世間最神秘的三個數字（九）

劉瑋

鵬飛：“還記得那個讓你驚奇的等式嗎？”

皓天：“是說歐拉的 +

+ +…= 吧？”

鵬飛：“對，更神奇的是1+ + + +…+ =e。”

皓天：“又是神一樣的表達！干脆寫成e= + + +

+…+ +…全體自然數階乘的倒數和居然就是e——真乃大自然也！”

鵬飛：“還有更奇妙的，y=ex的導數仍然是它自身！”

皓天：“這有啥奇妙的？沒看出來。”

“在所有函數當中，唯有這個函數具有這一奇妙性質，這就導致大自然的許多規律和現象都會遇到e。我們討論過，人的感覺是以物理強度的幾何級數，動植物的生長繁衍也是以幾何級數方式進行的。”

“比方說……”

“一個地區的某種生物，在外界環境穩定的條件下，繁殖率k也一定，于是一小段時間dt內新出生的個體數dw一定與該生物總數成正比，即dw = kwdt，這個式子變形后可得：kdt = ，由積分就可得：kt = lnw + c，開始時即t =0時，設生物總數為w0，則c = -lnw0，即：kt = ln ，再寫成指數形式就是：w = w0ekt。植物、動物、人口，以及生物個體的生長發育在一定階段，都是以這個方式增長的。”

皓天：“我上網搜一下‘胎兒體重增長標準 ……哈！還真是的，16周內胎兒體重就是按指數規律增長的，大約每周增加1倍。可為什么以后就不再按照這一規律了呢？馬爾薩斯預言的人口增長理論也是這個規律，事實是不可能的，即使不實行人工干預，人口也不會無限增長。就像我自己，15歲以后幾乎沒見長，人到老的時候還會縮，就像你鵬飛，看起來比以前好像還矮了些。”

鵬飛：“事物的發展都有促進和抑制兩方面，是矛盾對立斗爭的結果。胎兒在前幾周內抑制因素較弱，主要是細胞的分裂生長，細胞這一變兩、兩變四地只分裂不衰敗，當然是指數式生長了。但到了后期，空間、營養及細胞老化等抑制因素逐漸占了上風，而且胎兒的成長模式也發生了轉換，主要轉向器官功能完善方面了，體重增加自然就慢了。”

“辯證法都用上了啊。看來任何新生事物在發展壯大期都是指數式增長。一棵小草的發芽如此，春天一片草地的生長理所當然也如此。胎兒如此，人口在早期無限制的增長也會像馬爾薩斯預言的一樣快速增長。個體與整體的發展是相似的，看來相似性處處存在。”

“老子《道德經》第四十二章說道：‘道生一，一生二，二生三，三生萬物。‘道是世界的本源，宇宙從無中產生了混沌或太一，這‘一又一分為二，‘二就是矛盾對立的兩方面。陰陽兩方面斗爭的結果就產生了新生事物——第三者，如此便產生了萬物。”

皓天：“看來這e的發現應歸功于老子，哈哈！那么事物衰敗的模式也應該是指數式縮減咯？”

鵬飛：“放射性元素的衰變規律還記得嗎？”

皓天：“是個統計規律，有個半衰期τ，每過一個半衰期，放射性元素減少一半，經過時間t，原來m0的放射性物質只剩下m = 。咦，這里怎么沒有e呢？”

鵬飛：“可以這樣來考慮，假設單位時間內單位質量的放射性物質有k個單位的質量衰變了，k顯然小于1，則一小段時間dt內放射性物質減少了，其質量增加量dm = -kmdt，將該式變形后，與剛才得到的式子差不多： = -kdt，積分后可得：m = m0e-kt，當m = m0時，t就是半衰期τ，所以：τ = ，看到嗎？所有的指數規律都與e有關。”

皓天：“如果我們把事物壯大的規律y = ex 和衰敗規律y = -ex 畫在同一個圖上，會非常對稱。”

鵬飛：“你知道把這兩個函數相加是什么嗎？”

皓天：“代表新舊事物的更替演化過程唄！”

鵬飛：“y = ex + e-x 恰好就是一根懸掛的鏈子具有的形狀。”

皓天：“鏈子一端懸掛下垂，慢慢地另一端又掛上去，正好代表了新舊事物的更替。”

鵬飛：“懸鏈線蘊含了辯證法，展示了事物發展演化的形象。我再考考你，以前和你談到鸚鵡螺長的形狀與e也有關，你知道它的曲線方程是什么嗎？象牙、野豬的獠牙、向日葵果盤上的紋路又是什么曲線？”

皓天：“這個……”

鵬飛：“換個問題吧：一根1米長的橡皮繩，假設可以被無限均勻拉長而不會斷，每秒被拉長1米。一只小蟲子從一端開始，相對繩子以1厘米/秒的速度勻速爬向另一端，小蟲能爬到頭嗎？如果不能，為什么？如果能，那需要多長時間？給你一個月的時間思考。”