m-擬-?-A（k）算子的譜

王紅衛

（新鄉廣播電視大學基礎教研室， 河南新鄉 453003）

m-擬-?-A（k）算子的譜

王紅衛

（新鄉廣播電視大學基礎教研室， 河南新鄉 453003）

設k＞0，m為正整數，若T滿足T?m（T?|T|2kT）1/k+1Tm≥T?m|T?|2Tm，則T是m-擬-?-A（k）算子。本文給出m-擬-?-A算子的一些例子，并證明若T是m-擬-?-A算子，則σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

m-擬-?-A（k）算子；點譜；近似點譜

設H為無窮維的可分的Hilbert空間，B（H）為H上有界線性算子代數的全體。若T滿足T*T≥TT*，則稱T為亞正規算子。近年來算子理論的一個研究熱點是對亞正規算子的自然擴展。在文獻［1］中，T.Furuta等定義A類算子為|T2|≥|T|2，其中|T|=（T*T）1/2，且亞正規算子是A類算子，在文獻［2］中，定義A（k）類算子為（T*|T|2kT）1/k+1≥|T|2，作為A（k）類算子的變型，楊長森等在文獻［3］中引入了*-A（k）類算子，滿足條件（T*|T|2kT）1/k+1≥|T*|2.作為*-A（k）類算子的擴展，作者在［4］中引入了m-擬-*-A（k）算子如下：

定義1設k＞0，m為正整數，若T滿足

T*m（T*|T|2kT）1/k+1 Tm≥T*m|T*|2Tm，

則稱T是m-擬-*-A（k）類算子。

顯然*-A（k）類算子是m-擬-*-A（k）算子

記σ（T），σa（T），σja（T），σp（T）和σjp（T）分別為T的譜，近似點譜，聯合近似點譜，點譜和聯合點譜。若存在一個非零x∈H，。使得（T-λ）x=0，則稱λ為T的點譜；進一步，若（T*-λ-）x=0，則稱λ為T的聯合點譜。類似的，若存在一列單位向量｛xn｝，使得（T-λ）xn→0，則稱λ為T的近似點譜；進一步，若（T*-λ-）xn→0，則稱λ為T的聯合近似點譜。有定義知σja（T）σa（T），一般σja（T）≠σa（T）.近來，已證明一些非正規的算子T滿足σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝［5-9］.本文將此結論推廣到m-擬-*-A算子。

第二部分，給出了m-擬-*-A算子的一些例子，證明了若T是m-擬-*-A算子，則σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

主要結果

通關簡單的計算，我們可以得到以下引理。

引理1.1設K=Hn.其中Hn≌H，A，B是H上的正算子，在K上定義算子TA，B如下：

則下列結論成立：

（i）TA，B是*-A（k）類算子當且僅當（AB2kA）1/k+1≥A2且B2≥A2.

（ii）TA，B是2-擬-*-A（k）類算子當且僅當A2B2A2≥A6.

下面的例子說明2-擬-*-A（k）算子不一定是*-A（k）算子.

例1.2一個不是？-A（k）而是2-擬-？-A（k）算子的例子

令A和B如下

因此，TA，B不是*-A（k）算子.

另一方面，由于

因此TA，B是2-擬-*-A（k）算子.

考慮無限維Hilbert空間上的單側加權移位算子.給出有界正數序列α：α1，α2，α3，…（稱作加權），把H=l2空間上與序列α有關的單側加權移位算子Wα定義為Wαen=αnen+1.通過計算，得Wα為m-擬-*-A（k）算子的充要條件是

其中

（αi+mαi+m+1k）1/k+1≥αi+m-1（i=1，2，3，...）.

下面的例子說明m+1-擬-*-A（2）算子不一定是m-擬-*-A（2）算子.

例1.3一個不是m-擬-*-A（2）算子，但卻是m+1-擬-*-A（2）的算子.

設T是單側加權移位算子，給出加權序列（αi），令α1=1，α2=1，α3=1，···，αm=3，αm+1=1，αm+2=8，αm+2=αm+3=αm+4=···.通過簡單的計算得，T是m+1-擬-*-A（2）算子，但不是m-擬-*-A（2）算子.

引理1.4［4］設T是m-擬-*-A（k）算子，其中0＜k≤1，且λ≠0，若Tx =λx，則T*x=λ-x.

引理1.5［10］設H是一個復Hilbert空間.則存在一個Hilbert空間K使得H K，且存在一個映射φ：B（H）→B（K）滿足

（i）φ是代數B（H）在K上的忠實*-表示；

（ii）φ（A）≥0，A≥0；

（iii）σa（T）=σa（φ（T））=σp（（φT）），T∈B（H）.

引理1.6［9］設φ：B（H）→B（K）是Berberian忠實*-表示，則σja（T）= σjp（φ（T））.

定理1.7設T∈B（H）是m-擬-*-A（k）算子，其中0＜k≤1，則

（i）σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝；

（ii）若（T-λ）x=0，（T-μ）y=0，且λ≠μ，則＜x，y＞=0；

（iii）σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

證明 （i）由引理1.4顯然可得.

（ii）不失一般性，不妨設μ0.則由引理1.4可得（T-μ）*y=0.因此，μ

＜x，y＞=＜x，T*y＞=＜Tx，y＞=λ＜x，y＞.因為λ≠μ，從而＜x，y＞=0

（iii）設φ：B（H）→B（K）是引理1.5中的Berberian忠實*-表示。下證φ（T）也是m-擬-*-A（k）算子

事實上，T是m-擬-*-A（k）算子，由引理1.5可得

（φ（T））*m［（（φ（T））*|φ（T）|2kφ（T））1/k+1-|（φ（T））*|2］（φ（T）m=φ（T*m［（T*|T|2kT）1/k+1-|T*|2］Tm）≥0.

從而由引理1.5和引理1.6得

σa（T）｛0｝=σa（φ（T））｛0｝=σp（φ（T））｛0｝=σjp（φ（T））｛0｝=σja（T）｛0｝.

［1］Furuta T，Ito M，Yamazaki T.A subclass of paranormal operators including class of log-hyponormal and several related classes［J］.Sci Math.，1998，1:389-403.

［2］Furuta T.Invitation to Linear Operators［M］，London:Taylor& Francis，2001.

［3］Yang C S，Shen J L.Spectrum of class absolute-？-k-paranormal operators for 0≤k≤1［J］.Filomat，2013，27（4）:671-678.

［4］Wang H W.The properties of m-quasi-？-A（k）operator［J］.in press.

［5］Aluthge A，Wang D.w-hyponormal operators II［J］.Integr.Equ. Oper.Theory，2000，37（3）:324-331.

［6］Ch-o M，Yamazaki T.An operator transform from class A to the class of hyponormal operators and itsapplication［J］.Integr.Equ.Oper.Theory，2005，53（4）:497-508.

［7］Tanahashi K.On log-hyponormal operators［J］.Integr.Equ.Oper. Theory，1994，34（3）:364-372.

［8］Uchiyama A.Weyl's theorem for class A operators［J］.Math.Inequal. Appl.，2001，4（1）:143-150.

［9］Xia D.Spectral Theory of Hyponormal Operators［M］.Basel: Birkhauser Verlag，1983.

［10］Berberian S K.Approximate proper vectors［J］.Proc.Amer.Math. Soc.，1962，13:111-114.

The Spectrum of m-quasi-*-A（k）Operator

Wang Hong-wei
（Based Teaching and Research Section，XinXiang Radio and Television University，Xinxiang 453003，China）

An operator T is called m-quasi-*-A（k）operator，if T*m（T*|T|2kT）1/k+1Tm≥T*m|T*|2Tm.In this paper，we give some examples of m-quasi-？-A（k）operator，and show that if T is a m-quasi-*-A（k）operator，then σjp（T）｛0｝=σp（T）｛0｝，σja（T）｛0｝=σa（T）｛0｝.

m-quasi-*-A（k）operator；point spectrum；approximate point spectrum.