結合函數圖像判斷零點個數

劉輝

有關方程的根與函數的零點的兩個結論和一個推論：

結論1：方程f（x）=0有實數根<=>函數y=f（x）的圖像與x軸有交點㈢函數y=f（x）有零點。

結論2：如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不間斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=O的實數根。

推論：方程f（x）-g（x）=O有實數根<=>函數y=f（x）的圖像與函數y=g（x）的圖像有交點<=>函數F（x）=f（x）-g（x）有零點。

下面利用函數思想與數形結合思想，舉例分析函數零點問題，并從中體會數形結合法的優越性。

例1 方程的根的個數是______。

解法1：構造函數所以f（x）在（1，e）內有零點。又f（x）在（O，+∞）上為增函數，所以f（x）在定義域（0，+∞）內僅有1個零點。

解法2：令

在同一直角坐標系中作出函數與g（x）=Inx的圖像（如圖1），由圖像可知，兩條曲線只有1個交點，所以此方程只有1個根。

評析：在解法l中，既要求出，還要說明。在定義域內是單調的，這樣才能得出方程僅有1個根。

側2 判斷方程的根的個數。

解：令，在同一直角坐標系中作出這兩個函數的圖像（如圖2）。

由圖像可知，方程只有1個根。

評析：結合函數圖像解決零點問題比利用零點存在性定理求解要簡單得多。

例3 設a為常數，試討論方程lg（x-l）+lg（3-x）=lg（a-x）的實根個數。

解法1：原方程中x應滿足的條件是：

原方程等價變形為

令，在同一直角坐標系中分別作出這兩個函數的圖像（如圖3）。

由方程可知當△=0，即時，此方程有1個實根。

結合圖像可知，當a≤1或a>時，方程沒有實根；當a≤3時方程有1個實根；當時方程有2個實根。

解法2：原方程等價于：

令在同一直角坐標系中作出兩個函數的圖像（如圖4）。

由圖像可知，動直線與曲線的交點個數（略）。

評析：結合函數圖像解決函數零點個數問題，往往可以避免復雜的運算和分析，只要作圖相對準確，一般可以很快得出正確的結論。