追及問題的分類解析

許文

直線運動中的追及問題是運動學中的一個典型應用實例，我們經常會遇到。追及問題可分為追及中的極值問題、相遇問題，下面進行分類解析，以幫助同學們掌握其特點，探索其解法。

一、追及中的極值問題

對于追及中物體間距的極值問題，一般我們可以先假設物體運動了一段時間t，找出它們的間距s與t的函數關系式△s（t），再利用函數的相關知識求其極值。

例1 相隔一定距離的A、B兩小球的質量相等，假設它們之間存在恒定的斥力作用。原來兩球均被按住處于靜止狀態，現突然松開兩球，同時給A球以初速度u₀使之沿兩球連線向B球運動，B球初速度為零。若兩球的距離從最小值（兩球未接觸）恢復到原始值所經歷的時間為t₀，求B球在斥力作用下的加速度大小。

分析與解：設兩球原來距離為Z，兩球的加速度大小均為a，從開始運動時間￡后兩球的間距應為。由函數知識可知，當

點評

物理極值問題是某種特殊狀態下的取值。取得物理極值的狀態即為臨界狀態，對臨界狀態的分析要充分挖掘出題目中存在的臨界條件。對于追及中物體間距的極值問題，我們可以先找出運動物體間距與運動時間的一般函數關系式，然后再由一般到特殊進行分析。

二、追及中的相遇問題

兩物體相遇的實質就是兩物體在同一時刻有同一位置坐標，相遇即有△s（t）=0，式中t即為相遇時間，t有實際意義解的個數即為兩物體相遇的次數。

例2 甲乙兩物體在平直公路上同向行駛，它們運動的速度圖像如圖1所示，其中△POQ與△QOT的面積分別為S1與，初始時甲在乙前面So處，則下列說法正確的是（）。

A.若，兩車不會相遇

B.若，兩車相遇2次

C.若.，兩車相遇1次

D.若，兩車相遇1次

分析與解：從兩車運動的v-t圖像來看，可設甲車做初速度為零、加速度大小為a1的勻加速直線運動，乙車做初速度為Uo、加速度大小為的勻加速直線運動。在T時刻兩車速度相等，即有得。運動時間t后兩車間距為，若兩車相遇則有。這個方程關于t的解即為相遇時間。此一元二次方程根的判別式為。由①③得。可知：若，則△<0（t無實數意義的解），兩車不會相遇；若則△>O（t有兩個實數意義的解），兩車相遇2次；若，則△=O（t有一個實數意義的解），兩車相遇1次；若，則△<0（t無實數意義的解），兩車不會相遇。故本題正確答案為ABC。

點評

本題解答中①式是從題目給出的圖像中找出的一個隱含關系，它對問題的分析與求解很關鍵。如果以甲車為參照物，在運動時間T內乙車相對甲車的相對位移應為s1也很容易得到①式。

追及中的相遇問題是運動學中最常見的問題之一，解題的方法較多。一般有：（1）解析法。分析追及物體與被迫及物體之間的運動情況，建立相應的時間關系、位移關系、速度關系、加速度關系等方程，從而解決問題。（2）圖像法。在同一坐標系中畫出追及物體與被追及物體的速度圖像或位移圖像，從圖像中尋找相應關系來解決問題。（3）轉換參考系法。選擇適當的參考系來簡單描述追及中物體的運動。同學們可根據問題的具體情況選擇合適的方法來解決問題。