基于PM方程的指紋掃描儀圖像增強算法研究

劉曉薇

（江西科技師范大學數計學院，江西 南昌330013）

目前的指紋掃描設備采用的都是基于光學結構和CMOS（complementary metal oxide semilonductor）圖像傳感器的采集原理。在高質量指紋采集掃描儀中CMOS圖像傳感器約占整機總成本的30%～50%，為了減少成本，縮小體積，大多數指紋掃描儀都會選用CFA 模式的CMOS 圖像傳感器，現在應用最多的是采用GRBG 排列布局的Bayer 格式陣列，因為綠色光譜對應人眼對可見光光譜敏感度的峰值，采用雙倍的綠色像素數可以加強感光效果［1］。

即使在CFA（cdor filter array）模式傳感器中，因為感光元的大小差異，分辨率不同，價格也有10～20倍的差異，一些CMOS傳感器在一些特殊指紋的采集上因清晰度及噪聲等達不到要求而造成采集困難，加上圖像光路采集傳輸系統本身的噪聲干擾和非線性失真，對于指紋圖像，容易引起許多偽特征和丟失很多真實特征，嚴重影響后續的指紋比對和驗證，因此圖像去噪和指紋細節增強是指紋圖像處理中非常重要的環節。怎樣用低端CMOS傳感器得到符合FBI（Federal Bureau of Investigation），GA（公安）等標準的圖像，是目前指紋掃描儀中圖像處理算法要著重解決的問題。

1 基于PM方程的圖像增強算法研究

在傳統的指紋圖像噪聲濾波算法，如中值濾波，高斯濾波等［2］，主要將圖像的高頻成分濾除，由于指紋紋理的圖像信號相對背景來說，也分布在高頻區域，因此在對噪聲進行濾波的同時必定損害到指紋的特征信息。

為了既保留指紋的特征細節信息，又能夠提高圖像的對比度及分辨率，這里提出了一種改進的基于PM方程和USM的去噪增強算法，比較好的解決了提高圖像分辨率（或者MTF（modulation transfer funation））和去除噪聲的矛盾，整個算法流程主要包括3個部分，首先采用自適應算法消除圖像的馬賽克效應，然后采用優化的USM（unsharp mask）銳化算法，同提高圖像邊緣的清晰度，結合改進的PM噪聲濾波算法，幾乎在不損害圖像指紋細節的前提下，有效地去除了指紋圖像存在的高斯噪聲和隨機噪聲。

1.1 去馬賽克算法

因為光照和CFA的特性，在采集的圖像中存在通道不均勻的現象，也就是馬賽克效應，通常去除馬賽克的算法采用二次或者三次插值的算法［3-5］，即根據每個點周圍的4個或者16點對該點進行插值，這種算法通過對圖像平滑在解決通道不均勻方面能夠取到一定的效果，但是不可避免的會引起邊緣或者紋理的模糊，導致分辨率的下降，在這里中，采用了基于邊界的自適應插值算法，即首先分別計算插值點的X方向和Y方向梯度，決定邊界的方向，然后沿著邊界方向進行插值參數的提取。參照圖1所示的布列模板，具體算法流程如下。

1）首先計算水平方向的梯度

圖1 CFA制式圖像模板Fig.1 The templet of CFA

2）然后計算垂直方向的梯度

3）進行插值

其中：ΔH為水平方向的梯度；ΔV為垂直方向的梯度；R，G，B變量分別表示不同通道中的分量。

1.2 優化的USM圖像銳化

為了抑制噪聲，在采集原始圖像時候，增益不能調的過高。由于指紋掃描設備本身光學系統的畸變，采集的圖像分辨率對一些干性指紋，或者殘缺的指紋不能滿足要求，這里采用了USM 算法對圖像進行銳化，USM的銳化模型可以公式表達為

其中：i、j為像素的坐標；f(i,j)為輸入圖像；y(i,j)為輸出圖像；而z(i,j)為校正信號；λ是用于控制圖像邊緣銳化強弱的松弛因子。z(i,j)一般可以通過下式獲取

這種算法的主要缺點是對噪音非常敏感，尤其在圖像變化比較緩慢的地方的噪音。另外對于圖像的邊緣（高對比度區域）會出現增強過頭的現象。因此這里采用類似于Photoshop的USM算子原理，用二維高斯函數g(i,j)［6］作模糊濾波器，得到虛化后的圖像image_g(i,j)。最終根據平滑后的圖像和原始圖像之間的差值大小決定是否對圖像進行銳化，圖像銳化如公式（7）所示，設，其中σ為高斯平滑半徑，得到

其中：參數Δv=f(i,j)-image_g(i,j)；amount控制銳化的強弱，過弱銳化效果不明顯，過強容易引起噪聲；Threshold參數用來判斷是否對該點進行銳化，偏大將忽略弱邊緣的銳化，偏小則容易對一些噪聲進行強化。

隨著σ半徑的增大，圖像的對比度逐漸變強，邊緣越發明顯，但在σ增大的同時，時間也是幾何增長。為了保證算法的實時性，這里提出了一個與窗口半徑無關的USM銳化算法，即用局部均值代替高斯平滑函數，同時因為局部均值可以用積分圖進行計算，在實際應用中可以保證算法的實時性。設

其中：sum為求和運算。

得到局部均值

從公式（9）可看出，計算時間與窗口w大小無關，同時在實際應用中，調節后的指紋圖像隨著σ半徑的增大并未出現明顯的噪音增強現象，效果比較理想。

1.3 改進的基于PM方程的圖像噪聲濾波算法

如前所示，傳統的噪聲濾波算法在濾除噪聲的同時，或多或少都可能會損壞圖像中的某些高頻信息，從而引起模糊邊緣和紋理效應，特別是對指紋紋理這種非常敏感的信號。綜合考慮多種處理算法，在這里采用了基于PM方程的各向異性擴散偏微分方程濾波算法［7-8］，這個算法由Perona 和Malik提出，根據圖像不同方向上的梯度，在非線性尺度空間，確定擴散系數［9］，其方程表達式為

其中：u是圖像對應某一個像素點的灰度值；▽u為梯度；div 是散度算子；t表示擴散時間即迭代的步長；c表示擴散系數，其方程如式（12）所示［10-11］，為圖像在某點梯度的非負單調遞減函數

其中：k表示擴散系數中的一個恒定參數，這個參數控制擴散強度。PM方程的離散化公式可表示成

其中：q表示圖像像素的位置；uq為圖像像素q處對應的灰度值；▽uq,p=up-utq；λ表示擴散速率的一個常數參數；Nq表示像素q的鄰域，通常取圖像的左、右、上、下四鄰域，如果加上斜對角領域可以得到更好的效果，但影響算法實時性；t為實時迭代次數。以圖像在不同方向上的梯度的單調遞減函數作為各向異性擴散的擴散系數，使得在同質區域內部，它的擴散系數較大，可以有效濾除該區域內的噪聲，而在邊緣區域因為灰度值變化劇烈，梯度較大，對應的擴散系數較小，因此能較好地保留指紋圖像紋理的邊緣信息。

PM方程算法濾除噪聲和保留細節的性能較傳統算法有了較大的提升，但是隨著迭代的增加，邊緣被平滑的風險增大，其邊緣保持的條件是 ||▽u＞k，在實際應用中，因為不同區域噪聲強弱不同，這時對強噪聲區域，平滑區域，邊緣區域的參數應當自適應調整，同時為了減少迭代的次數，在比較各種PM改進算法的基礎上，考慮實時性的要求，這里提出了基于局部歸一化方差的自適應擴散系數

其中：σ20即為局部方差。在這里局部方差也采用積分圖快速算法來進行計算。具體公式這里不推導，只給出計算過程。設

可推導出局部平方灰度值

得出局部方差

從而得到歸一化的局部方差

從式（18）可推出在平滑區域，擴散系數趨于0，在強噪聲區域，擴散系數趨于1，滿足擴散系數的要求，其邊緣自適應定位能力和迭代時間皆優于前面的算法。

2 實驗結果分析

為檢驗本算法在實際應用中的效果，這里采用FBI對指紋圖像認證的Mitre公司的MTF檢測軟件，采用標準檢測模板和CTF評價系數來檢測本算法的有效性。從圖2可以看出，圖像經過1.1提出的去馬賽克算法處理之后，基本沒有存在通道不均衡的現象，圖像的標準偏差大幅度降低。

圖2 去馬賽克算法處理結果Fig.2 The filtering effects of demosaicking

圖3 圖像經USM和PDE處理結果Fig.3 The processing results of improving USM and PDE

圖3（a）圖像在經過優化的USM 銳化之后得到圖3（b），雖然邊緣對比度得到了明顯的增強，但是不可避免還是會引起部分噪聲，而在經過改進PM濾波之后得到圖3（c），在低頻區域，噪聲幾乎可以忽略不計，并且迭代次數較原PM算法縮短了一倍，Mitre的MTF測試軟件得出CTF系數結果如表1所示，從結果可以看出，在經過算法處理之后，各個對線頻率（Tar Freq）的指標都有了明顯的提升。其中，cy/mm為每毫米的采樣頻率，Peak CTF為對比度函數的極大值。

表1 MITRE’S MTF Software 測試結果Tab.1 The testing results of MITRE’S MTF Software

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