孕育數學理性 培植理性氣質

清華大學附屬小學（100084） 湯衛紅（特級教師）

孕育數學理性 培植理性氣質

清華大學附屬小學（100084） 湯衛紅（特級教師）

兒童為什么要學習數學？教育哲學理論認為：“通過數學學會思維！”數學的思維是和數學最核心的本質特征緊密關聯的，這種核心本質應該是理性精神。如何理解數學理性？如何培育學生的理性精神、理性氣質？這都是數學教師必須思考的話題。

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數學是人類智慧的榮耀，是人類理性文明的火車頭。理性是數學特有的氣質，數學理性是數學最為重要的文化精神，深刻影響著人類的精神生活，是一種普遍化的力量，使人類的思維得以運用到最完善的程度，滿足人類對宇宙的探求，甚至影響著現代文明的進程。數學課程體現理性是數學學科的內在要求，數學理性也是數學教育承載的重要的育人功能。

一

何為“理性”？詞典中解釋為：“指屬于判斷、推理等活動的（跟‘感性’相對）：～認識。”（見《現代漢語詞典》2002年增補本，商務印書館）不難看出，感性是理性存在的基礎，人最初對事物的認識總是從感性開始的，感性屬于認識過程的低級階段，而理性是感性飛躍發展的高級階段。對事物感性的認識往往是片面的、現象的和外部聯系的，而對事物的理性認識往往是全體的、本質的和內部聯系的。詞典主要是從認知活動的角度對“理性”的基本含義給出解釋。就數學理性而言，主要是指孕育于古希臘文明，并伴隨著近代自然科學的形成和發展逐步穩定的西方理性精神，即人們在數學活動中形成的追求對研究對象本質、規律和內部聯系的準確把握，追求抽象的、超驗的思維取向，能夠不斷反思、批判自己并以此開辟前進道路的價值觀和行為規范。更為全面地講，我們通常所說的數學理性亦包括數學理性思維。

在人類文明的進程中，數學理性表現為人類對真理的不懈追求，表現為以嚴密的、超驗的、科學的思維方法抽象、概括、判斷和推理。它大大促進了人類思想的解放，提高和豐富了人類的精神水平。因此，數學教育要通過培養理性思維、培育理性精神、培植理性氣質，提高思維的深刻性、靈活性、獨創性、批判性和敏捷性，促進學生形成求真、求實品格，成為更完全、更豐富、更有力量的人。于數學教學而言，理性會讓我們直抵數學教學的核心，確證數學教學的本質意義，以至理性成為數學教學得以安身立命的文化支柱以及數學教學成功的文化力量。數學教學只有孕育理性才能不斷生長，數學學習只有孕育數學理性才能根深葉茂。

二

針對新課改初期出現的“非數學化”傾向，不少教師大聲疾呼：數學課要有“數學味”！其中，最重要的就是要孕育數學理性。對于處于具體運算階段的小學兒童而言，他們的思維一般還不能離開具體事物的支持，正從具體形象思維為主逐步向抽象邏輯思維過渡。顯然，教師不能硬生生地直接闡釋數學的概念、法則，不能過早地脫離感性直接進行理性的抽象教學，否則數學的艱澀和抽象會讓學生喪失對數學的興趣和信心。因此，基于感性，孕育理性是數學教育的應然選擇。

基于感性意味著沒有感性經驗的積累和支撐就沒有理性認識的飛躍，孕育理性意味著沒有逐步抽象的引導就不能形成概念、判斷、推理，就不能到達本質，揭示聯系。要獲得感性經驗，就必須以觀察、模仿、嘗試、實驗、猜想等活動經驗為支撐。在此基礎上，通過思考、分析、概括、想象等活動讓感性經驗向抽象和普遍發展。毋寧說這是對教師的理性氣質的一種要求。在實際教學中，我們的課堂往往不缺乏豐富、具體的操作活動，甚至學生也不缺乏感性經驗的積累，但往往由于教師的“不作為”，學生會耽于感性的“溫柔之鄉”，而忘記對數學本質的探求。例如，“三角形三邊關系”教學，不少課堂上都會出現為“兩根小棒長度之和等于第三根時，到底能不能圍成三角形”而爭執不下的情況，而教師解釋為“制作和操作的誤差”，并用多媒體動畫演示“圍”的過程（甚至請放大鏡出馬放大兩根短棒之間的縫隙），顯然不能讓固執地認為“能”者所信服。感性經驗造成的“偽事實”遮蔽了學生對數學本質的正確把握。理性能讓我們去偽存真、由表及里。引導學生基于感性經驗思考：將兩根等長的小棒疊在一起，其中一根截成兩段，這時三根小棒長度有何關系？相反地，如果用長棒去量兩根短棒的長度之和，你會怎么擺？這時會出現什么情況？三根小棒之間是否圍成一個區域？如果以兩根短棒與長棒相接的端點為中心向外旋轉，想象短棒外端運動的軌跡。觀察這個軌跡，你明白了什么？從確認“重合時首尾相連但未構成三角形”這個理性認同的事實出發，以運動軌跡促進學生理性思考兩端點難以覺察但無可置疑地“一動即分”。以大趨勢把握小瞬間就能夠擊穿感性“偽事實”，抵達本質規律，這正是數學理性的重要力量。更為重要的是，超越經驗、嚴謹求實、用理性思考力量探尋真知的理性精神和科學態度對學生的影響無疑超越于知識而更為巨大。

數學教育孕育數學理性對教師的數學理性提出了挑戰，教師需要從以下幾個方面提高自身的修養。

第一，豐富和完善數學本體性知識，超越教材，把握所教內容的數學本質，探尋其本原意義。這是課堂孕育數學理性的前提。只有教師洞察到問題的數學本質，才有可能引導學生在淺顯中見深刻，具體中現理性。例如，“可能性”教學，摸球游戲中出現摸到某種球的頻率與概率完全背離的現象，如果明白概率知識，我們反而能抓住契機，讓學生感受數據的隨機性，再通過數據的不斷增加體會頻率穩定于概率附近這一規律。

第二，回歸數學歷史發展的本來面目，把握人類思維發展中的那些關鍵性步子。學生對數學的認知過程與數學發展史的過程相似，歷史上人類所遇到的困難往往也是學生認知的障礙。而人類對數學認知的過程往往是數學理性不斷作用的過程，是不斷向數學本質邁進的過程。波利亞曾說：“在了解人類是怎樣獲得某些事實或概念的過程之后，我們就能更好地去判斷我們的孩子應當怎樣去學習這些知識。”在這個基礎上的學習便是數學理性不斷提升的過程。

第三，把握數學學習心理，遵循心理發展的規律，聚焦于學生學習數學新知的認知過程，觸及新知所需思維方式的變換。只有教師從理性的高度把握真實的數學學習過程，才可能讓學生的數學認識由具體向形式飛躍，由感性向理性提升。例如，學生對面積與周長的混淆是由于弄不清周長乃長與寬測度之和，而面積是兩維測度之積，這是加法結構對乘法結構干擾的一種表現形式。把握住這一點，就可以在教學實踐中構造對比圖形（如長方形由公共邊分成周長相等但面積不等的兩部分）以促進學生理性認識的形成。另一方面，通過操作單位正方形測量面積，發展兒童的空間表征能力有利于長度表征與面積表征的分化，從而真正建立起對面積概念的理性認識。

三

當我們認同發展兒童數學理性思維，培植理性精神的價值，并將之作為數學教育的重要目標時，我們更加關注如何做，做到什么程度。我以為應從以下幾個方面進行探索與實踐。

1.于直觀操作中抽象實在，凸顯要義

數學課堂中的直觀操作絕不僅僅是操作，一定是服務于理性認識的需要，僅僅這種理性認識不是一蹴而就的，但我們從一開始就要朝這個目標前進，而不是停留于具體的操作經驗。只有逐步融入理性思考的操作才是數學的活動。比如，對于分數，張奠宙教授說：“對于，兒童如果腦子里始終是半個大餅，那就還沒有學好分數。”更進一步，分數的教學絕不能停留于對一個物體、一個計量單位、許多物體組成的一個整體進行平均分操作。如果沒有把這些操作的經驗適時抽象，兒童就會出現如下的錯誤：

史寧中教授強調分數的“無量綱性”，對單位“1”的抽象是實現分數本質建構的關鍵。所以，在學生根據各種情形說出分數意思的基礎上，通過多媒體將各種平均分的對象對應到數軸上的“1”，促進學生認識到抽象的自然數“1”能夠涵蓋林林總總可以用“1”表示的事物：1個餅、1米、1盤桃……當它們都抽象為“1”時，并無本質差別。而各種情形中的等亦需對應數軸上相應的點，讓學生領悟每個分數作為一個數的概括性與抽象性。

2.于感性經驗中突破超越，躍向本質

數學知識作為一種抽象的存在，很多時候超越于經驗，必須借助于理性的抽象思考才能領悟其本質。教師在學生已有經驗的基礎上，搭建合理的想象起飛跑道，才能助其實現抽象，達到對數學知識本質屬性的理性認識。僅通過文字、符號的抽象表達并不能很好地培養學生的數學理性。例如，觀察物體中學生很容易提出“看到的一前一后兩個正方體的面并非等大，為什么卻要畫成一樣大”這樣的問題。教師就應當清楚數學上所畫的視圖不同于美術中的透視，而是用平行光線正投影得到的物體輪廓。如何跨越經驗與抽象的視圖之間的鴻溝？教師不妨讓學生逐漸遠離物體，體會長距離下人的視線對于小物體趨近于平行線時所看到的兩個正方形趨近等大。另一方面，這種畫法所得結果的唯一性避免了根據人眼觀察物體因距離遠近而結果各不相同不利于數學交流的尷尬，從而體會三視圖畫法的優越性，感悟數學理性的價值。

3.于相異無關中尋同求聯，彰顯結構

尋找數學知識之間的聯系，形成橫貫縱通的統一結構亦是人類理性的不懈追求。教師應當從高觀點、高視角俯視學生所學的數學知識，引導其尋求一個個看似相互獨立、已有定論的知識的相同屬性，建立內在聯系，甚至走向結構化，這對促進學生的數學理性形成和數學內在美的認同大有裨益。例如，學生所學的平面圖形都有各自的面積公式，除了引導其建構知識樹，更具理性意味的問題是“能否選擇一個公式作為統一的面積公式？說說你的理由。”在尋找聯系中，學生既能體會到上位思考的力量，又能感悟到量變中的質變，質變中量變的統一，經常的理性的哲思必將塑造學生的理性氣質。

（責編 金 鈴）

G623.5

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1007-9068（2015）08-001