關于重要極限存在性的證明*

蒙世奎

（廣西民族大學理學院，廣西　南寧　530006）

蒙世奎

（廣西民族大學理學院，廣西南寧530006）

該證法推導簡單明了，容易理解.此外，筆者還改進了傳統的二項式展開法.重要極限；比值法；二項式展開法

0　引言

數列

極限的存在證明，在微積分課程教學中總難以回避.目前主要流行兩種方法：二項式展開法和冪差不等式法.20世紀五六十年代國內所用《數學分析》教材[1－2]多采用“二項式展開法”證明.20世紀70年代有國外期刊給出“冪差不等式法”后，國內也出現采用這種方法證明的《數學分析》教材[3].

當b＞a＞0時，由bn＋1－an＋1＝（b－a）（bn＋bn－1a＋…＋an）容易得到

利用不等式（2）證明數列（1）極限存在的過程詳見文[3].證明中通過給a，b選取適當的值而獲得｛an｝單調遞增有上界的結論.推導過程跳躍性比較大，技巧性也比較強，有一定的先驗性，課堂上學生不易捕捉其相應思路.

“二項式展開法”是既經典又傳統的方法.由于涉及前N項和的計算，對于還沒有級數運算概念的讀者，理解上存在比較大的障礙.在課程教學中要解說清楚，需做許多附帶說明.這恐怕也是尋找其他證明方法的原因.筆者在教學中為避開以上難點，給出“比值法”的證明方法，即利用不等式

對相關數列相鄰兩項的“比值”進行討論，從而確定其“單調性”.利用不等式（3）也可以對傳統的“二項式展開法”做某些改進.

1　比值法

在初等數學中比較兩個正數的大小，常用的比較簡單的方法是：一是通過這兩個數的差大于（或小于）0確定；二是通過這兩個正數的比大于（或小于）1確定.下面給出極限（1）存在的“比值法”證明.

證明：先構造一個與數列（1）密切相關的數列｛bn｝：

作比式并整理可得

以上“比值法”證明，只有寥寥幾行算式，十分簡捷.相關運算多是“二項式相乘”或簡單的因式分解.對具有中學數學知識的讀者應該沒有困難.教學內容經這樣處理，線索清楚，容易引導學生同步思考，更便于學生掌握.利用“比值法”及不等式（3），不難證明數列｛an｝單調遞增.類似地，

所以數列｛an｝單調遞增.但要確認｛an｝有上界，則不會像數列｛bn｝那樣唾手可得.通過二項式展開進行估值涉及n個項的比較討論，確認“上界”還需要一定的分析和計算.如下改進“二項式展開法”的討論過程，比較簡單明了.

2　“二項式展開法”的改進

證明：根據不等式（3），由

因此數列｛an｝單調遞增.

注1：由數列｛an｝單調遞增，數列｛bn｝單調遞減，得bn＞e＞an，所以

[1]辛欽著.數學分析簡明教程[M].許寶祿，譯.北京：人民教育出版社，1951.

[2]菲赫金哥爾茨.數學分析原理[M].丁壽田，譯.北京：人民教育出版社，1962.

[3]華東師大數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[責任編輯 蘇 琴]

[責任校對 方麗菁]

O172

A

1673－8462（2015）01－0066－02

2014-10-10.

蒙世奎（1942-），男，廣西民族大學理學院副教授，研究方向：微分方程.