零點附近的函數值用二分法計算，得數據如表1所示，那么方程f（x）=O的一個最接近的近似根為（）。

A.1.2

B.l.3

C.1.4

D.1.5

提示：由表1找出最大的零點區間即可。

由零點存在性定理知，最接近的近似根為1.4。應選C。

3.方程實根分布問題

研究一元二次方程的區間根，一般情況下需要從以下三個方面考慮：（l）一元二次方程根的判別式；（2）對應二次函數區間端點函數值的正負；（3）對應二次函數圖像的對稱軸與區間端點的位置關系。

例3 若直角坐標平面內兩點P，Q滿足條件：①P，Q都在函數y=f（x）的圖像上，②P，Q關于原點對稱，則稱（P，Q）是函數y=f（x）的一個“伙伴點組”（點組（P，Q）與（Q，P）看作同一個“伙伴點組”）。已知函數有兩個“伙伴點組”，則實數k的取值范圍是______。