函數的應用核心考點演練

吳傳葉

一、選擇題

1.方程的根存在的大致區間是（）。

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，e）

D.（3，4）

2.若f（x）是奇函數，且x。是的一個零點，則-x0一定是函數（）的零點。

A.

B.

C.

D.

3.已知f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，，則函數g（z）=f（x）-x+3的零點的集合為（）。

A.{l，3}

B.{-3，-1，1，3）

4.已知偶函數y=f（x），x∈R，且滿足f（x）=若函數y=f（x）-g（x）的零點個數為（）。

A.1

B.3

C.2

D.4

5.設函數，集合M={x|f（x）=

A.ll

B.13

C.7

D.9

6.若a滿足滿足，函數，則關于x的方程f（x）=x的解的個數是（）。

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知e是自然對數的底數，函數的零點為a，函數g（x）=Inx+x-2的零點為6，則下列不等式成立的是（）。

A.f（1）B.f（a）

（l）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？

（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？

24.某家庭進行理財投資，根據長期收益率市場預測，投資債券等穩健型產品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產品的收益與投資額的算術平方根成正比。已知各投資1萬元時兩類產品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元。

（1）分別寫出兩類產品的收益與投資的函數關系。

（2）該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，問怎么分配資金能使投資獲得最大收益，其最人收益是多少。

25.為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消牦費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：。若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和。

（1）求k的值及f（x）的表達式。

（2）問隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達到最小，并求最小值。

參考答案與提示

一、選擇題

1.提示：設，則得，所以函數f（x）在區間（1，2）內有零點，應選B。

2.提示：由已知可得，則，即得，可知一定是的零點。

應選C。

3.提示：求出當x<0時f（x）的解析式，分類討論解方程即可。

令x<0，則-x>0，所以

因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（-x）=-f（x）。

所以當x<0時，當x≥0時，

令g（x）=0，即，解得x=l或x=3。

當x<0時，令g（x）=0，即，解得（舍去）或

所以函數g（x）有3個零點，其集合為{-2-

應選D。

4.提示：作出函數f（x）與g（x）的圖像（圖略），其中包括的圖像。

由圖像可知兩個函數有3個不同交點，所以函數y=f（x）-g（x）有3個零點。

應選B。

5.提示：由集合，結合函數f（x）的解析式及韋達定理，易求出c1及C4的值。

由根與系數的關系知（這里為方程的根，4）。

，由集合M中的性質可取（1，7），（2，6），（3，4），（4，4），且知c1≥c2≥C3≥C4，所以c1=16，C4=7。

所以c1-C4=9。

應選D。

6.提示：由a滿足x+lgx=4，b滿足4，可得a，b分別為函數y=4-x與函數y=lgx，圖像交點的橫坐標。

由于y=z與y=4-x圖像交點的橫坐標為2，函數y=lg z與的圖像關于y=x對稱，所以a+b=4。

所以函數f（x）=

當x≤0時，關于x的方程f（x）=x，即，可得x=-2或x=-l，可知滿足題意；當x>0時，關于x的方程f（x）=x，可得x=2，可知滿足題意。

所以關于x的方程f（x）=x的解的個數是3。

應選C。

7.提示：先確定兩函數零點所在的區間，再利用函數f（x）的單調性求解。

因為函數f（x），g（x）均是增函數，且f（0）·f（1）<0，g（1）·g（2）所以a

14.提示：因為點（1，0），（-l，0）在f（x）的圖像上，且圖像關于直線x=-2對稱，所以點（-5，0），（3，O）必在f（x）的圖像上。

所以f（-5）=（1-25）（25-5a+b）=O，f（-3）=（1-9）（9-3a+b）=0，聯立解得a=8，b=15。

所以，即f（x）

令，則f（t）=，當t=l時，

答案為16。

15.提示：由，可得

所以

所以f（x）在（-l，O）內存在零點。

又f（x）為增函數，所以f（x）在（-l，0）內只有一個零點，可得n=-l。

答案為-l。

16.提示：在同一直角坐標系中作出函數y=f（x），y=kx的圖像（圖略）。

函數y=f（x）圖像最高點的坐標為A（2，1），過坐標原點0和點A的直線斜率為2。

當x≥2時，是單調減函數，且f（x）>O，直線y=kx過原點，所以當O答案為（O，2）。

17.提示：

令，則

由于f（x）有零點，則關于t的方程，2=O在（一∞，-2]U[2，+∞）上有解。

因為t≠-l，所以方程可化為

所以上都是減函數，所以當t≤-2時，a≥2；當t≥2時，

所以

18.提示：當O≤x<2時，f（x）=x（x十1）（x-l），即當0≤x<2時，f（x）=o有兩個根，即x=0或x=1。

f（x）是R上最小正周期為2的周期函數，當2≤x<4時，f（x）=0有兩個根，即x=2或x=3；當4≤x<6時，f（x）=o有兩個根，即x=4或x=5；6也是f（x）=0的根。

故y=f（x）的圖像在區間[O，6]上與x軸的交點個數為7。

三、解答題

19.提示：（l）當a=o時，顯然f（x）是奇函數。

所以函數f（x）在[1，2]上單調遞增。

20.提示：設彩電的原價為a元。

由題意可得a（1+0.4）×80%-a=270。

所以0.12a=270，解得a=2250。

所以每臺彩電的原價為2250元。

21.提示：（l）因為y與x-0.4成反比例，所以設

把x=0.65，y=0.8代人上式得0.8=，可得k=0.2。

所以，則y與x之間的函數關系式為

（2）根據題意得（0.8-0.3）（1+20%），整理得，解得

因為x的取值范圍是0.55～0.75，所以x=0.5不符合題意，則x=0.6。

所以當電價調至0.6元時，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%。

22.提示：（l）根據題意可得

又1≤x≤10，可解得3≤x≤10。

（2）設利潤為y元，則。

所以當x=6時，。

即當生產速度為6kg/h時，最大利潤為457500元。

23.提示：（1）當每輛車的月租金定為3600元時，未租出的車輛數為，所以這時租出100-12=88（輛）。

（2）設每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為

所以當x=4050時，f（x）最大，其最大值為f（4050）=307050。

即當每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益為307050元。

24.提示：（l）設兩類產品的收益與投資的函數關系分別為

由已知得

所以

（2）設投資債券類產品為x萬元，則投資股票類產品為（20—x）萬元。

依題意得

所以當t=2，即x=16時，投資收益最大，其最大收益為

25.提示：（l）由已知條件得C（0）=8，則k=40。

所以

（2）由此可得

當且僅當，即x=5時上述不等式的等號成立。

所以當隔熱層為5cm時，總費用f（x）達到最小，其最小值為70萬元。