基于非線性輸出頻率響應函數的多裂紋轉子故障診斷方法研究

李志農，杜宜光，肖堯先

（南昌航空大學航空制造工程學院，江西南昌330063）

基于非線性輸出頻率響應函數的多裂紋轉子故障診斷方法研究

李志農，杜宜光，肖堯先

（南昌航空大學航空制造工程學院，江西南昌330063）

相對單條轉子裂紋的故障診斷，多條裂紋的故障診斷更復雜，也更困難。以兩條裂紋為例，將非線性輸出頻率響應函數（NOFRF）引入到具有兩條裂紋轉子系統的故障診斷中，提出了一種基于NOFRF的多裂紋轉子故障診斷新方法，并且對比分析了兩條裂紋不同夾角、不同裂紋深度下NOFRF值的變化情況。實驗結果表明，NOFRF值對裂紋故障具有很高的敏感性，根據NOFRF值的變化情況，不僅能反映轉子系統裂紋是否存在，還能反映兩條裂紋之間的夾角、裂紋深度的變化情況。因此，利用NOFRF值，可以有效地監測轉子系統中多條裂紋故障。

動力機械工程；非線性輸出頻率響應函數；裂紋轉子；故障診斷；裂紋夾角；裂紋深度

0 引言

在與轉子有關的各種故障中，裂紋故障具有難于發現、診斷困難，后果嚴重的故障特征。20世紀70年代據加利福尼亞電力研究所統計［1］，透平發電機組發生的23起故障中，有8起是低壓轉子軸和發電機軸橫向裂紋引起，占故障總數的35%.同時，國內時常也有轉子裂紋事件的報道，姚孟電廠在維修時發現了一部電機的主軸上有3條裂紋，其中最深的一條裂紋深度竟達到直徑的2/3.渦噴六發動機在使用的過程中，也曾多次發生渦輪軸近盤根部處產生裂紋以至折斷的嚴重事故。因而，能否及時發現裂紋故障，對防止發生災難性轉子斷裂事故，減少非計劃停機及提高經濟效益具有重大意義。目前，針對具有單條裂紋故障診斷的研究取得了很大進展［1-6］。相比單裂紋故障，產生多裂紋故障的轉子系統非線性特性更強，危險性更大，后果也將更為嚴重。因此，對于轉子系統上多裂紋故障的診斷也越來越被重視。印度學者Darpe等［7］采用集中質量法建立轉子模型，研究了含雙呼吸型裂紋轉子的動力學特性。于濤等［8］從斷裂力學理論出發，討論了雙裂紋轉子系統非線性動力學特性，為多裂紋轉子系統故障識別提供了理論依據。文獻［9］采用較為簡單的余弦型裂紋呼吸模型，利用有限元方法，分析了含兩條裂紋的轉子系統動力學特性。Chasalevris［10］建立了轉子裂紋的柔度矩陣，利用小波分析的方法，研究了彎矩作用下梁上雙直裂紋的檢測方法。

以上裂紋故障的檢測方法根據對系統輸入輸出信號處理方式的不同，可以分為兩大類:一類是利用傳感器獲得的信號來分析，另一類是考慮系統模型來診斷。二者的區別在于前者只考慮了系統的輸出信號，而后者不僅考慮了系統的輸出信號，而且還考慮了系統的激勵。很顯然，前者只對輸入穩定的系統才有效。后者克服了前者存在的不足，因為輸出信號的變化有可能是系統的激勵引起，而系統的固有特性并沒有改變，這時僅根據輸出信號的變化來診斷勢必會造成誤判。

故此，基于非線性模型的故障診斷方法得到很快發展。其中，英國Shiefld大學Lang等［11-14］從Volterra級數出發，提出了非線性輸出頻率響應函數（NOFRF）的概念，并推導出NOFRF的辨識方法。該方法不僅能清晰準確地反映出系統輸出頻譜與非線性參數之間的關系，而且各階次的函數都是一維的，從而可方便地用圖表分析來解釋。Peng等［15-18］在NOFRF理論也做了一些有意義的探索，并將NOFRF的概念應用于振動信號分析和結構的裂紋故障檢測中。李志農博士領導的課題組利用NOFRF方法對轉子裂紋故障進行了有效地辨識，得出了轉子上含有橫向裂紋、斜裂紋的NOFRF特

性［19-20］。

然而，現有的基于NOFRF的轉子裂紋故障診斷方法主要是針對轉軸上具有單條裂紋展開的，對于采用NOFRF對轉子上具有多條裂紋的轉子系統特性研究少有涉及。基于此，本文引入NOFRF理論并對轉子系統上含有兩條橫向裂紋展開辨識，提出了基于NOFRF的兩條裂紋轉子系統的故障診斷方法。通過實驗研究，分析了不同裂紋夾角、不同裂紋深度時轉子系統各階NOFRF值的變化特征，為具有多條裂紋的轉子系統故障診斷提供了一種新的有效方法。

1 非線性輸出頻率響應函數理論及其辨識算法

NOFRF是在Volterra級數模型的基礎上提出來的，可用于研究一大類的非線性系統的動態特征。假設u（t）和y（t）分別為非線性系統的輸入和輸出，則該系統的Volterra級數模型可以表示為

式中:hn（τ1，…，τn）為非線性系統的第n階Volterra核，n=1，2，……，N；t為時間；τ為時延。相應地，非線性系統的輸出在頻域內的表達式為

式中:Yn（jω）表示第n階非線性系統的輸出頻率響應；Y（jω）是該系統輸出y（t）的傅里葉變換；U（jω）是該系統輸入u（t）的傅里葉變換；Hn（jω1，…，jωn）表示非線性系統的第n階廣義頻率響應函數。

對照傳統的線性系統輸出頻率響應函數，如圖1所示，發現（5）式所描述的NOFRF表達形式和線性系統的輸出頻率響應函數相似，NOFRF是線性系統輸出頻率響應函數Y（jω）=G1（jω）U（jω）的自然延拓。類似地，（5）式所描述的非線性系統輸入輸出頻譜關系可以用圖2來描述。

圖1 線性輸入輸出頻率響應關系Fig.1 The frequency response between output and input of a linear system

圖2 非線性系統輸入輸出頻率響應關系Fig.2 The frequency response between output and input of a nonlinear system

NOFRF可用于反映系統的振動特性，與廣義頻率響應函數（GERF）相比，其各階核值也可由采集的輸入輸出信號確定，但是，NOFRF有一個更加重要的特征，即其各階次的函數都是一維的，可以較容易地根據系統的輸入、輸出信號估計得到，避免產生維數災難。

由（5）式可知，非線性系統的輸入輸出函數關系可改寫成

式中:G（jω）=［G1（jω），…，GN（jω）］T.令u（t）= αu*（t），α為一個不為0的常數，u*（t）為非線性系統的輸入信號，則

式中:U*（jω）是u*（t）的傅里葉變換，且

因此，（7）式還可進一步改寫為

在轉子動力學測試中，一般采用諧波輸入。所謂諧波輸入是指輸入信號為正余弦輸入信號。當系統在受到諧波信號輸入時，即

式中:ωF為諧波輸入信號頻率。根據文獻［18］，（2）式還可以改寫為

式中:

為了方便起見，定義系統的n階輸出頻率分量為Ωn，則根據（11）式系統的輸出頻率分量可以表示為

式中:Ωn由頻率集合｛ω｝確定，即

式中:當所有的ωk1，…，ωkn均為-ωF時，則ω= -nωF；當其中有k個為ωF時，ω=（-n+2k）ωF.因此輸出Yn（jω）的頻率成分為

則（13）式進一步改寫為

（16）式很好地解釋了非線性系統僅有諧波激勵時可以激發出多次諧波的原因。

因此，非線性系統的輸出頻譜Y（jω）為

在采用NOFRF分析轉子系統的故障特性時，由于4倍頻以上的頻率成分幅值很小，可以忽略不計，而且階數越高，系統辨識的計算量也越大。通常只考慮到前4階頻率輸出即可。因此，由（17）式，并考慮（18）式，可以得到如下4個式子:

分析（19）式～（22）式可以發現，采用兩個頻率相同但幅值不同的諧波激勵信號去激勵系統，便可以求出系統各階NOFRF值。例如，采用兩個幅值分別為U（1）、U（2）的正弦波信號激勵系統，對應系統的輸入頻譜為A（1）q（jωF）、A（2）q（jωF），q=1，2，3，4.相應的輸出頻譜為Y（1）（jωF）和Y（2）（jωF）.根據（19）式得

即

同理，轉子系統其他各階NOFRF值均可通過（19）式～（22）式的變換求得。

2 實驗研究

圖3所示為轉子實驗臺示意圖，轉子上兩裂紋分別為橫向裂紋且緊鄰中間轉盤左右兩側，通過安裝在支承座上的電渦流傳感器采集裂紋轉子的振動位移信號。取10根相同屬性的轉軸用于實驗研究，其中1根轉軸不作處理用于比較，另外9根轉軸采用線切割技術加工得到不同的裂紋軸。根據加工裂紋的深度把這些裂紋軸分成3組。第1組兩裂紋相對深度比均為a/R=0.2，兩條橫向裂紋在其轉軸左端面上投影的裂紋夾角γ分別為0°、45°、90°.第2組左側裂紋相對深度比為a1/R=1.0，右側裂紋相對深度比為a2/R=0.2，投影面上的裂紋夾角γ分別為0°、45°、90°.第3組裂紋相對深度比均為a/R=1.0，裂紋夾角γ分別為0°、45°、90°.所有裂紋軸都具有相同的幾何尺寸和材料屬性，即裂紋軸的長度L=260 mm，裂紋軸直徑為d=9.5 mm，彈性模量E=210 GPa，泊松比ν=0.3，阻尼系數c= 41.65 kg/s，轉盤尺寸φ76 mm×25 mm，轉盤質量m=0.595 kg，轉盤的不平衡偏心距e=0.16 mm，無裂紋時轉子系統橫向振動固有頻率為98.8 Hz.由于轉子上裂紋的存在，其固有頻率會發生變化，但變化相對較小，且裂紋轉子在1/2固有頻率處的振動特性比較明顯，所以在實驗研究中設定裂紋轉子轉速n=3 000 r/min.對該非線性轉子系統橫向方向上的輸入輸出進行同步采樣，采樣時每周采樣64個點，采樣8個周期。

圖3 轉子實驗臺示意Fig.3 Schematic diagram of rotor test bench

首先，從轉子系統輸出頻譜上對該非線性系統進行分析。圖4所示為該實驗臺采集得到的無裂紋轉子系統輸出頻譜圖。從圖中可知，無裂紋轉子正常工作下的輸出頻譜是典型的基頻振動，其他頻率成分非常微弱，可以忽略不計。

圖5所示為當兩條裂紋均為淺裂紋，即兩裂紋相對深度比a1/R=a2/R=0.2時，裂紋轉子系統輸出頻譜圖。從圖中可以清晰地發現，兩條裂紋在不同裂紋夾角下系統的輸出頻譜會呈現有規律的變化，即隨著兩條裂紋夾角逐漸增大，1倍頻幅值無明顯變化，2倍頻變化明顯且其幅值隨著裂紋夾角的增加而減小；當兩條裂紋夾角γ為0°和45°時，會有微弱的3倍頻出現，當兩條裂紋夾角γ=90°時，反復實驗均可發現此時系統輸出頻譜中2倍頻、3倍頻分量幅值不再突出，單獨就該裂紋夾角下的頻譜圖而言，得到的輸出頻譜特性和無裂紋軸的輸出頻譜特性非常類似，這時，僅從頻譜圖中無法準確地推斷轉子系統上是否有裂紋存在。

圖4 無裂紋軸系統輸出頻譜Fig.4 The output spectrum（normal rotor）

圖5 a1/R=a2/R=0.2時系統輸出頻譜Fig.5 The output spectrum for a1/R=a2/R=0.2

圖6 a1/R=1.0和a2/R=0.2時系統輸出頻譜Fig.6 The output spectrum for a1/R=1.0 and a2/R=0.2

圖6所示為左側裂紋相對深度比a1/R=1.0，右側裂紋相對深度比a2/R=0.2下，具有兩條裂紋的轉子系統輸出頻譜圖。比較圖5和圖6可以發現，增加左側裂紋深度使其由淺裂紋變為深裂紋后，系統輸出頻譜中1倍頻、2倍頻仍舊明顯，同時伴有3倍頻，4倍頻等多倍頻分量的出現，且當兩裂紋夾角較小時多倍頻分量非常明顯。因此，增加轉子系統上裂紋深度，系統輸出頻譜中各倍頻分量幅值增加并伴有更多倍頻成分出現，系統表現出更強的非線性特性。觀察圖6中不同裂紋夾角下系統輸出頻譜圖，可以發現與圖5具有相似的變化規律，即隨著兩條裂紋夾角逐漸增大，基頻幅值變化微弱，2倍頻、3倍頻、4倍頻等多倍頻分量幅值會隨著兩裂紋夾角的增大而不斷減小，且2倍頻分量幅值變化最為顯著。當γ=90°時，多倍頻分量雖然存在但并不明顯。

圖7所示為兩裂紋相對深度比都為1.0，即a1/R=a2/R=1.0下，具有兩條裂紋的轉子系統的輸出頻譜圖。該圖再次驗證了圖6得到的結論，即當兩裂紋較深時，系統輸出頻譜中1倍頻、2倍頻仍舊明顯，同時會伴有3倍頻、4倍頻等多倍頻的出現，系統輸出頻譜中各倍頻分量幅值也會增加，系統表現出更強的非線性特性。不同的是，當兩裂紋深度均較深時，輸出頻譜中3倍頻非常明顯且其幅值遠大于較為明顯的4倍頻分量幅值。同時，隨著兩條裂紋夾角逐漸增大，2倍頻、3倍頻、4倍頻等多倍頻分量幅值仍舊隨著兩裂紋夾角的增大而不斷減小，在該變化過程中，2倍頻分量幅值變化最為顯著。

圖7 a1/R=a2/R=1.0時系統輸出頻Fig.7 The output spectrum for a1/R=a2/R=1.0

整體來看，該轉子系統輸出頻譜中2倍頻、3倍頻、4倍頻等多倍頻分量幅值的變化可有效反應轉子系統上兩裂紋夾角的變化情況，且2倍頻分量幅值的變化最為顯著。同時，隨著裂紋深度的增加，系統輸出頻譜圖上會有更多的倍頻分量出現且較為明顯，系統表現出更強的非線性特性。

然后，再從各階非線性輸出頻率響應函數特性上對該非線性系統進行分析，利用（19）式～（22）式得到的不同裂紋深度、不同裂紋夾角的裂紋軸的各階NOFRF值如表1～表3所示，表中所有的數據都進行了處理，即用得到的各階NOFRF值均除以G1（jωF）得到不大于1的數。對于無裂紋轉軸，經過理論推導，其應該只有G1（jωF）值不為0，其他各階NOFRF值均為0.而通過該方法的辨識，得到的輸出頻率響應函數中其他各階NOFRF值結果并不為0，這主要是由隨機信號的干擾和計算誤差所致。然而，與相比較，其他各階NOFRF值都非常小，幾乎可以忽略不計。因此，對于無裂紋轉軸，值可以完全反映了系統的本質傳遞特性。

表1 a/R=0.2時不同裂紋夾角下辨識系統的NOFRF值Tab.1 NOFRF values（a/R=0.2）

表2 a1/R=1.0和a2/R=0.2時不同裂紋夾角下辨識系統的NOFRF值Tab.2 NOFRF values（a1/R=1.0，a2/R=0.2）

表3 a/R=1.0時不同裂紋夾角下辨識系統的NOFRF值Tab.3 NOFRF values（a/R=1.0）

對于表1中，當兩裂紋均為淺裂紋，裂紋夾角γ=90°時，與無裂紋軸相比較，除以外的其他NOFRF值均遠大于無裂紋軸的NOFRF值，這些NOFRF值的大小反映了監測系統的非線性特性，而在轉子上存在淺裂紋時的頻譜圖中是反映不出來的，顯示了該方法的獨特優勢。因此，該方法有效地解決了當轉子上存在淺裂紋時，采用研究該系統輸出頻譜特性的方法對裂紋夾角γ=90°時的裂紋故障無法檢測的問題。

3 結論

相對單條轉子裂紋的故障診斷，多條裂紋的故障診斷更復雜，也更困難。基于NOFRF的獨特特性，即該理論不僅能清晰準確地反映出系統輸出頻譜與非線性參數之間的關系，而且各階次的函數都是一維的。基于此，本文將非線性輸出頻率響應函數理論引入到具有兩條裂紋的轉子系統的故障診斷中，利用該方法對比分析了兩條裂紋不同夾角、不同的裂紋深度下的各階NOFRF值的變化，并得到了一些非常有價值的結論，具有重要的理論價值和工程應用價值。

1）當轉子系統上有淺裂紋存在時，若采用傳統的頻譜圖分析方法對轉子裂紋故障的存在無法辨識時，可以利用NOFRF對裂紋故障的敏感性有效地克服其不足，實現轉子裂紋故障的有效檢測。2）在無裂紋的轉子系統正常運行狀態下，值可以完全反映系統的本質傳遞特性，其他各階核值與G1（jωF）相比較，幾乎可以忽略不計，一旦裂紋出現，各階NOFRF值急劇增大。3）NOFRF值不僅能反映轉子系統裂紋的存在，而且能反映兩條裂紋之間的夾角、裂紋深度的變化情況。NOFRF值中的變化情況對兩條裂紋的夾角非常敏感，尤其G2（j2ωF）隨著兩裂紋夾角的增大而大幅減小；NOFRF值中的變化情況可用于判定裂紋轉子系統中兩條裂紋深度的變化情況，即隨著裂紋深度的增加，逐漸變大。

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［1］Armor A F.On-line monitoring of turbine-generator shaft cracking，83-JPGC-Pwr-7［R］.US:ASME，1983.

［2］向家偉，陳雪峰，何正嘉，等.基于小波有限元和遺傳優化算法的轉軸裂紋診斷［J］.機械強度，2008，30（5）:702-706. XIANG Jia-wei，CHEN Xue-feng，HE Zheng-jia，et al.Crack diagnosis for the shaft based on wavelet finite element method and genetic algorithm［J］.Journal of Mechanical Strength，2008，30（5）:702-706.（in Chinese）

［3］Yu Z G，Chu F L.Identification of crack in functionally graded material beams using the p-version of finite element method［J］. Journal of Sound and Vibration，2009，325（1/2）:69-84.

［4］謝平，杜義浩.基于信息熵的裂紋轉子動力特征分析與診斷方法［J］.機械工程學報，2009，45（1）:195-199. XIE Ping，DU Yi-hao.Crack rotor dynamic feature analysis and diagnosis method based on information entropy［J］.Journal of Mechanical Engineering，2009，45（1）:195-199.（in Chinese）

［5］陳雪峰，向家偉，董洪波，等.基于區間B樣條小波有限元的轉子裂紋定量識別［J］.機械工程學報，2007，43（3）:123-127. CHEN Xue-feng，XIANG Jia-wei，DONG Hong-bo.et al.Quanti-tative identification of rotor cracks based on finite element of B-spline wavelet on the interval［J］.Journal of Mechanical Engineering，2007，43（3）:123-127.（in Chinese）

［6］Li X J，Wang K，Jiang L P，et al.The application of a signal in early cracked rotor fault diagnosis with pwvd and svm［J］.Journal of Software，2011，6（10）:1969-1976.

［7］Darpe A K，Gupta K，Chawla A.Dynamics o f a twocrack rotor［J］. Journal of Sound and Vibration，2003，259（3）:649-675.

［8］于濤，孫偉，韓清凱.雙裂紋轉子系統非線性動力學特性研究［J］.振動與沖擊，2013，32（19）:144-152. YU Tao，SUN Wei，HAN Qing-kai.Nonlinear dynamic behavior of a dual-crack rotor system［J］.Journal of Sound and Vibration，2013，32（19）:144-152.（in Chinese）

［9］溫詩鑄，郭丹.具有兩條裂紋的轉子系統的振動研究［J］.機械強度，2005，27（2）:135-139. WEN Shi-zhu，GUO Dan.Vibration analysis of a rotor with two cracks［J］.Journal of Mechanical Strength，2005，27（2）:135-139.（in Chinese）

［10］Chasalevris A C.Identification of multiple cracks in beams under bending［J］.Mechanical System and Signal Processing，2006，20（7）:1631-1673.

［11］Lang Z Q，Billings S A，Yue R，et al.Output frequency response function of nonlinear volterra systems［J］.Automatica，2007，43（5）:805-816.

［12］Lang Z Q，Billings S A.Energy transfer properties of nonlinear systems in the frequency domain［J］.Journal of Sound and Vibration，2005，78（5），354-362.

［13］Lang Z Q，Peng Z K.A novel approach for nonlinearity detection in vibrating systems［J］.Journal of Sound and Vibration，2008，314（3/4/5）:603-615.

［14］Lang Z Q，Billings S A，Tomlinson G R，et al.Analytical description of the effects of system nonlinearities on output frequency responses:a case study［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，295（3/4/5）:584-601.

［15］Peng Z K，Lang Z Q.The nonlinear output frequency response functions of one-dimensional chain type structures［J］.Journal of Applied Mechanics，2010，77（1）:11-27.

［16］Peng Z K，Lang Z Q，Billings S A，et al.Analysis of locally nonlinear MDOF systems using nonlinear output frequency response functions［J］.Journal of Vibration and Acoustics，2009，131（5）:51-63.

［17］Peng Z K，Lang Z Q，Billings S A，et al.Crack detection using nonlinear output frequency response functions［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，301（3/4/5）:777-788.

［18］Peng Z K，Lang Z Q，Billings S A，etc.Analysis of bilinear oscillators under harmonic loading using nonlinear output frequency response functions［J］.International Journal of Mechanical Sciences，2007，49（11）:1213-1225.

［19］員險鋒，李志農，林言麗，等.基于非線性輸出頻率響應函數的裂紋故障診斷方法研究［J］.機械強度，2013，35（2）: 133-137. YUAN Xian-feng，LI Zhi-nong，LIN Yan-li，et al.Rotor crack fault diagnosis method based on nonlinear output frequency response function［J］.Journal of Mechanical Strength，2013，35（2）:133-137.（in Chinese）

［20］員險鋒.基于非線性輸出頻率響應函數的轉子裂紋故障診斷方法研究［D］.鄭州:鄭州大學，2011. YUAN Xian-feng.Crack rotor fault diagnosis method based on nonlinear output frequency response function［D］.Zhengzhou: Zhengzhou University，2011.（in Chinese）

Fault Diagnosis Method of Rotor System with Multi-crack Based on Nonlinear Output Frequency Response Function

LI Zhi-nong，DU Yi-guang，XIAO Yao-xian
（School of Aeronautical Manufacturing Engineering，Nanchang Hangkong University，Nanchang 330063，Jiangxi，China）

The fault diagnosis of rotor system with multi-crack is more complex and more difficult than the fault diagnosis of rotor system with single crack.The nonlinear output frequency response function（NOFRF）is introduced to fault diagnosis of rotor system with two cracks，and a fault diagnosis method of rotor system with two cracks based on the NOFRF is proposed.The NOFRF values of two cracks with different crack angles and crack depths are compared.The experimental results show that the NOFRF values are very sensitive to different crack angles and different crack depths，and the existence of rotor crack fault and the variation of crack angle and crack depth can be reflected by the NOFRF values.Therefore，the sensitivity of the NOFRF values to the crack fault can be effectively used for the detection of a rotor system with multi-cracks.

power machinery engineering；nonlinear output frequency response function；cracked rotor；fault diagnosis；crack angle；crack depth

O347.6；TH165.3

A

1000-1093（2015）06-1096-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.06.019

2014-09-09

國家自然科學基金項目（51265039、51075372、50775208）

李志農（1966—），男，教授。E-mail:lizhinong@tsinghua.org.cn