試析數學建模在醫藥衛生領域中的研究與應用

李海軍

摘要：近幾十年來，隨著科學技術以及計算機技術的不斷發展，數學建模在醫藥衛生等社會生活領域做出了巨大貢獻。本文通過對數學模型及其相關問題的描述，選取醫藥衛生領域中利用數學模型對疾病流行探測的解釋和分析，研究了數學建模在醫藥衛生領域的重要作用及應該著重注意的問題，具有重大的理論和實踐價值。

關鍵詞：數學建模;醫藥衛生;回歸模型;灰色模型

中圖分類號：G642文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2015）10-0143-01

一、數學模型及建立數學模型的步驟

（一）數學模型

正如馬克思所說的，“一門科學，只有當它成功地運用數學時，才能達到真正完善的地步。”近幾十年以來，伴隨學科建設尤其是電子計算機技術的不斷發展，數學不僅運用于物理和工程技術等自然科學領域，而且在諸如經濟、環境、人口、醫學等社會生活領域也得到廣泛的應用。在眾多的數學方法中，數學建模方法是解決日常生活中實際問題的一般數學方法。

數學模型是指按照或依據某種事物內在的主要特征或數量相互依存關系，運用抽象化和概念化的語言，近似地概括或表達出來的一種數學結構[1]。

（二）建立數學模型的步驟

第一步：對實際生活中遇到的問題要有充分了解并做出縝密的分析，考察問題的基本情形，獲取最原始的資料;

第二步：依據問題的主要特征和相互關系，簡化和抽象化研究問題并用精確的數學語言做出假設;

第三步：針對上一步做出的假設，選取適當的數學工具、數學方法、數學符號來表示變量之間的數量關系;

第四步：求出所建模型的所有可能解，并將求得的解與實際情形進行比較，進一步驗證所建模型的精確度;

第五步：若所建模型與符合或與實際問題相近，則要對計算結果做出實際含義的解釋[2]。

二、數學建模在醫藥衛生領域中的研究與應用

本文對數學模型在醫藥衛生領域的研究與運用，主要探究用于疾病流行探測的回歸模型、灰色模型這兩種數學模型，并通過實例來探究數學建模在醫藥衛生領域中的應用，對疫情的監控和預測分析提供了一個新的研究視角。

（一）回歸模型。Logistic回歸模型：對于繁殖、生長發育、劑量反應率等方面的研究，由于這些研究對象隨著時間的變化呈現S型曲線變動，因此可以進行Logistic曲線擬合，并用得到的擬合方程作為定量分析關系式。此外，在有關流行病學研究案例中，對于致病的相對危險度、存活分析都可使用Logistic回歸模型。

（二）灰色模型。灰色模型是用時間數據序列建立系統的動態模型[3]。基本原理是：首先把一組隨機的、離散型數據行列通過m次累加形成規律性較強的序列。其次，對累加生成列建模，并進行m次累減來還原成預測值。一般情況下，取m=1作一次累加生成列建模。它與多變量多階預測模型和其它預測方法相比，有著計算方法簡單，預測效果好，且對樣本含量和概率分布沒有嚴格要求的特點等優點。

（三）實例分析。假定傳染是通過一個群體內成員間的接觸而傳播，感染者不因死亡、痊愈或隔離而被移除，則所有的易感者最終都將轉變為感染者。這種假定可近似地適用于下述情況：疾病有高度的傳染力，但尚未嚴重到發生死亡或需要隔離的程度。

1.模型假設。①在時間t時的易感人數和感染人數分別為S和I;②群體是封閉性的，總人數為N，在這N個人中開始時只有一個感染者;③該群體中各成員之間接觸是均勻的，易感者轉為感染者的變化率與當時的易感人數和感染人數的乘積成正比。

2.模型建立與求解。根據上述假設，可建立如下數學模型：

dS/dt=-βSI，（1）

S+I=N，（2）

初始條件是I（0）=1，比例系數β稱為感染率。

將式（2）代入（1）式，得：

dS/dt=-βS（N-S）（3）

分離變量后再兩邊積分，得：

1/Nln[S/（N-S）]=-βt+C（4）

其中C為積分常數。將初始條件I（0）=1，代入上式（4），可得C=ln（N-1）

/N，代入（4）式即得：1/Nln[S/（N-S）]=-βt+ln（N-1）/N

整理后得易感人數隨時間變化的動態關系式：

S=N（N-1）/（N-1）+

三、數學建模在醫藥衛生領域研究與應用應注意的問題

（一）嚴謹分析問題，提出合理假設。通過數學建模來解決醫藥衛生領域中遇到的問題時，嚴謹的分析問題是解決問題的第一步，缺少對問題的嚴謹分析很難構建擬合優度精確的數學模型。因此，在實際醫藥衛生工作中應該對現實對象進行嚴謹的分析，并依據問題的主要特征和相互關系，簡化和抽象化研究問題，在此基礎上，用精確的數學語言、數學工具和方法做出假設，通過演繹推理、分析、求解，深化對所研究的實際對象的認識。

（二）合理設定模型，注意模型檢驗。在醫藥衛生領域，數學模型的建立不同于解決純粹的數學問題，雖然不像數學問題那樣要求標準答案，但要想真正解決實際問題，同樣必須給與足夠的重視，合理構建模型。設定的模型必須符合或近似地反映實際問題中的相互關系和規律。此外，檢驗模型的擬合優度，通常做法是將求得所建模型的所有可能解與實際情形進行比較，驗證所建模型的精確度。

三、結束語

數學建模在醫藥衛生領域的研究和應用為醫藥衛生工作的發展提供了重大的幫助，有利于醫藥衛生事業的未來發展向著更加科學化的方向邁進。盡管數學建模在實際應用中存在著較大的缺陷，但隨著科學技術的進步以及計算機應用的廣度和深度不斷拓展，數學建模在醫藥衛生領域必將實現卓越的成就。

（作者單位：湘潭醫衛職業技術學院）

參考文獻：

[1]楊建新.數學建模方法之我見[J].甘肅教育，2012（2）：79.

[2]張秋生，吉玲峰.基于數形結合的數學建模研究[J]，時代教育，2012（9）：125

[3]王體標，蘇麗宣.優化軍校醫療服務的數學模型[J].中國教育技術裝備，2010（24）：31-32.endprint