淺談函數的零點

王岳軍 尤興勇

函數的零點，其實質上反映的是函數與方程的關系，即體現的是函數與方程的思想，亦即用函數的知識解決方程的問題。在方法上主要是用數形結合思想來解決與函數零點的范圍、零點的個數等有關的問題。函數的零點比較抽象，也比較難懂，所以給同學們在初學時帶來了不少麻煩。

其實函數的零點從“數”的角度來說就是方程f（x）=0在函數定義域上的實根，從“形”的角度來說就是函數y=f（x）的圖像在定義域上與x軸交點的橫坐標。因此，要把握好兩點：函數y=f（x）的零點<=>方程f（x）=O在定義域上的實根<=>函數y=f（x）的圖像在定義域上與x軸交點的橫坐標；方程f（x）-g（x）=0的實根㈢方程f（x）=g（x）的實根<=>函數y=f（x）與函數y=g（x）圖像的交點的橫坐標。

下面給出幾道典型例題及解答，供大家參考。

例1 函數的零點所在的一個區問是（）。

A.（-2，-1）

B.（-1，0）

C.（O，1）

D.（1，2）

解法一：直接利用函數的零點存在性定理再結合排除法求解。應選B。

解法二：由f（x）=O，可得利用常規方法解不了這個方程。

函數的圖像不好畫，可利用轉化思想求解。求方程的實根也就是求方程的實根。

令函數，在同一直角坐標系巾畫出這兩個函數的圖像（圖略）。

通過觀察兩個函數圖像的交點，可知選B。

例2 函數在區間（O，1）內的零點的個數為（）。

A.O

B.1

C.2

D.3

解：本題和例l是同一類型的題目，解題的關鍵是確定畫哪個函數圖像方便求解的問題。

根據轉化思想可知：求方程的實根就是求方程的實根。

在同一直角坐標系中分別畫出函數和的圖像（圖略）。

通過觀察兩個函數圖像的交點，可知選B。

例3 方程的實根個數為（）。

A.3

B.2

C.1

D.O

解：求方程的實根個數就是求方程的實根個數。

令。在同一直角坐標系中分別畫出這兩個函數的圖像（圖略）。

通過觀察兩個函數圖像的交點，可知選B。

例4 函數的零點個數為（）。

A.1

B.2

C.3

D。4

解：此函數的定義域為（0，+∞）。此問題應在函數的定義域內加以解決。

函數的零點個數就是方程的實根個數，也就是方程的實根個數。

令函數。在同一直角坐標系中分別畫出函數和的圖像（圖略）。

通過觀察兩個函數圖像的交點，可知選B。

例5 比較與的大小關系，并寫出其所對應的x的取值范圍。

解：此題利用常規方法不容易求解。通過上述幾個問題所積累的經驗，可運用數形結合思想求解。

在同一直角坐標系中，分別畫出函數和的圖像（如圖1）。

通過觀察圖像可知：當

評述：這類問題一般都要用數形結合思想加以解決，但問題的關鍵是畫哪個函數圖像比較貼近我們的認知，畫起來比較方便快捷。這需要在平時的學習中多發現規律，找出解題的切入點。