剛體運(yùn)動在微分幾何中的應(yīng)用及求法（下篇）——曲面*

盧衛(wèi)君，方麗菁，梁麗美

（1.廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西　南寧　530006；

2.廣西大學(xué)君武小學(xué)，廣西　南寧　530004）

剛體運(yùn)動在微分幾何中的應(yīng)用及求法（下篇）——曲面*

盧衛(wèi)君1，方麗菁1，梁麗美2

（1.廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西南寧530006；

2.廣西大學(xué)君武小學(xué)，廣西南寧530004）

此文是上篇的繼續(xù)，上篇討論了剛體體運(yùn)動使得兩條給定空間曲線彼此合同的應(yīng)用，下篇將進(jìn)一步討論剛體運(yùn)動在曲面中的運(yùn)用.在刻畫了剛體運(yùn)動和仿射標(biāo)架的關(guān)系之后，筆者給出了確定正則曲面度量和彎曲的第一基本形式和第二基本形式在剛體運(yùn)動下保持不變的證明方法；并通過曲面的自然仿射標(biāo)架場證明了滿足完全不變量系統(tǒng)的兩個曲面在剛體運(yùn)動下可以彼此重合.特別地，筆者提出求兩個給定曲面合同的剛體運(yùn)動表達(dá)式的具體步驟，并構(gòu)造實例加以闡述.

剛體運(yùn)動；仿射標(biāo)架；曲面的自然標(biāo)架；曲面的完全不變量系統(tǒng)；合同

0　引言

上篇[1]著重討論了剛體運(yùn)動在微分幾何中曲線的應(yīng)用，通過剛體運(yùn)動和正交標(biāo)架變換的關(guān)系，闡述了三維歐氏空間的一條光滑曲線用它的參數(shù)方程的若干次微商構(gòu)造適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)表達(dá)式或它的積分可以得到它的弧長、曲率和撓率，它們刻畫了曲線的形狀和大小，并且空間中兩條位置不同的正則曲線能夠在一個剛體運(yùn)動下彼此重合的充分必要條件是它們的弧長相同，并且曲率和撓率作為弧長的函數(shù)也對應(yīng)相同.特別地，在給定兩條曲線之下，如何通過它們的Frenet正交標(biāo)架及其運(yùn)動來確定一個使它們合同的剛體運(yùn)動.

下篇的研究工作轉(zhuǎn)向曲面的情形.表面上，曲面的研究方法與曲線的研究方法是平行的，但實際上處理起來相對復(fù)雜得多.這主要來自于正則參數(shù)曲面上的自然標(biāo)架一般不是正交標(biāo)架，更不是單位正交標(biāo)架.當(dāng)然，在曲面上也可以取單位正交標(biāo)架，如是曲面上在該點的彼此正交的主方向單位向量，但是主方向本身并不能像正則參數(shù)曲線的Frenet正交標(biāo)架那樣從曲面的參數(shù)方程的偏導(dǎo)數(shù)直接顯式表示出來.可見，從仿射標(biāo)架的自然標(biāo)架出發(fā)研究曲面的理論比較方便.其次，刻畫曲面的完全不變量系統(tǒng)需要從曲面的度量形式和彎曲形式兩個角度入手：與曲線的弧長相對應(yīng)的是曲面的第一基本形式（一個正定的二次微分形式），通常稱為曲面的度量形式，它可以計算曲面上曲線的長度、兩個切向量的夾角和曲面上一塊區(qū)域的面積等；描寫曲面的彎曲形狀還需要另一個二次微分形式，稱為曲面的第二基本形式.這樣，空間中兩個曲面能夠在剛體運(yùn)動下重合在一起的充分必要條件是它們在經(jīng)過參數(shù)變換后有相同的第一基本形式和第二基本形式.

由于研究曲面更多地依賴剛體運(yùn)動與仿射標(biāo)架變換關(guān)系，所以我們先闡述仿射坐標(biāo)之下的坐標(biāo)變換公式，給出仿射標(biāo)架變換與剛體運(yùn)動的關(guān)系定理，見第一節(jié).第二節(jié)回顧曲面的第一基本形式、第二基本形式和自然標(biāo)架，利用曲面的仿射標(biāo)架和剛體運(yùn)動的關(guān)系證明第一基本形式和第二基本形式是曲面的完全不變量系統(tǒng)；第三節(jié)給出在剛體運(yùn)動下滿足完全不變量系統(tǒng)的兩個給定曲面可以彼此重合的兩個定理；最后一節(jié)指出兩個給定曲面可以彼此重合的剛體運(yùn)動的求法步驟，并構(gòu)造實例加以說明.

1　仿射標(biāo)架和剛體運(yùn)動的關(guān)系

1.1仿射標(biāo)架和坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式

1.2仿射變換公式及仿射性質(zhì)

可見，仿射標(biāo)架（包括正交標(biāo)架）變換確定了點的坐標(biāo)變換.從（3）式或（3）′易看出空間仿射變換

具有如下簡單性質(zhì)：

命題1 空間E3的仿射變換

具有下述性質(zhì)：

1）仿射變換是一個線性變換，即

σ（λ（χe?1＋ye?2＋ze?3）＋μ（χe?1＋ye?2＋ze?3））＝λσ（χe?1＋ye?2＋ze?3）＋μσ（χe?1＋ye?2＋ze?3）；

2）仿射變換將一條直線到上的映射到另一條直線.

1.3剛體運(yùn)動在仿射標(biāo)架下的表達(dá)公式和性質(zhì)

由于剛體上的各點的相對位置是固定的，因此當(dāng)某一時刻剛體上面不共線的三點位置能夠確定時，剛體上其他點的位置就可以通過與這三個點的相對位置來確定.

2　曲面的代數(shù)不變量系統(tǒng)和自然標(biāo)架

這些標(biāo)架的全體稱為參數(shù)曲面S的自然標(biāo)架（場）.

有了參數(shù)曲面S的自然標(biāo)架（14），我們需要研究這個標(biāo)架隨著參數(shù)（u，v）的變化規(guī)律，為方便起見，將采用張量的記號.為此引進(jìn)如下記號：

2.1曲面的代數(shù)不變量系統(tǒng)和自然標(biāo)架

由于該節(jié)主要研究曲面在剛體運(yùn)動下的形態(tài)變化，所以我們先回顧曲面的一些重要概念，特別是作為仿射標(biāo)架的自然標(biāo)架及其運(yùn)動公式[4，6－7].

從下一節(jié)定理2的證明過程中，我們將會看到此運(yùn)動公式可以完全刻畫出曲面剛體的行為.

2.2剛體運(yùn)動下曲面的幾何不變量

此節(jié)將通過剛體運(yùn)動證明曲面的第一基本形式和第二基本形式在剛體運(yùn)動下保持不變.

3　剛體運(yùn)動下曲面的合同刻畫

4　曲面上剛體運(yùn)動的求法

這里我們感興趣的是如何驗證給定的兩個曲面具有相同的形狀，然后求出這個剛體運(yùn)動的坐標(biāo)表達(dá)式.從定理3，可以歸結(jié)出具體的操作步驟如下：

1°先驗證給定的兩張曲面能夠建立保長對應(yīng)，即先分別計算出兩張曲面的第一基本形式Ⅰ（1）和Ⅰ（2），然后通過觀察和配方拼湊等方法，并兼顧Ⅱ（2）和Ⅱ（1）的各項符號特點找出參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系u2＝f（u1，v1），

3°根據(jù)剛體運(yùn)動下，仿射坐標(biāo)變換公式（6）有

下面我們構(gòu)造些實例闡述是否存在這樣的剛體運(yùn)動σ以及求出它的操作流程.

由定理3知，不存在剛體運(yùn)動σ：E3→E3，使得曲面S1和S2彼此重合.

例2 對于曲面S1（u，v）＝（a（cosu＋cosv），a（sinu＋sinv），b（u＋v））和曲面S2（φ，θ）＝（2acosφcosθ＋1，2asinφsinθ＋2，bφ＋3），分別計算它們的第一基本形式、第二基本形式以及單位法向量，得到

注意到1＋cos（u－v）＝2cos2[（u－v）/2]，1－cos（u－v）＝2sin2[（u－v）/2]，還有Ⅱ1中含有“－du2＋dv2”的特點，可以找到參數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系φ＝f（u，v）＝（u＋v）/2，θ＝g（u，v）＝（－u＋v）/2，便使得Ⅰ2＝Ⅰ1，Ⅱ2＝Ⅱ1.由定理3知，存在剛體運(yùn)動σ：E3→E3，使得曲面S1和S2彼此重合.不妨u0＝v0＝π/2，則φ0＝π，θ0＝0，進(jìn)一步利用（27）和上面步驟3°，就可以求出相應(yīng)剛體運(yùn)動的具體表達(dá)式.由于篇幅的限制，在此省略.有興趣的讀者可參照上篇的實例嘗試一下，因為后面的每一步已不是很困難.

[1]盧衛(wèi)君，梁麗美，陳向陽.剛體運(yùn)動在微分幾何的應(yīng)用（上篇）[J].廣西民族大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，20（4），58－65.

[2]呂林根，許子道.解析幾何－4版[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.高等代數(shù)[M].高等教育出版社，1978.

[4]陳維桓，微分幾何[M].北京：北京大學(xué)出版社，2006.

[5]王幼寧，劉繼志.微分幾何講義[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2007.

[6]彭家貴，陳卿.微分幾何[M].北京：高等教育出版社，2002.

[7]多卡莫（M.do Carmo）.曲線和曲面的微分幾何（英文版）[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004.

[8]黃宣國.空間解析幾何與微分幾何[M].上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2004.

[責(zé)任編輯 蘇 琴] [責(zé)任校對 方麗菁]

A Solution to Rigid Motion Applied in Differential Geometry.Ⅱ.Surface

LU Wei－jun1，F(xiàn)ANG Li－jing1，LIANG Li－mei2
（1.College of Sciences，Guangχi University for Nationalities，Nanning530006，China；2.Primary school of Junwu，Guangχi University，Nanning530004，China）

This paper is a continuation of Part I where solving a rigid motion such that two given space curves coincide each other was discussed.Here，the authors further discuss some applications to surface under a rigid motion.After characterizing the relation between affine frames and rigid motion，the authors show that under a rigid motion，the first and second fundamental forms determining the gauge and curvature of a regular surface can be preserved；and that two given surfaces satisfying same fully invariant algebraic system can be coincided each other via the natural frame of surface.Especially，the authors provide concrete steps to solve a rigid motion such that two given surfaces coincide together and construct some actual examples to illustrate.

Rigid motion；Affine frame；Natural frame of surface；Fully invariant algebraic system of surface；Congruence

O18，O31

A

1673－8462（2015）02－0046－09

2015－01－28.

廣西高校科學(xué)研究資金重點項目（KY2015ZD038）；廣西民族大學(xué)重點科學(xué)研究項目（2012MDZD033）.

盧衛(wèi)君（1968－），男，博士，廣西民族大學(xué)理學(xué)院副教授，研究方向：微分幾何，幾何分析.