大型潛水電機混合偏心時轉子副臨界振動的研究

鮑曉華 李福英 方 勇 王漢豐 程志恒 狄 沖 梁 娜

（合肥工業大學電氣與自動化工程學院 合肥 230009）

1 引言

大型潛水電機主要用于大型礦山排水、城市污水處理系統以及搶險救災、地表灌溉等場合。隨著潛水電機制造業的發展，潛水電機的需求數量不斷增長，在潛水電機的設計和制造過程中，由于材質的不均勻性，或是機械加工和裝配上的誤差，使得定轉子存在一定的偏心。大型潛水電機常年工作于深水之下，其特殊的工作環境對轉子振動提出新的挑戰，又由于其檢修工作的困難，這要求潛水電機擁有極高的運行穩定性。正確計算和預測故障下的轉子振動狀態，不僅可以優化電機設計，還為今后電機安全高速運行奠定了堅實的理論基礎。N. M.Elkasabgy等學者指出，80%定轉子偏心源于機械裝配，而60%的機械故障源于偏心[1-3]。因此偏心下電機性能參數研究是必要的。

根據偏心幾何的特征，氣隙偏心可以分為軸向均勻偏心和軸向不均勻偏心兩種基本類型。其中，軸向均勻偏心又可分為靜態偏心（SE）、動態偏心（DE）以及混合偏心（ME）[4,5]，軸向不均勻偏心即斜偏心（IE）[6]。靜偏心指定轉子不同心，轉子以自身幾何軸心為旋轉軸。動偏心指定轉子不同心，但轉子以定子的幾何軸心為旋轉軸。混合偏心指靜偏心和動偏心的組合，即定轉子不同心，轉子以正常電機定轉子的幾何中心為旋轉軸（見圖1）。目前國內針對電機氣隙偏心的研究相對國外較少，氣隙偏心研究多為靜態偏心、動態偏心和混合偏心特征量[7-8]的提取，很少涉及偏心下轉子振動問題。實際上，靜態偏心總是和動態偏心同時存在。由于制造和安裝的誤差，即使新制造的電機也會存在固有的靜態偏心[9]。且在電機運行過程中，轉子受到初始單邊磁拉力的影響而彎曲，又產生一定的動偏心。

根據電機設計及電磁基礎理論，電機振動可大致歸類為三種：電磁振動、機械振動和空氣動力振動。其中電磁振動和機械振動一直是國內外電機學者們研究的重要課題，并且取得了一定的研究成果。姚志遠等人針對桿截面的突變會降低波傳播效率的問題，提出基于連續變截面蘭杰文振子的設計方法，以此優化電機的輸出性能[10]。莫岳平等人通過 ANSYS有限元模態分析，闡述了最優振動模態的選擇[11]。K.N.S等人建立定轉子三維模型，采用3D FEA方法，分析了由多種因素引發的電機振動[12]，但并未考慮轉子副臨界共振對電機的安全運行的影響。

由轉子動力學可知，由于轉子非對稱剛性或是轉子重力的影響，致使電機轉子工作在某一轉速時，轉子撓度達到峰值，此時轉子轉速大小為臨界轉速大小的一半，這樣的轉速被稱為副臨界轉速，或稱為次臨界轉速以及亞臨界轉速。副臨界轉速時產生的轉子共振現象簡稱為副臨界振動。

隨著計算機的發展及仿真軟件的完善，在電機轉子振動[13]，偏心建模[14,15]，偏心仿真[16,17]，偏心檢測[18,19]等方面國內外學者已經做了很多研究。Kyung-Ho-Ha等人分析了不平衡電磁力對轉子渦動軌跡的響應，通過預測轉子軸承系統的機械動力性能降低振動，優化電機性能[20]。在非對稱轉子副臨界轉速理論計算分析方面，林富生等人理論分析并實驗研究了帶初始彎曲的剛度不對稱轉子的穩定性和動態響應，提出副臨界現象的存在[21]。針對某種特種電機進行具體的副臨界共振分析，尤其是定轉子偏心狀態下，卻研究甚少。本文針對大型潛水電機，基于副臨界轉子振動對電機的影響，分析副臨界轉速的部分影響因素，闡述副臨界轉速與額定轉速的關系和副臨界共振機理的發生條件。

大型潛水電機由于其較大的轉子質量，以及其特殊的工作環境，使其轉子共振性能不同于一般的感應電機和高速電機。為了避免共振，降低轉子撓度，更好的優化電機性能，只研究臨界轉速時轉子的共振現象是遠遠不夠的。本文引入轉子副臨界狀態下的共振概念，分析了混合偏心對轉子副臨界共振的影響，研究了副臨界轉速與偏心量的關系，探討了副臨界轉速與潛水深度的關系，并在此基礎上實現了對存在混合偏心電機的諧波共振的部分研究。最后以一個 4 000kW，4極潛水電機為例進行驗證。

2 混合偏心轉子模型的建立

基于混合偏心轉子的運動特性，建立了混合偏心轉子仿真模型和計算模型，如圖1所示。本文的計算仿真分析均建立在圖1所定義的坐標系上。

圖1 混合偏心轉子計算模型Fig.1 The calculation model of mixed eccentricity

由圖1可知氣隙長度表達式可以表達為

式中δ0——平均氣隙長度；

δa,δb——靜態偏心，動態偏心量；

α——定子空間角度；

ωr——轉子旋轉角速度；

氣隙長度的逆表達式可以表示為

由此式（2）可大致表示為

表1 分析模型指標和材料屬性Tab.1 The index and material properties for analysis model

本文針對4 000kW，電機氣隙為3.5mm的大型濕式潛水電機進行仿真，分析其混合偏心轉子狀態下的電機轉子性能。表1列舉了仿真模型的性能參數和材料屬性。實際應用中可以通過套筒的方法實現混合偏心，即在軸承內外圈均裝配套筒，繼而通過調節套筒的厚度實現混合偏心的效果[22]。

3 混合偏心對轉子副臨界共振的影響

由于混合偏心轉子的影響，電機氣隙磁導發生變化，產生不平衡電磁拉力，極大程度的影響了電機系統的電磁剛度，這不僅增加了轉子的穩定撓度，降低了轉子的臨界轉速，還影響了轉子的共振點和共振狀態，危及電機的安全運行。

3.1 混合偏心時的不平衡電磁力

轉子混合偏心時，由于氣隙磁導的變化，定轉子氣隙間不平衡磁拉力也發生了變化。本文建立了電機模型，采用有限元方法對氣隙間磁感應強度進行仿真。并通過場計算器對仿真結果進行后處理，實現氣隙間電磁力的仿真及分析。根據工程電磁場理論可知

式中，A為矢量磁位。

假設鐵心磁導率無限大，其定轉子間磁感應強度如圖2所示。

圖2 氣隙磁通密度圖Fig.2 The flux density for air-gap

由于假設的偏心量比較小，因此氣隙磁通密度變化不明顯。圖2為1%的靜偏心（SE）、1%動偏心（DE）時的混合偏心氣隙磁通密度變化圖。由于齒槽諧波、剖分等因素，磁通密度變化與標準的正弦波存在一定的誤差，影響電磁力的幅值，但是不改變其頻率成分及變化趨勢。

為適應氣隙長度的變化，有限元計算中氣隙網格變化如圖3a所示，圖3b為定子電流變化圖。

圖3 定子電流圖Fig.3 Plot mesh of air-gap and stator current

根據Maxwell應力張量法，電機定轉子氣隙間徑向電磁力矢量可表示為

式中l——鐵心長度；

R(α,θr)——平均氣隙半徑（見圖1），其可表示為

式中，轉子旋轉角度θr=ωrt。

假設徑向氣隙電磁力全由徑向磁通密度產生，即忽略切向磁通密度，則在一個電周期內，不同混合偏心下氣隙電磁力的時間諧波的傅里葉分解如圖4所示，從圖中可以得到不同混合偏心下的各種諧波頻率，其中存在接近于轉子固有頻率（見表 2）的諧波頻率。

圖4 傅里葉分解圖Fig.4 Fourier decomposition

圖5描繪了0.4s時不同混合偏心度下轉子固有頻率與同等條件下諧波頻率的對比，其中諧波頻率是由非線性磁拉力所產生，從圖中可以得出，作用于轉子上的激振力頻率與轉子固有頻率比較接近，可能激起轉子共振。（注：圖中的點為該偏心量下接近固有頻率的激振頻率值。）

圖5 固頻和激頻的關系Fig.5 The frequency relation between nature and excitation

3.2 混合偏心時的副臨界特性

電機作為一個機電耦合系統，是一個磁與力的綜合體。當轉子存在混合偏心時，其不僅影響了氣隙磁場、系統性能，還改變了轉子的臨界轉速，影響轉子的副臨界特性。考慮到實際潛水電機應用中采用的是滾動軸承, 可以假設電機支承方式為剛性支承。

副臨界轉速的求解一般采用解析法和有限元法，其解析法表達式如下：

式中k——臨界轉速的階數；

l——轉軸在兩個支點間的長度；

E0——基準彈性模量；

Δi——位置函數；

Ii——各軸段截面慣性矩；

qi——各軸段質量線密度；

fi——各軸段磁拉力線密度。

根據電機設計原理，考慮實際情況下的電機類型、磁場分布等影響，其各軸段鉛垂方向磁拉力總和可表示為Fi=0 .3πDlefδe/δ/ 2μ0，為保持fi和qi單位的一致性，其各軸段磁拉力線密度總和可表示為

式中D——轉子外徑。

混合偏心氣隙長度δe可以表示為

式中δs——靜偏心量；

δr——動偏心量；

k——擬合系數（此處取0.32）。

將表達式（8）代入式（7），可以得出副臨界轉速具有時變特性（見圖6）。為減少仿真時間，節約資源，取電機穩定運行區域0.4～0.8s。

從圖6可以看出，副臨界轉速在穩定區域0.4～0.8s間呈現先增后減的趨勢。在不同的混合偏心度下，副臨界轉速變化的范圍也有所不同，而且靜態偏心的影響程度高于動態偏心，動態偏心受時間的影響度高于靜態偏心。

圖6 副臨界轉速與時間的關系Fig.6 The variation of sub-critical speed with time

圖6闡述了，當轉子存在1%的靜偏心和1%的動偏心時，轉子的副臨界轉速最接近的額定轉速，易發生副臨界共振現象，應予以避免。

本文采用解析-有限元法，分析混合偏心度對副臨界轉速的影響。根據轉子動力學，將不平衡磁拉力等效為作用于轉子上的電磁剛度，則其副臨界轉速可簡化表示為

式中kf——電磁剛度；

k0——彎曲剛度（見圖7）；

m——轉子鐵心質量；

k——等效后的轉子剛度，根據材料力學，等效轉子剛度可表示為

式中E——彈性模量；

J——轉動慣量；

l——鐵心段長度；

a——仿真等效誤差系數，考慮到材料、長度仿真等多種等效與誤差，本文中a=0.97（由圖7a解析得出）。

表2列出了不同轉子混合偏心度下固有頻率和臨界轉速的數值，以0.4s時的數據為例，其他時刻變化趨勢一致。由該表格可以得出轉子固有頻率隨混合偏心度增加而降低，如圖7所示。

表2 固有頻率和臨界轉速對比表Tab.2 The natural frequency and critical speed

圖7 三維仿真轉子模型Fig.7 3-D simulation model of rotors

圖7為轉子模型和轉子初始附加載荷值。不平衡磁拉力作用于圖中軸段z1～z2，所以可通過改變該段的等效轉子剛度以達到仿真的效果。

以0.4s、0.5s、0.6s時副臨界轉速隨偏心度的變化為例，分析副臨界轉速與偏心度的關系如圖8所示。由圖8和表格2可以得出，整體上副臨界轉速隨偏心度的增加而降低，但在混合偏心下，對比不同的靜偏心和動偏心時（即被對比模型同時存在不同的靜偏心和動偏心，例如本文中1%SE&2%DE與2%SE&1%DE，即圖中2和3位置處），由于仿真誤差，副臨界轉速幅值存在一定的波動。由于解析計算（式（7）～式（9））中存在經驗系數，使得理論計算值與仿真值之間存在一定的誤差（見圖8b）。

圖8 副臨界和偏心度的關系Fig.8 The variation of sub-critical speed with eccentricity

隨著時間的增加，轉子副臨界轉速的變化區域位于0.4s上下波動，即轉子副臨界轉速隨時間呈不規則的周期性變化。圖8中的0～4分別代表偏心度為 0%SE&0%DE、1%SE&1%DE、1%SE&2%DE、2%SE&1%DE、2%SE&2%DE。

4 潛水深度對副臨界共振的影響

大型潛水電機一般工作于水深1 000m以下，受到水壓的影響，電機性能發生變化，這不僅降低副臨界轉速，還引發轉子振動。本文采用有限元-解析法對其進行分析。

考慮到大型潛水電機特殊的工作環境，加入潛水深度的影響，式（6）可表示為

式（9）可表示為

式中hi,kh——水壓密度和等效的水壓剛度。

由于水下壓強未直接作用于轉子上，本文采用等效的方法，利用Ansys軟件仿真壓強對定子撓度的影響（見圖8），得到氣隙偏心量的表達式為

式中δh——壓強引起的氣隙偏心量（見圖 9），以最大撓度值為主，k取0.32。

圖9 定子撓度位移云圖Fig.9 The displacement nephogram of stator deflection

圖 10為副臨界轉速隨潛水深度和時間變化圖,從圖中可以得出轉子副臨界轉速隨潛水深度的增加而降低。但隨時間呈不規則變化，因此在電機投入工程運行前，需要模擬多段時間值，確保電機的安全運行。圖中時間范圍是0.4～0.6s，潛水深度范圍為0～5 000m。

圖10 副臨界轉速和潛水深度的關系Fig.10 The variation of sub-critical speed with diving depth

5 結論

隨著潛水電機高功率、高轉速的發展，轉子振動問題的研究迫在眉睫。與高速電機相比，大型潛水電機轉速相對較低，因此為了更好的利用轉子動力學，分析低轉速區轉子渦動軌跡等問題，本文引入副臨界轉速，在比較全面考慮大型潛水電機定轉子結構特點的基礎上，創建了混合偏心下的定轉子模型及三維力學分析轉子模型。

根據工程電磁場理論，采用有限元方法，分析并仿真了大型潛水電機混合偏心下定轉子氣隙間磁通密度分布和氣隙電磁力激振頻率。又通過電磁剛度，耦合磁力效應，分析在不同的混合偏心系統中，轉子的副臨界轉速變化，得到了副臨界轉速與偏心度的關系：隨偏心度的增加而降低。當定轉子達到一定的偏心度，副臨界轉速將接近于電機的額定轉速，又考慮到激振頻率的存在，易引發轉子的副臨界共振，危及電機安全運行。

考慮到大型潛水電機特殊的工作環境，計算并仿真了潛水深度對轉子副臨界轉速的影響，得到潛水深度和副臨界轉速的關系以及副臨界轉速與時間的關系。

本文的研究可為工程中提高電機可靠運行等方面提供一定的參考，同時為轉子動力學的進一步應用奠定了基礎。

致謝本文中的樣機及相關數據由合肥恒大江海泵業股份有限公司研究院提供，在其研究院工作人員的大力支持下完成，在此向他（她）們表示衷心的感謝。

[1] Elkasabgy N M, Eastman A R, Dawson G E. Detection of broker bar in the cage rotor on an induction machine[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 1992, 28(1): 165-171.

[2] 鮑曉華, 呂強. 感應電機氣隙偏心故障研究綜述及展望[J]. 中國電機工程學報, 2013, 33(6): 93-100.

Bao Xiaohua, Lü Qiang. Review and prospect of air-gap eccentricity faults in induction machines[J].Proceedings of the CSEE, 2013, 33(6): 93-100.

[3] Xia Changliang, Song Zhanfeng. Wind energy in China: current scenario and future perspectives[J].Renewable and Sustainable Energy Reviews, 2009,13(8): 1966-1974.

[4] 趙向陽, 葛文韜. 基于定子電流監測無刷直流電動機轉子動態偏心的故障模型仿真研究[J]. 中國電機工程學報, 2011, 31(36): 124-130.

Zhao Xiangyang, Ge Wentao. Simulation research of fault model of detecting rotor dynamic eccentricity in brushless DC motor based on motor current signature analysis[J]. Proceedings of the CSEE, 2011, 31(36):124-130.

[5] Faiz J, Ebrahimi B M, Akin B, et al. Dynamic analysis of mixed eccentricity signatures at various operating points and scrutiny of related indices for induction motors[J]. IET Electric Power Applications, 2010,4(1): 1-16.

[6] Li Xiaodong, Wu Qing, Nandi S. Performance analysis of a three-phase induction machine with inclined static eccentricity[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 2007, 43(2): 531-541.

[7] Hossein Torkaman, Ebrahim Afjei, Peyman Yadegari.Static, dynamic, and mixed eccentricity faults diagnosis in switched reluctance motors using transient finite element method and experiments[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2012, 48(8): 2254-2264.

[8] Ebrahimi B M, Faiz J. Diagnosis, performance analysis of three-phase permanent magnet synchronous motors with static, dynamic and mixed eccentricity[J]. IET Electr. Power Appl., 2010, 4(1): 53-66.

[9] Dorrell D G, Thomson W T, Roach S. Analysis of airgap flux, current, and vibration signals as a function of the combination of static and dynamic airgap eccentricity in 3-phase induction motors[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 1997, 33(1):24-34.

[10] 姚志遠, 楊東, 趙淳生. 桿結構直線超聲電機的結構設計和功率流分析[J]. 中國電機工程學報, 2009,29(24): 56-60.

Yao Zhiyuan, Yang Dong, Zhao Chunsheng. Structure design and power flow analysis of bar-structure linear ultrasonic motors[J]. Proceedings of the CSEE, 2009,29(24): 56-60.

[11] 莫岳平, 胡敏強, 徐志科, 等. 超聲波電機振動模態有限元分析[J]. 中國電機工程學報, 2002, 22(11):93-97.

Mo Yueping, Hu Minqiang, Xu Zhike, et al. The finite element analysis on the vibration mode of ulirasonic motor[J]. Proceeding of the CSEE, 2002, 22(11):93-97.

[12] Srinivas K N, Arumugam R. Analysis and characterization of switched reluctance motors: part II –flow, thermal, and vibration analyses[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2005, 41(4): 1321-1332.

[13] 何成兵, 顧煜炯, 邢誠. 短路故障時汽輪發電機組軸系彎扭耦合振動分析[J]. 中國電機工程學報,2010, 30(32): 84-90.

He Chengbing, Gu Yüjiong, Xing Cheng. Coupled flexural and torsional vibrations analysis of turbine generator shaft systems caused by circuit fault[J].Proceedings of the CSEE, 2010, 30(32): 84-90.

[14] 孫曉東, 陳龍, 楊澤斌, 等. 考慮偏心及繞組耦合的無軸承永磁同步電機建模[J]. 電工技術學報,2013, 28(3): 63-70.

Sun Xiaodong, Chen Long, Yang Zebin, et al. Modeling of a bearingless permanent magnet synchronous motor considering rotor eccentricity and coupling relationship of windings[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2013, 28(3): 63-70.

[15] 仇志堅, 鄧智泉, 王曉琳, 等. 計及偏心及洛侖茲力的永磁型無軸承電機建模與控制研究[J]. 中國電機工程學報, 2007, 27(9): 64-70.

Qiu Zhijian, Deng Zhiquan, Wang Xiaolin, et al. Study on the modeling and control of a permanent magnet type bearingless motor considering rotor eccentricity and Lorenz force[J]. Proceedings of the CSEE, 2007,27(9): 64-70.

[16] Dooso Hyun, Sungho Lee, Jongman Hong, et al.Detection of airgap eccentricity for induction motors using the single-phase rotation test[J]. IEEE Transactions on Energy Conversion, 2012, 27(3): 689-696.

[17] Lamamura B A T, et al. Study of static and dynamic eccentricity of a synchronous generator using 3-D FEM[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2010, 46(8):3516-3519.

[18] 孫一航, 武建文, 廉世軍, 等. 結合經驗模態分解能量總量法的斷路器振動信號特征向量提取[J]. 電工技術學報, 2014, 29(3): 228-236.

Sun Yihang, Wu Jianwen, Lian Shijun, et al. Extraction of vibration signal feature vector of circuit breaker based on empirical mode decomposition amount of energy[J]. Transactions of China Electrotechnical Society, 2014, 29(3): 228-236.

[19] Ebrahimi Bashir Mahdi, et al. Advanced eccentricity fault recognition in permanent magnet synchronous motors using stator current signature analysis[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2014, 61(4):2041-2052.

[20] Kyung Ho Ha, et al. Orbital analysis of rotor due to electromagnetic force for switched reluctance motor[J]. IEEE Transactions on Magnetics, 2000, 36(4):1407-1411.

[21] 林富生, 孟光. 有初彎的剛度非對稱轉子的動力學特性分析及實驗研究[J]. 應用力學學報, 2002,19(3): 96-101, 168-169.

Lin Fusheng, Mengguang. The analysis and experiment of dynamics for asymmetric rotor with initial bending[J]. Chinese Journal of Applied Mechanics, 2002,19(3): 96-101, 168-169.

[22] Subhasis Nandi, Sang Bin Lee. et al. Detection of eccentricity faults in induction machines based on nameplate parameters[J]. IEEE Transactions on Industrial Electronics, 2011, 58(5): 1673-1683.