建筑結構可靠度分析方法比較

文/馮惠苗 北京中外建建筑設計有限公司重慶分公司 重慶 400045

呂長浩 廣東省華城建筑設計有限公司重慶分公司 重慶 400045

建筑結構可靠度分析方法比較

文/馮惠苗 北京中外建建筑設計有限公司重慶分公司 重慶 400045

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詳細闡述了結構可靠度計算方法，對一次二階矩法中的中心點法、HL法、JC法、幾何法，二次二階矩法，響應面法，蒙特卡羅法，基于最優化原理的蒙特卡羅法的計算方法進行了分析；同時對四種常用的方法JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法，根據影響其結果精度的因素，以直接的蒙特卡羅法的結果為標準解，對其結果進行了對比分析。

結構可靠度；JC法；幾何法；二次二階矩法；基于最優化原理的蒙特卡羅法；功能函數

1 結構可靠度的計算方法

1.1 一次二階矩法

一次二階矩法計算簡便，其要點是非正態隨機變量的正態變換及非線性功能函數的線性化。

1.1.1 中心點法

設結構構件功能函數為）

式中 Xi（ i = 1 ，2 ，… ，n ） 為統計獨立正態隨機變量。

將功能函數在 X i （i = 1 ，2 ，… ，n ） 的均值點 μXi（ i = 1 ，… ，n ） 展 T a y l o r 級數，僅保留線性項。有

Z的均值和方差

結構可靠指標

該方法對于非線性功能函數，因略去二階及更高階項，誤差將隨著線性化點到失效邊界距離的增大而增大，而均值法中所選用的線性化點（均值點）一般在可靠區而不在失效邊界上，誤差較大[2］。

1.1.2 改進一次二階矩法（HL法）

針對均值一次二階矩法的上述問題，人們把線性化點選在失效邊界上，且選在與結構最大可能失效概率對應的設計驗算點上，以克服均值一次二階矩法存在的問題，提出了改進的一次二階矩法。該方法無疑優于均值一次二階矩法，為工程實際可靠度計算中求解 β 的基礎。

Z的均值和方差

結構構件可靠指標可表示為

設計驗算點坐標

考慮到設計驗算點 p*應位于極限狀態曲面上，故，因此式（11）可寫為

由于p*未知，不能直接利用上式求β。故β的求取只能采用迭代法。

但該方法只是在隨機變量統計獨立、正態分布和線性極限狀態方程才是精確的，否則只能得到近似的結果[1］。

1.1.3 JC法

針對工程結構各隨機變量的非正態性，拉克維茨提出了JC法。其基本原理是將非正態的變量當量正態化，替代的正態分布函數要求在設計驗算點處的累積概率分布函數（CDF）和概率密度函數（PDF）值分別和原變量的CDF值、PDF值相等。當量正態化后，采用改進一次二階矩法的計算原理求解結構可靠度指標。

（1）在驗算點處，當量前后分布函數值相等；

（2）當量前后概率密度函數值相等。所以有：

1.1.4 幾何法

用以上方法計算時，迭代次數多，而且極限狀態方程為高次非線性時誤差較大，為此專家們提出幾何法即是優化算法。根據可靠指標的幾何意義，可靠指標的獲得也就是在功能函數面上尋找一點y*，使該點與均值點的距離最短，從而使問題成為一個優化問題，即：目標函數：β = min （y*T · y*）1/2；約束條件：g（y*） = 0。用幾何法求解可靠指標β的思路：先假設驗算點x*，將驗算點值代入極限狀態方程g（x），若g（x*）≠0，則沿著g（x） = g（x*）所表示的空間曲面x*點處的梯度方向前進（后退），得到新的驗算點x*代入極限狀態方程，若g （x*） ＞ ε，其中ε為控制精度，繼續迭代；若g（x*）≤ ε則表示該驗算點已在失效邊界上，迭代停止，即可求出β和x*的值。

設隨機變量 X=（x1，x2，…，xn）T為相互獨立的正態變量，通過變換得到一組相互獨立的標準正態變量Y=（y1，y2，…，yn）T。

式中[T］，｛B｝分別為

于是得到如下所示的結構功能函數

式中mxi為隨機變量xi的均值，σxi為隨機變量xi的標準差。

可用下面的迭代公式求得結構的可靠度指標β

式中｛a｝和a分別為迭代點的移動方向及步長，即

幾何法與一般的一次二階矩法相比，具有迭代次數少、收斂快、精度高的優點，但其結果亦為近似解。

1.2 二次二階矩法

假設功能函數Z（X）= g（X）對于相關隨機變量 X = （X1，X2，...，Xn）T的相關系數為 ρXi，Xj（i≠j），根據邊際概率分布函數相等的原則，可以將其轉換為標準正態隨機變量 Y= （Y1，Y2，...，Yn）T，假設其相關系數矩陣為（25），顯然，當X為正態隨機變量時，ρYi，Yj= ρXi，Xj（i≠j），當X為非正態隨機變量時，ρYi，Yj≈ ρXi，Xj（i≠j）。

從而結構失效概率表達式為：

最終可以近似為：

其中：

β為一階矩可靠指標；y*為驗算點；I 為單位矩陣；H′為正交變換矩陣，用于對隨機變量Y′（=AY） 做正交變換：Y′=H′U；A 為相關系數矩陣ρY分解得到的下三角矩陣，即有ρY=AAT。

利用曲率κ （即 （H′TQ′H′）n-1的特征值矩陣），式（27）可以改寫為：

從公式的表達上可以看出，二次二階矩法的結果是在一次二階矩法結果的基礎上乘一個考慮功能函數二次非線性影響的系數，所以可以看作是對一次二階矩法結果的修正。需要強調的是，在廣義隨機空間中，對于隨機變量變換前后相關系數的取值依據的是變換前后的相關系數近似相等，這相當于一次二階矩法隨機變量間的一次變換，對于二次二階矩法是否考慮隨機變量間的二次變換項，以及二次變換項如何考慮是需要進一步研究的問題。

1.3 響應面法

對于復雜結構而言，常難以寫出功能函數的顯式，而直接的數值模擬工作量太大，為此一些學者提出用響應面法確定結構功能函數。該方法的基本思想是采用有限次的數值試驗，通過回歸擬合解析表達式來代替真實功能函數曲面 Z= G（X1，X2，… ，XN），用二次多項式不含交叉項表示響應面函數的形式為

然后用插值方法來確定表達式中的未知參量，關鍵在于確定響應面函數的系數。多項式系數的確定一般以試驗設計為基礎，應用二水平因子設計或中心復合設計回歸得到特定因子的最小二乘估計。響應面法用二次多項式代替大型復雜結構極限狀態函數，并且通過系數的迭代調整，一般都能滿足實際工程精度，具有較高的效率，很有使用價值，是一個很有發展前景的計算方法。

1.4 蒙特卡羅法

蒙特卡羅法又稱隨機抽樣技巧、概率模擬方法和統計試驗法。其理論基礎是概率論中的大數定理，因此它的優點是其應用范圍幾乎沒有什么限制。對基本變量相互獨立的情況，設基本變量X1，X2，…，Xn的分布函數分別為Fx1（x1），Fx2（x2），…，Fxn（xn），令Fxi（xi） = rj，rj是由蒙特卡羅法產生的隨機序列中的一個數。由此得到xi= F-1

xi（rj），i=1，2，…，n。對于每個 rj值可產生每個基本變量的相互獨立的子樣xi，將這些值帶入失效函數g（x）得出一個取值。若g（x）≤0，則在計算機程序中記入一次失效函數的實現；若 g（x）＞0，則不記入，這樣就完成了一次計算，再產生下一隨機數，重復上面的計算，直至完成預定的試驗次數為止。

此時，失效概率為

式中，n是試驗的總次數，k是試驗中g（x）≤0的次數，比值k/n是統計變量，對于低的失效概率或n較小時，估算Pf值容易發生相當大的不定性。但當模擬次數很大時，直至趨于無窮大時，能夠得出精確的 Pf值；若基本隨機變量相關時，利用條件概率密度，把多維問題化為一維問題來解決。

2 算例及各算法精度比較

2.1 函數非線性程度的影響

對于式（32）形式的功能函數，其非線性程度主要取決于系數k的大小，取k=1，2，3，4，5，6共六種工況進行分析。

假設X1為正態隨機變量，X1的均值μx1=20，標準差σx1=4，對JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法的計算結果進行比較，如下表所示。

表1 HL法與幾何法迭代次數比較

表2 不同非線性各算法精度比較

由表 1的數據可以看出，一次二階矩法中的幾何法在計算結構可靠指標時，其迭代次數與JC法相當。

由表2的數據可以看出，幾何法的計算結果與JC法的計算結果相同；k=1時，即功能函數為線性時，JC法、幾何法、二次二階矩法、優化的 MC法的計算結果相同且都很接近于標準解；當功能函數為非線性函數時，二次二階矩法的計算結果均大于一次二階矩法的計算結果；當1＜k＜3時，此時功能函數非線性程度較小，幾何法、JC法、二次二階矩法、優化的MC法的計算結果有較小誤差，仍接近標準解；k≥3時，隨著功能函數非線性程度的增大，四種方法的計算結果的誤差有所增大，優化的MC法誤差最大；但k=5時，幾何法、JC法、二次二階矩法的結果接近于標準解。

2.2 函數變量類型的影響

對式（32）的功能函數，針對不同的變量類型，X1分別取對數正態隨機變量、極值I型隨機變量，取 k=1，X1的均值 μx1=20，標準差σx1=4，分別運用JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法計算結構可靠指標，并與上述正態隨機變量情況下對比，如下表所示。

表3 不同變量類型各算法精度比較

由表3的數據可知，k=1時，此時功能函數為線性函數：當X1為正態隨機變量和對數正態隨機變量時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法的計算結果接近于標準解，但正態隨機變量的結果精度要優于對數正態隨機變量的結果；當X1為極值I型隨機變量時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法的結果誤差較大。

2.3 函數變量統計參數的影響

假設X1為正態隨機變量，X1的均值μx1=20，取 k=1，2，X1標準差 σx1=4，5，6，7，8，9。以六種工況比較JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法的計算結果，如下表所示。

表4 變量統計參數不同各算法精度比較（k=1）

表5 變量統計參數不同各算法精度比較（k=2）

由表4數據可知，k=1，功能函數為線性函數時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法的計算結果相同，都很接近于標準解，且隨著變量X1標準差的增大，精度變化不大。

由表5數據可知，k=2，功能函數為非線性函數時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法的計算結果的精度隨著變量X1標準差的增大而降低，且小于對應的表4的數據。

3 結論

通過以上對可靠度理論的常用的四種計算方法的研究，有如下結論：

（1）當功能函數為線性函數或非線性程度較低，變量為正態隨機變量或對數正態隨機變量，且變異系數較小時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法的計算結果均可滿足工程需要；

（2）當功能函數非線性程度較高，變量為極值I型隨機變量，且變異系數較大時，JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優化原理的蒙特卡羅法的計算結果均有較大誤差。

[1]李典慶，周建方.結構可靠度計算方法述評 [J］.河 海 大 學 常 州 分 校 學報，2000，14（1）：34-42.