關(guān)于丟番圖方程χ2＋7＝2n*

陳向陽

（廣西民族大學理學院，廣西　南寧　530006）

關(guān)于丟番圖方程χ2＋7＝2n*

陳向陽

（廣西民族大學理學院，廣西南寧530006）

用完全初等的方法即Pell方程、遞推序列和指數(shù)的一些簡單性質(zhì)證明了丟番圖方程χ2＋7＝2n僅有五組正整解.

Pell方程；遞推序列；最小非負剩余；指數(shù)

1913年，印度數(shù)學家Ramanujan[1]發(fā)現(xiàn)方程

有五組正整數(shù)解

他問：方程（1）除開給出的解之外還有沒有其他的正整數(shù)解？三十多年以后，瑞典數(shù)學家Nagell[2]第一個回答了這個問題，他證明了

定理：方程（1）僅有正整數(shù)解（2）.

后來，英國數(shù)學家Mordell，德國數(shù)學家Hasse，以及美國數(shù)學家Chowla，Lewis，W.Johnson等[3]又分別給出了四個不同的證明，上述五種證明都用到了代數(shù)數(shù)論中的一個重要的性質(zhì)：二次域唯一分解定理成立.50年代以來，這個方程在組合數(shù)學中得到了應用.下面，我們給出一個僅僅用到Pell方程和同余性質(zhì)的初等的簡單證明.

定理的證明：

首先，若n偶數(shù)，設(shè)n＝2k，則（1）式給出

兩式相加得2k＋1＝8，k＝2，n＝4，χ＝3.

再設(shè)n為奇數(shù)，n＝2k＋1，以下只需證明k＜8即可.我們考慮二次丟番圖方程

熟知[3]：（3）的解由下列式子給出

若k＞7，我們對（9）和（10）分別取（mod 256）得周期序列（對m＝0，1，2，…）周期為128（如文后計算數(shù)據(jù)），由此可知僅當m＝61＋128t時，有256|u61＋128t，m＝67＋128t時，有256|v67＋128t，由（8）式有

注意到7681|χ64，容易計算出u61＋128t≡±2988（mod 7681），v67＋128t≡±2988（mod 7681），從而當k＞7時有2k≡±2988（mod 7681），當k＝1，2，3，…時，2k（mod 7681）的最小非負剩余將形成一個周期為3840的周期序列：2，4，8，16，32，64，…，7201，6721，5761，3841，1；2，4，8，…，（mod 7681），在這個周期序列里沒有一個數(shù)等于2988或7681－2988＝4693.這說明在k＞7時，（5）和（6）式是不可能的.這就證明了定理.

計算數(shù)據(jù)：

[1]Ramanujan S..Question 464[J].J Indian Math Soc，1913，5：120.

[2]T.Nagell.The Diophantine equation[J].Arkiv.matematik，1960（4），185－187.

[3]曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，1989.

[責任編輯 蘇 琴]

[責任校對 方麗菁]

On the Diophantine Equation χ2＋7＝2n

CHEN Xiang－yang
（College of Sciences，Guangχi University for Nationalities，Nanning530006，China）

In this paper，give an elementary solution of the Diophantine equation by using simple properties of Pell'equation，recurrence sequence，minimal non－negative residue and index.

Pell'equation；recurrence sequence；minimal non－negative residue；index

O156.7

A

1673－8462（2015）02－0064－02

2014－11－20.

陳向陽（1965－），女，廣西桂林人，廣西民族大學講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學.