函數零點常考題型掃描

吳祖金 李中方

函數的零點是函數、方程、圖像的知識交匯點，它充分體現了函數與方程的關系，且蘊含豐富的數學思想。每年高考都有此類題出現，下面例析一些常考題型，供大家學習與參考。

題型一：函數零點的分布

例1 函數的零點所在的大致區間是（）。

A.（1，2）

B.（2，5）

C.（5，10）

D. （10，+∞）

解：由，可得f（l）=-9<0，

由函數零點存在性定理，可知函數f（x）的零點所在的大致區間是（5，1O），應選C。

評析：函數y=f（x）在[a，b]上連續，且f（a）.f（b）0時，函數也可能有零點。

題型二：函數零點與零點個數的判斷

例2 函數，的零點個數為（）。

A.2

B.3

C.7

D.0

解：由f（x）=0，可得或，解得x=-1或。

所以函數f（x）共有2個零點，應選A。

評析：對函數零點個數的判斷可從以下幾個方面考慮：（l）結合函數圖像；（2）根據零點存在性定理求某些點的函數值；（3）利用函數的單調性判斷函數的零點是否唯一。

題型三：根據函數零點的存在情況，求參數的值或范圍

例3 已知函數

（l）若函數y=g（x）-m有零點，求實數m的取值范圍。

（2）確定m的取值范圍，使得方程g（x）-f（x）=0有兩個相異實根。

解：（1）作出函數的大致圖像（如圖1）。

由圖像知，若y=g（x）-m有零點，則只需m≥2e。所以實數m的取值范圍是[2e，+∞）。

（2）若方程g（x）-f（x）=0有兩個相異實根，即函數g（x）與f（x）的圖像有兩個不同的交點。

再在圖1中作出函數1的大致圖像（圖略）。因為，所以其圖像的對稱軸為x=e，開口向下，最大值為

可知當，即時，g（x）與f（x）有兩個不同交點，即方程g（x）-f（x）=0有兩個相異實根。所以m的取值范圍是

評析：函數零點的應用主要表現在利用零點求參數范圍。若方程可解，通過解方程即可得出參數的范圍；若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造函數，利用兩個函數圖像的關系求解，這也體現了數形結合思想的應用。

題型四：二次函數的零點問題

例4 已知二次函數

（l）若a>b>c，且f（1）=0，試證明f（x）必有兩個零點。

（2）若對x1，x2∈R，且x1