基于空時稀疏表示的紅外小目標檢測算法

李正周，侯倩，戴真，付紅霞，葛豐增，金鋼

（1.重慶大學通信工程學院，重慶400044；2.中國空氣動力研究與發展中心，四川綿陽621000）

基于空時稀疏表示的紅外小目標檢測算法

李正周1，侯倩1，戴真1，付紅霞1，葛豐增1，金鋼2

（1.重慶大學通信工程學院，重慶400044；2.中國空氣動力研究與發展中心，四川綿陽621000）

提出了一種基于過完備空時字典及其稀疏表示的紅外小弱目標運動檢測算法。采用K奇異值分解算法學習連續多幀圖像的運動信息和形態特征，構建自適應形態過完備空時字典；利用高斯運動模型檢驗自適應形態過完備空時字典，將其劃分為能分別描述目標與背景的目標過完備空時字典和背景過完備空時字典；將連續多幀圖像分別在目標過完備空時字典和背景過完備空時字典上稀疏分解，利用幾個最大稀疏系數及其空時原子重構信號，增強二者殘差來檢測小目標信號。實驗結果表明，該過完備空時字典不僅能同時描述目標與背景的運動信息和形態特征，極大地提高信號表示的稀疏程度，而且能有效增強目標與背景的特征差異，提高小運動目標的探測能力。

信息處理技術；小弱目標檢測；空時超完備字典；目標空時字典；背景空時字典；信號稀疏重構

0 引言

當探測器與目標之間的距離較遠時，目標在成像上表現為只占若干個像素的小目標，并且易于淹沒在各種背景雜波和強噪聲中，這給目標檢測與跟蹤帶來了很大的難度［1-2］。小弱運動目標檢測方法可分為基于圖像濾波和基于模式識別（內容學習）的兩類檢測算法［3-4］。基于圖像濾波的檢測算法首先白化圖像信號［5］，如Top-Hat［6］、Two-dimensional Least Mean Square（TDLMS）［7］和小波變換［8-9］等，然后采取諸如恒虛警率方法判定圖像中是否存在目標。跟蹤前檢測（TBD）算法對于淹沒在強噪聲和強雜波中的弱小運動目檢測往往性能不佳［10-11］。TBD算法避免對每幀圖像進行門限判決，而在時域中沿目標信號的疑似軌跡上進行包括目標信號幅度和運動狀態在內的窮盡假設，然后以此假設條件尋找小弱目標，代表方法主要有Hough變換［12］、最大似然估計［13］、動態規劃算法［14］、假設檢驗［15］以及三維匹配濾波器［16-17］等，共同之處在于TBD算法沿目標軌跡積累和提高目標能量和信噪比，將目標檢測轉換為目標軌跡檢測。然而，TBD算法搜尋的疑似軌跡數量眾多，勢必造成計算量過大和計算復雜度過高，應用范圍受到限制。

基于學習的檢測算法則是將目標檢測問題轉化為模式識別中的二類分類問題，它對目標模型和背景模型進行訓練，并根據規則判定圖像是否含有目標，如主成分分析（PCA）法［17］。近年來，基于超完備稀疏表示理論的紅外小目標檢測方法發展成為一種新的學習算法，它通過學習與構建超完備字典，將信號的能量只集中于較少且能表示信號的主要特征和內在結構的原子上。目前，具有代表性的超完備字典有高斯字典、Gabor字典、Gabor多成分字典等。高斯字典［18］適合于高斯分布的小弱目標，然而小弱目標形態動態變化，高斯字典難以適應非高斯分布等非結構形態。基于形態成分分析的自適應信號稀疏表示法根據圖像信號構造反應目標和噪聲的自適應超完備字典，增強了目標和背景的稀疏表示系數差異，但自適應超完備字典其表示原子同時包含了背景和目標信息，稀疏表示系數較小，難以分辨出目標與背景；同時，構造自適應超完備字典采用單幀靜態圖像訓練樣本，其原子只能表示目標形態特征，難以反映出目標運動信息和軌跡信息，因此基于此類空域超完備字典的檢測算法探測能力有限。研究能同時體現目標在時域和空域稀疏性的超完備字典，或者將表示目標運動特征和形態特征的超完備字典與跟蹤前檢測策略相結合，有望進一步提高紅外小弱目標檢測能力。

1 紅外小弱目標圖像的稀疏模型

紅外小弱目標圖像f由目標、背景和噪聲組成，即

式中:ft、fb和n分別表示目標信號、背景信號和噪聲信號。

根據信號表現出來的特征差異，可將圖像的每個像素點看作目標信號或者背景信號:

TBD算法通過探測目標軌跡來檢測出目標，即處理連續M幀圖像，即

式中:Ft（x，y，k）和Fb（x，y，k）分別表示連續的目標信號和背景信號。

信號稀疏表示模型假設每個信號都能由相同類型的原子及其稀疏系數進行重構。對于紅外圖像背景信號Fb（x，y，k），它可以通過背景空時原子線性表示［19］為

式中:Db表示背景過完備空時字典，；表示背景空時原子，每個空時原子都包含了M個空域背景原子；α表示背景信號在背景過完備空時字典的稀疏表示系數。

類似的，對于紅外圖像目標信號Ft（x，y，k），它可以通過目標空時原子線性表示為

式中:Dt表示目標過完備空時字典，；表示目標空時原子，每個空時原子都包含了M個空域目標原子；β表示目標信號在目標過完備空時字典的稀疏表示系數。

紅外圖像序列F（x，y，k）可以通過聯合目標過完備空時字典和背景過完備空時字典的所有原子線性稀疏表示為

式中:D=［DbDt］表示包含Dt和Db的過完備空時字典；γ=［α′Tβ′T］T為該字典的稀疏表示系數，是一個（Nt+Nb）M維的向量。如果F是目標信號，則它不能由背景過完備空時字典稀疏表示，即α應為零向量而β是一個稀疏向量；類似的，如果F是背景信號，則它不能由目標過完備空時字典稀疏表示，即α應為稀疏向量而β是一個零向量。因此，紅外圖像序列F可以被目標和背景聯合的過完備空時字典稀疏表示。

2 自適應形態過完備空時字典

構建能表征紅外目標圖像稀疏性的自適應過完備空時字典D，并對其進行分類，分為能表征目標成分的目標過完備字典Dt和能表征背景噪聲成分的背景過完備字典Db.能否從字典D有效區分目標過完備字典Dt和背景過完備字典Db則是提高目標稀疏表示性能和小弱目標檢測能力的關鍵。

2.1 自適應形態成分空時域字典

采用K均值奇異值分解（K-SVD）從大量訓練樣本中學習自適應空時過完備字典D.空時過完備字典D的訓練模型如下:

式中:‖·‖0和‖·‖2分別表示范數和范數。在殘差能量‖Dγ-F‖限制在一定條件下，圖像序列信號F可被過完備空時字典D中少量的原子及其稀疏系數g重構。構建自適應空時過完備字典是一迭代過程，每次迭代包含稀疏編碼和字典更新兩個步驟。

1）稀疏編碼:首先給定初始字典D和紅外序列圖像F，采用正交匹配追蹤算法計算序列圖像在字典中的稀疏系數g，即求解

式中:ε是限定的逼近誤差。

2）字典D更新:每次更新字典D的一列，即更新一個原子dk.原子dk逼近序列圖形F的誤差為

圖1為紅外圖像及訓練所得的過完備空時字典。圖1（a）為云層背景下的紅外圖像，圖1中方框所在中心位置為小弱目標，淹沒于云層之中；圖1（b）～圖1（d）為一個空時原子。可從圖1中看出，空時原子不僅能描述小弱目標和背景雜波的形態特性，還能描述弱目標和背景雜波的運動信息。然而，圖1（b）和圖1（c）表示運動目標，而圖1（d）則表示運動的云層背景。表示目標與背景的原子混雜在空時字典中，為信號檢測帶來困難。

2.2 過完備空時分類字典

小弱目標的形態通常為點狀或者斑狀，其在圖像序列上占有若干少量像素，且幅度較均勻，目標信號的幅度可采用點擴展函數描述。

式中:［dx（k），dy（k）］表示目標的水平和垂直寬度；amax為目標信號幅度；（x0，y0）為目標所在位置；vx和vy分別為目標在水平和垂直方向的速度。小弱運動目標形態通常表現為運動的點狀或者斑狀，因此，它可由此空時三維高斯函數表示為

式中:I（i，j，k）為在k時刻、位于坐標（x，y）處的像素值；Imax為目標中心像素值，（i0，j0）為模型的中心坐標；sx和sy分別表示水平和垂直方向的散布參數；ux和uy分別控制目標在水平和垂直方向的速度。以樣本圖像的左上角為原點，（x0，y0）為目標圖像的中心坐標，隨機生成像素值的峰值Imax，調整均方差兩個參數，得到一系列紅外小目標樣本圖像；然后，移動其中心位置到下一個像素點，重新生成新的樣本圖像，得到的每一副樣本圖像即為高斯過完備空域字典中的原子；最后，隨機生成多組不同取值的ux和uy，將高斯過完備空域字典中的原子以這些不同的速度在相應的方向上移動這些原子，構造出多個高斯過完備空域字典，這些高斯空域字典一起構成高斯過完備空時字典Dgaussian.

圖1 空時冗余字典Fig.1 Spatial-temporal redundant dictionary

由于目標通常為運動的點狀或者斑狀信號，表示目標信號的空時原子可通過少量高斯空時字典稀疏重構，相反，背景空時原子則難以通過少量高斯空時字典進行稀疏重構，或者重構后背景殘余能量大。基于這一思想，對過完備空時字典D中原子dk在高斯空時字典Dgaussian中進行稀疏分解，通過殘余能量來判斷是否為目標原子。空時原子dk在高斯過完備空時字典Dgaussian中稀疏分解表示為

式中:n為常數，比如3.

將r（dk）與閾值進行比較，判斷dk為背景空時原子還是目標空時原子。如殘余能量r（dk）大于閾值，則判斷原子dk為背景原子，相反，dk則為目標原子。

將每個空時原子進行判斷分類，分為背景過完備空時字典Db和目標過完備空時字典Dt.然而，當很大時，背景原子也能夠被高斯過完備字典稀疏表示，所以，應該被限制在合適的范圍。

3 空時稀疏表示小弱目標檢測

求解紅外圖像信號F在空時字典D=［DbDt］中的表示系數，即分別在背景空時字典Db和目標空時字典Dt中的稀疏表示系數α和β.通過迭代的貪婪算法（匹配追蹤算法）求解它在一定容許誤差σ內的逼近解:

如前所述，目標信號由目標空時域字典稀疏分解，但不能由背景空時域字典稀疏分解；因此，目標在目標字典中稀疏分解后，目標信號就可由最大的幾個稀疏表示系數所對應的目標空時原子重構，其殘余能量很小；但是，如果目標信號由相同數目的背景空時原子重構，其殘余能量卻很大。目標空時原子重構殘差為

式中:βi向量表示序列圖像信號F在目標空時字典中稀疏表示系數；m為常數，比如5.

類似地，背景信號可由背景空時字典稀疏表示，但不能由目標空時字典稀疏表示。背景信號可以由最大的幾個稀疏表示系數所對應的空時背景原子重構，其殘余能量很小；但是，如果背景信號由相同數目的目標空時原子重構，其殘余能量卻很大。背景空時原子重構殘差為

式中:αi向量代表序列圖像信號在背景空時字典的表示系數。比較圖像信號F在背景空時字典和目標空時字典上稀疏分解后的殘余能量差

如果殘余能量差大于閾值η，則判斷F為目標信號，相反，F為背景信號。

4 實驗結果與分析

圖2為目標圖像序列在空時字典分解后的稀疏系數。圖2（a）表示的背景稀疏系數存在若干非零的稀疏系數；圖2（b）表示的目標稀疏系數只存在幾個較大的分解系數，而其他原子分解系數基本為0.這表明目標圖像序列在目標過完備空時字典中的稀疏度較在背景空時字典中更稀疏。目標圖像分別通過3個最大非零系數所對應的目標空時原子和背景空時域原子重構，重構后的歸一化殘差rt（F）和rb（F）分別為0.016和0.830，可看出，目標空時域字典對該圖像是否含有目標具有很強的區分度。

圖3為背景圖像序列及其在空時字典分解后稀疏表示系數。圖3（a）表示的背景稀疏系數只有3個非零稀疏系數；圖3（b）表示的目標稀疏系數非零值很多。這表明背景圖像信號在目標空時域字典中不稀疏，而在背景空時字典中則很稀疏。背景圖像分別通過圖3（a）和圖3（b）中最大3個非零系數所對應的目標空時原子和背景空時原子重構，重構后的歸一化殘差rt（F）和rb（F）分別為0.780和0.058，由此可以檢測出圖像是否含有背景雜波。

圖2 目標在空時字典的稀疏系數Fig.2 Sparse coefficients of target image on spatial-temporal dictionary

對紅外圖像分別采用空域字典、空時字典和空時分類字典對目標進行檢測，統計不同虛警概率下目標檢測概率，即從接收機特征曲線，如圖4所示。從曲線可以看出，在虛警概率為0.1時，空時分類字典檢測概率最高大約為0.93，空時字典的檢測概率大約為0.80，空域字典的檢測概率大約為0.60.空域字典缺點在于目標信號被分解為含有目標和背景雜波的若干原子中，能量分散太廣泛。小弱目標可在目標空時字典中稀疏表示，但不能由背景字典稀疏表示；背景信號由背景字典稀疏表示，但不能由目標字典稀疏表示，且目標稀疏分解系數與背景稀疏分解系數的差異很大，比空時字典更易從雜波信號中檢測出目標。

采用檢測概率和虛警概率兩個評價指標對幀差法、背景減法、光流法和本文算法的評估結果如表1所示。可以看出本文算法能夠高概率的檢測出目標，同時保持較低的虛警率，性能明顯優于其他3種檢測算法，但是本文算法的檢測時間相對較長，可以考慮采用更加快速的算法進行求解。

圖3 背景圖像在空時字典的稀疏系數Fig.3 Sparse coefficients of background on spatial-temporal redundant dictionary

圖4 稀疏表示檢測目標概率Fig.4 Target detection probability

表1 4種算法性能對比Tab.1 Performance comparison of four algorithms

5 結論

本文提出了一種基于過完備空時稀疏表示的小弱目標檢測方法，能描述出小弱目標和背景雜波的運動特征和形態信息，減小檢測的不確定性。通過對空時字典進行分類，小弱運動目標和背景雜波可分別在目標空時字典和背景空時字典中稀疏表示，卻難以在相反的空時字典中稀疏表示，增強了目標與背景的稀疏特征差異，提高小運動目標的探測能力。

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Dim Moving Target Detection Algorithm Based on Spatial-temporal Sparse Representation

LI Zheng-zhou1，HOU Qian1，DAI Zhen1，FU Hong-xia1，GE Feng-zeng1，JIN Gang2
（1.College of Communication Engineering，Chongqing University，Chongqing 400044，China；2.China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang 621000，Sichuan，China）

A dim moving target detection algorithm based on over-complete spatial-temporal dictionary and sparse representation is proposed.A spatial-temporal adaptive morphological over-complete dictionary is trained and constructed according to infrared image sequence.It can represent the motion information and morphological feature of target and background clutter.The spatial-temporal morphological over-complete dictionary is subdivided into two categories:target over-complete spatial-temporal dictionary for describing moving target，and background over-complete spatial-temporal dictionary for embedding background.The criteria adopted to distinguish the target spatial-temporal redundant dictionary from the background spatial-temporal redundant dictionary is that the atom in target over-complete spatial-temporal dictionary could be decomposed more sparsely over Gaussian over-complete spatial-temporal dictionary.Subsequently，the image sequence is decomposed on the target and background over-complete spatial-temporal dictionaries，respectively.The dim moving target and background clutter can be sparsely decomposed on their corresponding over-complete spatial-temporal dictionary，yet it couldn't be sparsely decomposedon their background over-complete spatial-temporal dictionary.Therefore，the target and background clutter would be reconstructed effectively by prescribed number of atoms with maximum sparse coefficients in their corresponding over-complete spatial-temporal dictionary，and their residuals would differ so visibly to distinguish target from background clutter.The results show that the proposed approach not only could improve the sparsity more efficiently for dim target image sequence，but also could improve the performance of small target detection.

information processing technology；dim target detection；spatial-temporal redundant dictionary；target spatial-temporal redundant dictionary；background spatial-temporal redundant dictionary；signal sparse reconstruction

TP391.4

A

1000-1093（2015）07-1273-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.016

2014-11-14

國家自然科學基金項目（61071191）；中國科學院光束控制重點實驗室基金項目（2014LBC005）；中國博士后基金項目（2014M550455）；重慶博士后科研項目特別基金項目（XM201489）；中央高校基本科研業務費專項資金項目（106112013CDJZR160007、106112014CDJZR165502）；2013年重慶高校創新團隊建設計劃項目（KJTD201331）

李正周（1974—），男，教授，博士生導師。E-mail:lizhengzhou@cqu.edu.cn