基于GPC和DOB的直驅XY平臺魯棒跟蹤控制

趙希梅 趙久威 李洪誼

（1. 沈陽工業大學電氣工程學院 沈陽 110870 2. 中國科學院沈陽自動化研究所 沈陽 110016）

1 引言

近些年來，高精度定位技術在數控加工領域得到了飛速發展，特別是以XY精密平臺為代表的平面定位系統，是數控加工設備的重要組成部分，廣泛應用于工業制造業[1]。由于現代工業對位置定位系統的定位精度要求越來越高，其定位精度已從過去的毫米級提升到微米級。因此，隨著定位精度要求的提高，位置定位系統的設計與實現也越來越困難[2]。

為了保證XY平臺的伺服性能，一方面，要保證系統有快速精確的跟蹤能力，另一方面，要對未知的擾動信號有較強的魯棒性[3]。目前廣泛應用的PID控制器很難滿足其需要，提出了許多現代控制算法，如魯棒控制，預測控制，模糊神經網絡，滑模變結構控制等[4]。

GPC是20世紀80年代提出的一種現代控制算法，與其預測控制相比，該算法基于參數模型，模型參數少[5]。GPC是在自適應控制中發展起來的，它保留了自適應控制的一些優點。在具體實現上，采用多步預測、滾動優化和反饋校正策略，系統具有很好的跟蹤性能，適合工業生產過程控制[6,7]。在具體實現上，廣義預測控制方法多應用慣性大的機械運動控制系統。本文采用GPC作為直驅XY平臺伺服系統的前饋控制器來提高系統的跟蹤能力，對于XY雙軸之間存在的系統參數不確定性以及各種非線性擾動，采用DOB進行抑制。DOB的設計思想是，將外部力矩干擾及模型參數變化造成的實際對象與參考模型輸出差異等效到控制的輸入端，即觀測出等效干擾。在控制中引入等效的干擾補償，實現對干擾的抑制。

2XY平臺伺服系統輪廓誤差分析

直驅XY平臺是由兩臺進給方向相互垂直的直線永磁同步電機驅動組成，通過對兩臺電機的控制來完成平面位置定位，XY平臺輪廓誤差示意圖如圖1所示。

圖1XY平臺輪廓誤差示意圖Fig.1 Schematic diagram of theXY table contour error

圖1中的圓弧為系統的參考軌跡，P為被控系統的實際位置，Pref為其參考位置，由于系統在雙軸上都會有慣性延遲效應，因此會產生跟蹤誤差，圖中P到Pref的距離e就定義為系統的跟蹤誤差，主要指動態誤差，其中ex為其在X軸方向的分量，ey為其在Y軸的分量。

另外，擾動與XY雙軸間的耦合，也是造成XY平臺位置誤差的主要因素，其體現為系統的輪廓誤差，也就是系統的位置誤差，如圖中PP'所示，為了便于計算，可以用P來等效為輪廓誤差，用字母ε表示，其中εx為其在X軸上的誤差分量，εy為其在Y軸的誤差分量。

因此，減小XY平臺位置誤差的方法有兩種，一種是通過減小跟蹤誤差來間接地減小輪廓誤差，另外一種是通過抑制擾動和解耦直接減小輪廓誤差。本文所采用的GPC是通過提高系統的響應速度來減小跟蹤誤差，同時用 DOB抑制系統的外部擾動等不確定性因素的影響。

3XY平臺伺服系統設計

基于GPC和DOB的XY平臺系統控制框圖如圖2所示。GPC要在離散條件下設計，因此，需要將直線電機模型和擾動觀測器進行離散化處理，圖中yr(k)為參考輸入值，H、F、pT和Δ為GPC的參數，u(k)為 GPC的輸出。P(z-1)為被控對象的離散形式，Pn(z-1)為DOB中被控對象的參考模型，Q(z-1)為低通濾波器，ξ(k)為系統外部擾動，y(k)為系統輸出。

圖2 基于GPC和DOB的XY平臺系統控制框圖Fig.2 Block diagram ofXY table control system based on GPC and DOB

3.1 GPC設計

由于系統存在著輸出滯后的問題，為了提高系統跟蹤響應速度，采用GPC來設計前饋控制器。由于GPC對模型要求低，同時克服了傳統自適應中極點配置對階數不確定性敏感以及最小方差需要試湊控制量加權系數的缺點。其主要步驟包括：預測模型建立、滾動優化、反饋校正。

預測模型是描述系統動態行為的基礎模型，在GPC中采用的是受控自回歸積分滑動平均模型（CARIMA）。由于 CARIMA模型是離散的形式，因此，首先要將被控系統進行離散化得

CARIMA模型可以表示為

式中，u(k)和y(k)表示被控對象的輸入和輸出；ξ(k)表示隨機變量；Δ表示差分算子，其值為Δ=1-z-1，并且有

于是根據單軸直線電機的傳遞函數有：A=1+a1z-1+a2z-2、B=b0+b1z-1，為簡化運算，取C=1。

由于直線電機伺服系統輸入是可知的，所以為了使輸出y(k)平穩到達設定值yr(k)，選擇一階濾波器

設計GPC的目的就是要使系統的輸出值y(k+j)更靠近yr(k+j)。

目標函數的選擇如下：

式中n——最大預測長度；

m——控制長度；

λ(j)——加權系數。

在選擇這些參數時，既要保證系統有效，又要使其便于運算，當最大預測長度、控制長度和加權系數確定后，要使用丟番圖（dioaphantine）方程來預測超前j步的輸出為

式中

根據式（2）、式（5）和式（6）得

將其改寫成向量形式為

定義

則目標函數可以重新表示為

將式（8）代入式（9）后，計算J的最小值，即?J?Δu=0 ，得

GPC的控制率可寫為

式中，pT為 (GTG+λI)-1GT的第一行。

在GPC中，雖然沒有直接給出反饋或閉環，但每一步，都要檢測實際輸出并與預測值比較，以便修正預測的不確定性。當系統存在非線性、時變、擾動時，這種反饋能及時修正預測值，這樣就降低了對基礎模型的要求。本文選擇n=m=2，設置加權系數λ(j)=0.001，則 GPC控制系統結構框圖如圖 3所示。

圖3 GPC控制系統結構圖Fig.3 The structure diagram of GPC control system

3.2 DOB設計

XY平臺在運行過程中，兩軸間會互相影響，同時系統也會受到其它未知擾動，這里采用 DOB加以消除或削弱。DOB的基本思想是將外部干擾和參數變化等所產生的實際對象與參考模型的輸出之間的差異等效到輸入端，即觀測出等效干擾，在控制中加入等效干擾補償，實現對誤差的抑制[8,9]。DOB原理框圖如圖4所示。

圖4 DOB原理框圖Fig.4 The principle diagram of DOB

P(s)為被控對象的傳遞函數，Pn(s)為其參考模型，d為等效干擾，為觀測出的干擾，y為控制器輸出，u為被控系統的輸入，Q(s)為一低通濾波器。從圖中可以看出，在通入低通濾波器之前的值為

然而在系統實際運行中還存在一些問題，被控系統的精確模型無法得到，參考模型不能與系統模型完全一致；測量噪聲也會影響 DOB的性能。由于存在這些問題，需要在 DOB中引入一個低通濾波器Q(s)是非常重要的，Q(s)的性能好壞直接決定著DOB的動態性能。當其階數越高、帶寬越寬時，DOB的響應速度越快，抑制擾動的能力越強，但是對擾動的靈敏度會降低，因此，要保證Q(s)的階數要不小于Pn(s)的階數。由于被控對象為二階系統，因此Q(s)采用三階進行設計。其表示如下：

帶寬要在魯棒性和抗擾動能力之間尋求折中，根據經驗取τ=0.000 1。

4 系統仿真與實驗結果分析

本實驗采用的是北京慧摩森科技公司生產的LM22-26系列直驅XY平臺，控制系統采用兩套Elmo數字驅動控制器、深圳固高公司的 GE-200-SG-PIC-G型兩軸高性能運動控制卡、MII1600光柵編碼器。XY平臺實驗結構圖如圖5所示。

圖5 實驗結構圖Fig.5 Experimental structure diagram

為驗證所提出方案的有效性，將所提出的方法同PID控制相比較，對XY平臺的雙軸分別輸入幅值為 1頻率為π的正弦和余弦信號，將預測魯棒控制系統進行仿真實驗，GPC中取λ=0.001，DOB中取τ=0.000 1，PID選擇Kp=200、KI=0.3。通過對X軸和Y軸進行仿真與實驗，得到基于PID控制的系統跟蹤誤差曲線如圖 6和圖 7所示，基于 GPC和DOB的系統跟蹤誤差曲線如圖8和圖9所示。從圖中可以看出，基于GPC和DOB控制的系統的位置誤差非常小，具有更好的控制效果，表明系統具有良好的跟蹤性能和魯棒性能。

圖6 基于PID控制的X軸位置跟蹤誤差曲線Fig.6 Position tracking error curve ofX axis based on PID control

圖7 基于PID控制的Y軸位置跟蹤誤差曲線Fig.7 Position tracking error curve ofY axis based on PID control

圖8 基于GPC和DOB控制的X軸位置跟蹤誤差曲線Fig.8 Position tracking error curve ofX axis based on GPC and DOB control

圖9 基于GPC和DOB控制的Y軸位置跟蹤誤差曲線Fig.9 Position tracking error curve ofY axis based on GPC and DOB control

5 結論

針對直驅XY平臺伺服系統采用 GPC和 DOB相結合的控制方案，GPC通過模型建立，滾動優化，反饋校正，來提高系統的響應速度，同時加入DOB提高系統魯棒性并將XY軸之間的耦合視為擾動進行補償，通過GPC和DOB的結合，提高了XY平臺的位置定位精度。仿真實驗結果表明，該方法對提高控制系統的控制精度具有良好效果。

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