鋼筋混凝土拱橋極限承載力的參數(shù)分析

陳定市，胡大琳，胡 偉，張 凱

（長安大學公路學院，陜西 西安710064）

鋼筋混凝土拱橋由于造型美觀、承載力高等優(yōu)點在國內外被廣泛使用，特別是在山區(qū)與海島的建設中仍有著廣闊的應用前景，同時已建成的大量鋼筋混凝土拱橋也需要養(yǎng)護、維修、加固與改造［1～3］。

目前進行鋼筋混凝土拱橋極限承載力的研究方法主要有模型試驗和數(shù)值分析兩種。鄭振飛、陳克濟、陳寶春等進行了模型試驗研究且得到了類似的結論，即無鉸拱和兩鉸拱分別在形成4個塑性鉸和2個塑性鉸后，結構成為機構而破壞。鄭振飛［4-5］、陳克濟等［6］應用桿系單元有限元程序，對拱的面內極限承載力進行了雙重非線性的分析，考慮了截面上混凝土開裂引起的應力重分布和塑性鉸形成后的內力重分布現(xiàn)象。陳寶春［7］采用平面分離式單元，考慮材料非線性和裂縫對結構受力的影響，改善了計算收斂的問題，但內存要求高。胡大琳［8-9］采用平面框架單元考慮雙重非線性分析拱的幾何非線性和極限承載力，改善了桿系單元雙重非線性分析的效率與精度。鄧莉［10］、李松等［11］用通用程序ANSYS進行了鋼筋混凝土拱的非線性分析。

由于雙重非線性分析的復雜性，目前數(shù)值分析方法仍主要局限于研究之中，實際工程多采用簡化算法。簡化算法主要有基于彈塑性失穩(wěn)理論的等效梁柱法和基于剛塑性理論的極限分析法兩大類。等效柱法考慮的是理想的純壓拱，無法考慮彎矩、結構初始缺陷等影響，適用于長細比比較大鋼筋混凝土拱橋。極限分析法基于結構形成了塑性鉸成為機動體系，而此時第一個塑性鉸的裂縫寬度已得到極大的開展，遠超出使用極限狀態(tài)的要求，且此法沒有考慮P-δ效應，一般適用于結構承受彎矩較大的機構破壞模式，迄今未被設計規(guī)范所采用。

從理論上講，鋼筋混凝土拱不計其鋼筋的作用而采用圬工規(guī)范進行計算，應該是偏于安全的。然而，筆者在計算馬蹄河特大橋時發(fā)現(xiàn)采用兩種規(guī)范的計算結果存在矛盾之處，采用《公路圬工橋涵設計規(guī)范》（JTG D61-2005）［12］驗算能通過，而采用《公路鋼筋混凝土及預應力混凝土橋涵設計規(guī)范》（JTG D62-2004）［13］驗算不能通過，對鋼筋混凝土偏壓柱和一些試件的進一步驗算分析，結果表明兩本規(guī)范中砌體、素混凝土或鋼筋混凝土偏壓柱的承載力算法存在類似的不合理的現(xiàn)象，文獻［14］也得出類似的結論。另外，與美國［15］和日本［16］橋梁設計規(guī)范相比，我國規(guī)范采用等效梁柱法時沒有考慮矢跨比的影響。由于各規(guī)范關于拱圈等效長度的取值存在一些差異，因此按照各規(guī)范計算的拱圈承載力結果也存在差異，拱圈等效長度的合理取值有待進一步研究。

大跨徑鋼筋混凝土拱橋的極限承載力受多種非線性因素的影響，采用常規(guī)的簡化算法不能反映結構的真實受力狀態(tài)，而按現(xiàn)行規(guī)范［12-13］的計算結果與結構的真實承載力有較大差異。因此，對鋼筋混凝土拱橋的極限承載力進行參數(shù)研究，找到主要的影響參數(shù)及各參數(shù)的影響規(guī)律，必將為鋼筋混凝土拱橋的理論研究、設計及施工提供可靠依據(jù)。

1 工程概況及有限元模型

馬蹄河特大橋地處貴州省中北部，橋跨布置為2×30 m預制T梁+凈跨180 m主拱+2×30 m預制T梁，全橋長327.595 m。主橋為等截面懸鏈線鋼筋混凝土無鉸拱橋，主拱凈跨徑180 m，凈矢高32 m，拱軸系數(shù)1.988。主拱圈采用單箱雙室截面，高3.3 m，寬7.5 m。橋梁設計荷載為公路-I級。橋面系由8片預應力混凝土簡支空心板構成，每片空心板的跨度為13 m，梁高為70 cm，為先簡支后橋面連續(xù)結構。該橋行車道寬度為2×凈-9.625 m，設計的基準期為100年，設計車速為80 km·h-1。拱上設立柱或者整體式蓋梁共14道。主拱圈和預應力混凝土簡支空心板使用C50混凝土，拱座、拱上墊梁、拱上排架、系梁和蓋梁均使用C40混凝土。

采用通用有限元軟件ANSYS建立空間有限元計算模型，全橋共劃分單元3 353個。主拱圈、底梁、拱上立柱、立柱之間的橫系梁和蓋梁均采用BEAM188單元來模擬，上部結構的橋面系采用釋放轉角自由度的BAEM44單元來模擬，連接系采用空間梁單元BAEM4模擬。值得說明的是，為了考慮拱上結構的聯(lián)合作用，本文計算采用全橋模型，但主要考慮主拱圈的受力行為。有限元模型如圖1所示。

圖1 三維有限元模型Fig.1 Three-dimensional finite element model

鋼筋混凝土拱的極限承載力分析應考慮幾何非線性和材料非線性的影響，本文混凝土材料本構關系采用美國學者Hongnested提出的應力-應變曲線模型［17］，如圖2所示。基本構方程為：

式中：ε0=2σ0/E0，是達到最大壓應力時對應的混凝土壓應變，其中E0是混凝土受壓的初始彈性模量，σ0取混凝土標準圓柱體抗壓強度的0.85倍；εu是混凝土的極限壓應變，理論分析時取0.0038。由于混凝土的抗拉強度很小，對結構的極限承載能力影響很小，本文在混凝土應力-應變關系的模擬中忽略混凝土的抗拉能力。鋼筋的本構關系可簡化為理想彈塑性材料，其應力應變關系曲線如圖3所示。求解采用完全的牛頓-拉夫遜迭代法，以位移增量來判斷收斂的標準，迭代收斂必須滿足如下條件：

式中：αd為位移收斂容差；‖ Δui+1‖為位移增量向量的某種范數(shù)。

圖2 混凝土的應力-應變曲線Fig.2 Stress-strain curve of the concrete

圖3 鋼筋的應力-應變曲線Fig.3 Stress-strain curve of the steel

2 荷載分布方式對拱橋極限承載力的影響

活荷載采用公路-Ⅰ級車道荷載，取均布荷載的標準值為10.5 kN·m-1，集中力荷載的標準值為360 kN。有限元計算時先施加恒載并保持其值不變，然后施加活荷載，活荷載按照初始的公路-Ⅰ級車道荷載成比例增加的方式施加。定義活荷載系數(shù)=當前活荷載組合/初始活荷載組合，根據(jù)活荷載的加載位置分為3種荷載工況：①工況1——恒載+全橋均布活荷載（集中力荷載在跨中）；②工況2——恒載+半幅橋全跨均布活荷載（集中力荷載在跨中）；③工況3——恒載+半跨均布活荷載（集中力荷載在L/4處）。不同荷載工況下的計算結果見表1，與集中力荷載作用位置對應的荷載-位移曲線如圖4所示。

表1 不同加載方式對拱橋極限承載力的影響Tab.1 Effects of loading modes on the ultimate bearing capacity of arch bridge

由表1和圖4可見，該橋在工況1 下達到極限荷載時的活荷載系數(shù)為44.601，此時拱頂?shù)呢Q向位移為0.813 m；在工況2下達到極限荷載時的活荷載系數(shù)為31.828，比工況1減小了28.6%，此時拱頂?shù)呢Q向位移為0.636 m；而工況3下結構達到極限荷載時的活荷載系數(shù)為17.293，比工況2減小了45.7%，比工況1減小了61.2%，此時1/4拱圈處的豎向位移為0.712 m。結果表明，與全橋均布活荷載相比，半幅橋全跨均布活荷載和半跨均布活荷載的加載方式使結構的極限承載能力會更低，其中半跨均布活荷載對結構極限承載力的影響更為明顯。所以，對大跨度的鋼筋混凝土拱橋，活荷載的加載方式是影響其極限承載力的一個關鍵因素。

圖4 不同加載方式下的荷載-位移曲線Fig.4 Load-displacement curve under different loading modes

從該橋塑性區(qū)域的出現(xiàn)順序和最終的破壞形式來看，當活荷載采用工況1的加載方式時，拱頂截面材料首先發(fā)生屈服，然后塑性區(qū)域相繼在兩個拱腳截面附近出現(xiàn)，隨著荷載的不斷增大，當在1/4拱圈和3/4拱圈截面處也形成塑性區(qū)域時，結構達到極限荷載，趨于形成可變機構，最終導致結構以面內正對稱的形式破壞；當活荷載采用工況2的加載方式時，塑性區(qū)域的形成順序與工況1基本相同，最終的破壞形式也為面內正對稱，只是活荷載系數(shù)較工況1的情況下減小了28.6%；而當活荷載采用工況3的加載方式時，隨著荷載的不斷增加，塑性區(qū)域的出現(xiàn)順序為：遠離荷載作用側的拱腳截面處——荷載作用側的1/4拱圈截面處——荷載作用側的拱腳截面處——遠離荷載作用側的1/4拱圈截面處，結構最終的破壞形式變?yōu)槊鎯确磳ΨQ。

上述分析結果表明，荷載分布方式不僅影響結構從加載開始直至破壞的發(fā)展過程，還會影響結構的最終破壞形式。

3 結構設計參數(shù)對拱橋極限承載力的影響

3.1 拱圈混凝土強度的影響

強度等級的改變意味著混凝土屈服應力的改變，而屈服應力是衡量材料非線性行為的一個重要指標，因此，必然會對結構的極限承載力造成影響。以下就混凝土強度等級取C45～C65時，對結構極限承載能力的影響進行了分析，計算結果見表2和圖5，拱頂處的荷載-位移曲線如圖6所示。

表2 拱圈混凝土強度對拱橋極限承載力的影響Tab.2 Effects of concrete strength of the arch ring on the ultimate bearing capacity of arch bridge

圖5 拱圈混凝土強度與結構極限荷載系數(shù)的關系曲線Fig.5 Relationship between the concrete strength and the ultimate load coefficient of the main arch

圖6 不同混凝土強度下拱頂?shù)暮奢d-位移曲線Fig.6 Load-displacement curves of different concrete strength at the arch crown

從以上計算結果中可以看出隨著混凝土強度等級的提高，結構的極限荷載系數(shù)也隨著增大，結構能承受的極限荷載逐漸增強。也反映了材料屈服強度越高，結構的剛度就越大，結構進入塑性的狀態(tài)也就越晚。當混凝土的強度等級從C45變化到C55時，結構的極限荷載系數(shù)由6.321變化到7.348，增加了15.0%，且曲線基本呈線性增長。而當混凝土強度等級從C55變化到C65時，結構的極限荷載系數(shù)由7.348變化到7.805，只增加了5.8%。表明隨著拱圈混凝土強度等級的提高，結構的極限承載能力提高速率在減小。

從拱頂處的荷載-位移曲線圖來看，隨著拱圈混凝土的強度等級從C45提高到C65時，結構在達到極限荷載時的拱頂豎向位移卻減小了，表明結構的延性有所降低。因此，在實際設計中，應避免盲目采用過高的混凝土強度等級來追求高的結構極限承載能力，因為這可能導致結構發(fā)生脆性破壞。

3.2 拱圈面內抗彎剛度的影響

通過改變拱圈的面內抗彎剛度，使其在原設計值的基礎上分別減小20%、減小40%和減小60%，然后分析其對結構極限承載力的影響。由于馬蹄河特大橋的截面是等高度的，可以方便地通過調整其截面高度來實現(xiàn)其抗彎剛度的改變，計算結果見表3和圖7，拱頂處的荷載-位移曲線如圖8所示。

表3 拱圈面內抗彎剛度對拱橋極限承載力的影響Tab.3 Effects of in-plane stiffness of the arch ring on the ultimate bearing capacity of arch bridge

圖7 拱圈面內剛度對結構極限荷載系數(shù)的影響Fig.7 Influence of the in-plane stiffness on the ultimate load coefficient

圖8 不同拱圈面內抗彎剛度下拱頂?shù)暮奢d-位移曲線Fig.8 Load-displacement curves of different in-plane stiffness at the arch crown

由以圖7和圖8可知，當拱圈的面內抗彎剛度減小到原設計值的20%時，結構的極限荷載系數(shù)降低了3%，相應的拱頂豎向位移值增加了5.9%；當拱圈的面內抗彎剛度減小到原設計值的40%時，結構的極限荷載系數(shù)降低了9.2%，相應的拱頂豎向位移值增加了10.6%；當拱圈的面內抗彎剛度減小到原設計值的60%時，結構的極限荷載系數(shù)降低了21.8%，相應的拱頂豎向位移值增加了17.4%。結果表明，隨著拱圈面內抗彎剛度的減小，相應的極限荷載系數(shù)值降低，達到極限荷載時的拱頂豎向位移值增大，拱圈的面內抗彎剛度是影響結構承載力，尤其是面內承載力的主要因素。

3.3 矢跨比的影響

矢跨比作為拱橋的主要設計參數(shù)之一，會直接影響到拱圈的受力狀態(tài)。理論分析表明，矢跨比越小（結構表現(xiàn)為坦拱），拱腳處的水平推力就越大，相應拱圈的軸力也就越大。對大跨度拱橋而言，結構的面內外剛度會嚴重地受到拱圈軸力大小的影響。以下就矢跨比在1/4.5～1/6.5范圍取值時，對結構極限承載力的影響進行了研究，計算結果見表4和圖9，拱頂處的荷載-位移曲線如圖10所示。

表4 矢跨比對拱橋極限承載力的影響Tab.4 Effects of rise-span ratio on the ultimate bearing capacity of arch bridge

圖9 矢跨比與結構極限荷載系數(shù)的關系曲線Fig.9 Relationship between the rise-span ratio and structural ultimate load coefficient

圖10 不同矢跨比下拱頂?shù)暮奢d-位移曲線Fig.1 0 Load-displacement curves of different rise-span ratio at the arch crown

表4和圖9、圖10表明，隨著矢跨比的減小，相應的極限荷載系數(shù)值降低，達到極限荷載時的拱頂豎向位移值增大。當該橋的矢跨比在1/4.5～1/5.0 和1/6.0～1/6.5 這兩個區(qū)間段變化時，結構的極限荷載系數(shù)分別下降了9.4%和15.6%，相應的拱頂豎向位移值分別增加了8.9%和6.1%，在圖5、圖6的關系曲線上可以明顯看出這兩個區(qū)間段曲線下降的比較快。而在矢跨比在1/5.0～1/6.0變化時，相應的極限荷載系數(shù)值下降的比較小，曲線變化也比較緩慢。當矢跨比為1/6.5 時，結構的極限荷載系數(shù)值只有5.402，比矢跨比為1/4.5 的極限荷載系數(shù)減小了67.2%，而且達到極限荷載時的拱頂豎向撓度值增加了。可見，該橋的矢跨比在1/5.0～1/6.0 之間取值時較為合適，馬蹄河特大橋的矢跨比實際取值為1/5.625，正是在此合理區(qū)間范圍之內。

4 初始幾何缺陷對拱橋極限承載力的影響

實際結構都會或多或少存在各種不同程度的缺陷，缺陷主要有幾何缺陷和力學缺陷兩大類。拱橋的幾何缺陷是成橋狀態(tài)下的拱軸線與設計軸線不相符合，使得主拱圈在面、內外發(fā)生了初始變形，引起幾何初始缺陷的原因主要有工廠制造過程中發(fā)生了偏差、運輸過程中結構發(fā)生了損傷和施工過程中的不正確操作等，而力學缺陷是在沒有承受荷載前，結構就存在了殘余應力。理論計算分析和試驗研究均表明，初始幾何缺陷能對結構的承載力產(chǎn)生不能忽視的影響，而且這種初始的幾何缺陷具有非常大的隨機性，本文計算時以該橋在恒載作用下發(fā)生的面內和面外彈性屈曲的一階屈曲模態(tài)作為初始擾動，分析幾何初始缺陷對拱橋極限承載力的影響。取面內初始擾動分別為L/5 000，L/4 000，L/3 000，L/2 000和L/1 000，面外初始擾動分別為L/8 000，L/7 000，L/6 000，L/5 000和L/4 000，其中L為拱橋跨徑，計算結果分別見表5和表6。

表5 面內初始缺陷對拱橋極限承載力的影響Tab.5 Effect of in-plane initial geometrical imperfections on the ultimate bearing capacity of arch bridge

表6 面外初始缺陷對拱橋極限承載力的影響Tab.6 Effect of out-plane initial geometrical defect on the ultimate bearing capacity of arch bridge

圖11 面內初始缺陷與極限荷載系數(shù)的關系曲線Fig.1 1 Relationship between the in-plane initial geometrical imperfections and structural ultimate load coefficient

圖12 面外初始缺陷與極限荷載系數(shù)的關系曲線Fig.1 2 Relationship between out-plane initial geometrical defect and structural ultimate load coefficient

從表5和表6可以看出，當存在L/1 000的面內初始缺陷時，結構的極限荷載系數(shù)為6.186，與無初始缺陷相比減小了9.9%；當存在L/4 000的面外初始缺陷時，結構的極限荷載系數(shù)為6.801，與無初始缺陷相比減小了1.0%，表明初始缺陷會使拱橋的極限承載能力降低，但降低的幅度不大。

從圖11和圖12可以看出，該橋在存在較小的面內初始缺陷時，極限荷載系數(shù)下降的比較明顯，但隨著面內初始缺陷值的增大，極限荷載系數(shù)下降緩慢；而計入面外初始缺陷后，極限荷載系數(shù)基本無明顯的變化，說明該橋的極限荷載系數(shù)受面內的破壞模式控制。此外，受幾何初始缺陷的影響，該橋在達到極限承載力時，結構的破壞形式也發(fā)生了不同程度的改變，考慮面內初始缺陷的影響后，該橋最終破壞由原來的面內正對稱形式變?yōu)槊鎯确磳ΨQ形式，這是因為結構受到荷載作用后，其幾何形狀不完善，產(chǎn)生了與幾何缺陷相適應的變形，導致最終破壞形式往往與不計缺陷影響的結果不同。

5 結論

本文以一座上承式鋼筋混凝土拱橋——馬蹄河大橋為工程背景，通過對活荷載的加載方式、拱圈混凝土的強度、拱圈面內的抗彎剛度、矢跨比和初始幾何缺陷等參數(shù)對大跨度鋼筋混凝土拱橋的極限承載力進行了分析，得出如下結論：

1）對剛度相對較大的鋼筋混凝土拱橋，初始幾何缺陷會降低結構的極限承載能力，但降低的程度很小，一般情況下可以忽略該參數(shù)的影響。

2）拱圈混凝土的強度、拱圈面內的抗彎剛度和矢跨比是決定大跨度鋼筋混凝土拱橋極限承載力的3個關鍵設計參數(shù)，這些參數(shù)的正確選擇，有助于改善結構的極限承載能力。

3）活荷載的不同加載方式在很大程度上影響了拱橋的極限承載能力，半跨均布活荷載下的極限承載力明顯低于全橋均布活荷載下的極限承載力。

4）對大跨徑的鋼筋混凝土拱橋，其極限承載力會隨著拱圈混凝土強度和拱圈抗彎剛度的增減而增減。

5）矢跨比在1/4.5～1/6.5之間取值時，隨著矢跨比的降低，鋼筋混凝土拱橋的極限承載能力也隨之減弱，從減弱幅度來看，當該橋的矢跨比在1/4.5～1/5.0和1/6.0～1/6.5這兩個區(qū)間段變化時，曲線下降的比較快；而在矢跨比在1/5.0～1/6.0變化時，相應的極限荷載系數(shù)值下降的比較小，曲線變化比較緩慢，表明此類橋的矢跨比在1/5.0～1/6.0之間取值時較為合適。

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