從一道反比例函數題談函數大小比較

農漢濤

（廣西靖西縣民族中學 廣西靖西 533800）

從一道反比例函數題談函數大小比較

農漢濤

（廣西靖西縣民族中學 廣西靖西 533800）

在初中階段所涉及的三種函數一次函數（包括正比例函數），二次函數，反比例函數中，只有反比例函數對自變量x有要求，即x≠0。因為k≠0，則y也必定≠0，所以反比例函數的圖象雙曲線永遠不會與坐標軸相交，因此它的性質中就特別強調："在圖象所在的每個象限內"這一條件。，若忽略這個條件，就會給后面的解題帶來麻煩，這也從某個方面說明教材編寫具有相當的嚴密性。

反比例函數 雙曲線 增減性 自變量x的取值

一、引言

數學新教材的最大特點就是體現素質教育的要求，重視人的發展，提倡課程與生活的聯系，以數學源于生活又用于生活為主線，著重培養學生的創新意識和動手能力，培養學生學數學、用數學的意識，使其養成良好的學習習慣。《數學課程標準》明確指出：義務教育階段的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧的發展。因此，我們要以鼓勵學生主動參與，主動思考，主動探究，主動實踐為基本特征，以實現學生多方面能力綜合發展為核心.充分注意學生各種能力的培養。從實際出發，努力激發學生的學習興趣，充分調動學生的學習積極性和主動性。教會學生學習，教會學生思考，教會學生探索，使學生真正成為學習的主人。

二、背景和遇到的問題

在九年級上冊第一章反比例函數的教學中，當學習完反比例函數的性質后，書本第14頁“做一做”第1題第2小題是這樣的：已知x1，y1和x2， y2是反比例函數兩對自變量與函數的對應值，x1＞x2＞0，則0___y1___y2（填＞、＜、=），我們不妨稱此題為例1，本題中因為a2≥0，所以-a2≤0，即反比例函數中的k＜0，所以y的值會隨x的增大而增大，因為x1＞x2。所以y1＞y2，學生基本上能正確解決，但我相信，有許多同學都是一知半解的，為什么要在自變量中加入大于0的條件？為什么函數值中也涉及了與0的大小比較？所以我加入了例2，下列函數中，y隨x的增大而減小的是___，A、y=-3x+4 B、y=C、y=-D、y=3x-2

生1：老師，選A。

生2：B也對，A和B都對。

師：同意生2的觀點嗎？

生：同意！

師：那誰來幫老師分析一下，為什么這兩個解都對？

生3：因為一次函數y=kx+b，當k＜0時，y必定隨著x的增大而減少，而A中，y=-3x+4，k=-3＜0，所以A正確。

師：對嗎？

生：對。

師：B呢？

師：講的很好。有誰需要補充嗎？

生：……

師：我們不妨回到書本第13頁，一起仔細地研讀反比例函數的性質。

師：剛才生4的表述與書本上的表述有什么不同？

生5：書上詳細地講到，在圖象所在的每一個象限內。

師：這是一句廢話嗎？為什么書本上不把它刪去？

生：……

生：x≠0。

師：為什么？

生：因為分母不等于0。因為0不能作除數。

師：而一次函數y=kx+b中有沒有這樣的限制條件？

生：沒有。

師：那么體現在圖象上又有什么區別呢？

生：一次函數的圖象是一條直線，x可以取任意值。

師：對，但反比例函數的雙曲線呢？

如圖，當k＞0時，圖象分布在一、三象限。試問：圖象的兩個分支可不可能與兩線標軸相交？

生：不可能。因為x≠0，y≠0。

師：恩，所以，兩個分支是獨立的。k＞0，y的值隨著x的增大而減小，但必須在同一分支上，即在圖象所在的每一個象限內才可以比較大小。

生：也就是自變量x必須都大于0，或都小于0。

師：所以例2中，該選擇……

生：A。

師：若讓B也正確，該如何修改？

生：加上x＞0或x＜0。

師：講得很棒，現在我們再一起回過頭來看例1，你注意到例1中 x1＞x2＞0了嗎？

生：嗯，所以，最好利用圖像來解決。

師：讓我們試一試。

圖象分布在二、四象限，x1＞x2＞0，說明圖象只研究位于第四象限的那一支，y1＞y2，且0＞y1＞y2。

三、問題的解決

愛因斯坦說：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要。”發現問題，大膽懷疑，課堂上把“提問權”還給學生，并對他們的提問給予積極的鼓勵、引導，對激發學生的強烈的探索動機，培養學生的思維能力會起到重要作用。在復習課中，我又結合兩種函數，即反比例函數和一次函數的函數值大小和學生進行了一次探討。因為我們都知道，在初中階段，學習的幾種函數中，只有反比例函數對自變量加以了限制（函數應用中自變量取值除外）。

作為教師，我們都知道，思維的發展過程是從發現問題開始，如鄭板橋老先生說過：“學問二字，需要拆開來看，學是學，問是問，有學無問，雖讀萬卷書，只是一條鈍漢耳。”所以學生對數學問題的發現，可以說，是數學創新教育的前提，學生應成為“提出問題——分析問題——解決問題”這個認知過程的主體，應享有這種思維活動的權利和機會。

例3，在平面直角坐標系中，一次函數y1=x+1與反比例函數交于A、B兩點，問當x取何值時，y1＞y2？

兩個函數圖象的交點問題我們都可以把它轉化為聯列方程組求公共解的問題，如本例中解得即定點坐標為A（2，3），B（-3，-2），再接下來，利用函數圖象，可以解題。如圖：

當x=2或x=-3時，y1=y2，要使y1＞y2，即當取一個特定的x值，一次函數圖象上的點要高于反比例函數，所以借助直線x=-3和直線x=2，以及y軸，就把整個坐標平面分成了四部分，即x＜-3， -3＜x＜0，0＜x＜2，x＞2發現，當-3＜x＜0和x＞2時，