函數(shù)零點(diǎn)細(xì)斟酌

王友就

一般地，對(duì)于函數(shù)，我們把方程的實(shí)根x叫作函數(shù)的零點(diǎn)。求解與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，需要仔細(xì)斟酌，稍有疏忽就會(huì)出錯(cuò)，下面舉例分析。

一、對(duì)零點(diǎn)含義理解錯(cuò)誤

例1 函數(shù)的零點(diǎn)是（）。

A.（1.0）

B.（4，O）

C.（1，O）或（4，O） D.1或4

錯(cuò)解：應(yīng)選C。

錯(cuò)解分析：錯(cuò)解的原因是沒(méi)有理解零點(diǎn)概念的含義，誤認(rèn)為零點(diǎn)就是一個(gè)點(diǎn)。函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，即使成立的實(shí)數(shù)z，也是函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

正解：令，可得x=1或x=4，應(yīng)選D。

二、忽視端點(diǎn)值致錯(cuò)

例2 若函數(shù)f（x）在區(qū)間[5，5]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且f（x）在（-5，5）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，則的值（）。

A.小于O

B.大于0

C.等于0

D.不能確定

錯(cuò)解：由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知f（-5）.f（5）錯(cuò)解分析：應(yīng)該正確理解函數(shù)零點(diǎn)的含義及函數(shù)零點(diǎn)的存在性。當(dāng)函數(shù)f（x）在（-5，5）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)的符號(hào)不能確定。

正解：已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[-5，5]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)f（x）在（-5，5）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，若該零點(diǎn)是變號(hào)零點(diǎn)，則有，否則有。應(yīng)選D。

三、盲目運(yùn)用零點(diǎn)存在性定理致錯(cuò)

例3 判斷函數(shù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)是否有零點(diǎn)。

錯(cuò)解：因?yàn)椋?可知麗數(shù)在區(qū)間[-1.1]內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)。

錯(cuò)解分析：上述解法錯(cuò)用了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理。若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，則在[a，b]內(nèi)可能有零點(diǎn)。

正解：令可得，所以函數(shù)2015在區(qū)間[-l，1]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)。

四、忽視二次項(xiàng)系數(shù)為零致錯(cuò)

例4 函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______。

錯(cuò)解：對(duì)于函數(shù)，若即，則m=l，可知方程0有唯一實(shí)根x=1。

若△≠0，顯然x=0不是零點(diǎn)，這樣函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程1=0有一正根和一負(fù)根，則mf（0）<0，即m<0。

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）U{1}。

錯(cuò)解分析：錯(cuò)解忽視了對(duì)m=0的討論。若m=0，則f（x）=-2x+l是一次函數(shù)。

當(dāng)，此時(shí)函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)。

正解：若是函數(shù)f（x）的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)。

若m≠0，當(dāng)△=O時(shí)，即可得m=l，可知方程有唯一正實(shí)根x=1；當(dāng)△≠0時(shí)，顯然x=0不是零點(diǎn)，這樣函數(shù)f（x）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià)于方程，1=0有一正根和一負(fù)根，則，mf（O）<0，即m<0。

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，0]U{1}。

五、忽視特殊值x=1致錯(cuò)

例5 若函數(shù) f（x）=則函數(shù)y=f（x）-x的零點(diǎn)為_______。

錯(cuò)解：由解得所以函數(shù)y=f（x）-x的零點(diǎn)為

錯(cuò)解分析：上述解法漏掉了

正解：函數(shù)y=f（x）-x的零點(diǎn)即為方程f（x）=x的根。