含多參量無窮積分的一致收斂性及其判別法*

唐國吉，陳向陽，裴 楷

（廣西民族大學理學院，廣西　南寧　530006）

含多參量無窮積分的一致收斂性及其判別法*

唐國吉，陳向陽，裴 楷

（廣西民族大學理學院，廣西南寧530006）

引入了含雙參變量的無窮積分一致收斂的概念，并探討了一些判別方法，包括柯西準則，維爾斯特拉斯M判別法，狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.文章的主要結果是含單參量無窮積分一致收斂的相應結果的推廣.

含多參量無窮積分；一致收斂；柯西準則

0　引言

含參量積分是多元積分學中的重要內容.現行的數學分析教材[1－3]都討論了此項內容.含參量正常積分實質上是通過定積分來定義的一個函數，上述數學分析教材研究了此類函數的連續性、可微性和可積性，這些性質保證了積分與取極限，積分與求導，積分與積分運算的可交換性.因此，他們在求極限、求導和求積分的一些計算中扮演著重要的作用.近來，文獻[4－5]把含單個參變量的正常積分推廣到含雙參變量的正常Riemann積分和Riemann-Stieltjes積分的情形，獲得了相應的結果.

含參量非正常積分的討論比正常積分要復雜得多.現行的處理方法都是通過引入含參量非正常積分的一致收斂的概念，進而討論其分析性質.我們注意到Beta函數：

是一個含雙參量p和q的非正常積分.遺憾的是，目前的數學分析教材卻沒有提到雙參量非正常積分的相關理論.

正如郇中丹教授[6]指出的那樣，目前的數學分析教材對一元微積分的討論不厭其煩，而多元微積分則顯得相當薄弱，這一方面是由于以往認為多元微積分是一元的平行推廣，這大概與菲赫金格爾茲的數學分析教材的影響有關.然而，無論從數學的發展，還是從實際應用以及計算機的使用都要求學生有較好的多元微積分基礎.與一元微積分相比，多元微積分的有關內容的處理還有待深入的研究.與含單參量的積分相類似，含多參量的非正常積分比相應的正常積分的討論要更復雜.探索含多參量的非正常積分的分析性質僅僅要求含多參量的非正常積分收斂是不夠的，需要更強的一致收斂的條件.這正是筆者研究的主要動機.

受以上文獻的啟發，筆者引入了含多參量無窮積分一致收斂的概念，并探討了一致收斂的一些判別法（包含Cauchy準則、維爾斯特拉斯M判別法、狄利克雷判別法和阿貝爾判別法）.筆者的主要結果可以看作是含單參量無窮積分一致收斂的相關結果的推廣，也為下一步研究含多參量無窮積分的分析性質奠定基礎.

1　定義和引理

為了敘述方便，僅以含雙參量的無窮積分為例展開，對于含3個參量或更一般地，n個參量的無窮積分的相關結果，讀者可以毫不費力地得到相關結果.

定義1 設函數f（χ，y，z）定義在無界區域R＝｛（χ，y，z）|a≤χ≤b，c≤y≤d，e≤z＜＋∞｝上，若對每一個固定的（χ，y）∈[a，b]×[c，d]，無窮積分

稱（1）式為定義在[a，b]×[c，d]上的含兩個參量χ和y的無窮積分.

定義2 若含參變量無窮積分（1）與函數I（χ，y）對任給的正數ε，總存在某一實數N＞e，使得當M＞N時，對一切（χ，y）∈[a，b]×[c，d]，都有

都收斂，則它的值是（χ，y）在[a，b]×[c，d]上取值的函數，當記這個函數為I（χ，y）時，則有

則稱含參量無窮積分（1）在[a，b]×[c，d]上一致收斂于I（χ，y），或簡單地說含參量積分（1）在[a，b]× [c，d]上一致收斂.

引理2（[1]的定理9.11的推論）設函數f在[a，b]上可積，若g為單調函數，則存在ξ∈[a，b]，使得

2　主要結果

定理1（Cauchy準則）含雙參量的無窮積分（1）在D＝｛（χ，y）∈R2|χ∈[a，b]，y∈[c，d]｝上一致收斂的充要條件：對任給的正數ε，總存在某一實數M＞e，使得當A1，A2＞M時對一切（χ，y）∈D，都有

證明：（必要性）對任給的正數ε，由含雙參量無窮積分（1）在D上一致收斂可知存在某一實數M＞e，當A1，A2＞M時，對于一切（χ，y）∈D，都有

（充分性）若條件（5）成立，由無窮積分收斂的Cauchy準則（引理1）可知，對每一個（χ，y）∈D，

定理2（維爾斯特拉斯M判別法）設有函數g（z），使得

由（7），（8）和定積分的絕對值性質可得

定理3（狄利克雷判別法）設

i）對于一切實數N＞e，含參量正常積分

對于參量χ和y在D＝｛（χ，y）|a≤χ≤b，c≤y≤d｝上一致有界，即存在正數M，對于N＞e及一切（χ，y）∈D，都有

ii）對每一對（χ，y）∈D，函數g（χ，y，z）關于z是單調遞減且當z→＋∞時，對于參量χ和y，g（χ，y，z）一致收斂于0，即?ε＞0，?A＞0，?z＞A，?（χ，y）∈D有|g（χ，y，z）|＜ε，

證明：任給ε＞0，由于g（χ，y，z）當z→＋∞時關于參量χ和y一致收斂于0可知存在A＞0，對于一切z＞A和一切（χ，y）∈D，有

其中M為條件i）所定義.又因為對每一對（χ，y）∈D，函數g（χ，y，z）關于z單調遞減，利用引理2，對于任何的u1，u2＞A，存在ξ∈[u1，u2]，使得

定理4（阿貝爾判別法）設f（χ，y，z），g（χ，y，z）滿足如下條件：

ii）對于每一對D＝｛（χ，y）|a≤χ≤b，c≤y≤d｝，函數g（χ，y，z）為z的單調函數，對參量χ和y，g（χ，y，z）在[a，b]×[c，d]上一致有界，

證明：任給ε＞0，由條件i）利用定理1的必要性可知，存在A＞e，任何u2＞u1＞A，使得

[1]華東師范大學數學系.數學分析（上、下冊）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]徐森林，金亞東，薛春華.數學分析（第三冊）[M].北京：清華大學出版社，2007.

[3]劉玉璉.數學分析講義（上、下冊）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]顧先明.二元含參量正常積分函數的分析性質[J].唐山師范學院學報，2010，32（2）：41－44.

[5]顧先明.二元含參量黎曼＿斯蒂爾切斯積分函數的分析性質[J].哈爾濱師范大學：自然科學學報，2010，26（5）：36－40.

[6]郇中丹.對師范大學本科數學專業數學分析課程改革的幾點意見[J].數學教育學報，2000，9（2）：17－19.

[責任編輯 蘇 琴]

[責任校對 方麗菁]

Uniform Convergence and Discriminant Method for Infinite Integral Involving Multiple Variables

TANG Guo-ji，CHEN Xiang－yang，PEI Kai
（College of Science，Guangχi University for Nationalities，Nanning530006，China）

In this paper，a notion of uniform convergence for infinite integral involving two variables is introduced.Some discriminant methods，including Cauchy criterion，Weistrass-discriminant method，Dirichlet-discriminant method and Abel-discriminant method are obtained.The main results presented in this paper are generalization of corresponding results of uniform convergence for infinite integral involving singlevariable.

infinite integral involving multiple variables；uniform convergence；Cauchycriterion

O172.2

A

1673－8462（2015）01－0062－04

2014-09-10.

廣西高等教育教學改革工程項目（一般A類）（2014JGA131）.

唐國吉（1979-），男，廣西防城港人，博士，廣西民族大學理學院副教授，研究方向：優化理論及應用.