一個數學結論的拓展及其應用

楊曉俊

（貴州省福泉市第一中學）

在中學數學教學中經常見到這樣一個性質：等腰三角形底邊上任意一點到兩腰的距離之和等于一腰上的高。關于此性質的證明有如下兩種方法：

方法1：如（圖1）利用面積，連結AP，兩個三角形面積之和等于大三角形面積可得。

圖1

圖2

方法 2：如（圖 2）截長，作 PG垂直 CD于 G，易證 PE=DG，后證三角形CPG與三角形CPF全等，可得CG=PF，即得。

該性質是教學中經常遇見的命題，但是對該命題進行研究，發現該性質可以作如下拓展：等邊三角形內（含邊）任意一點到三邊距離之和等于等邊三角形的高。

對于這個拓展命題的證明，我們可以仿照原命題的證明方法進行，這里從略，下面主要列舉原命題和拓展命題在數學競賽題上的應用。

例1.如（圖3），在矩形ABCD中，O是對角線AC，BD的交點，AB=3，AD=4，P是AD邊上的一個動點，且PE⊥AC于E點，PF⊥BD 于 F點，則 PE＋PF=_________

解：作AG⊥BD于G點.在Rt△ABD中，BD=5.

∵△ABD是直角三角形，且AG是斜邊BD上的高，

∴S△ABD=AB·AD=BD·AG，AG=2.4.

由四邊形ABCD為矩形，可知OA=OD，即△OAD為等腰三角形.

∵P是底邊AD上的任意一點，且PE⊥AC于E點，PF⊥BD于F 點，根據原命題有 PE＋PF=AG.即 PE＋PF=AG=2.4

圖3

圖4

例2.如（圖4），已知等邊三角形 ABC內有一點 N，ND⊥BC，NE⊥AB，NF⊥AC，D，E，F 都是垂足，M 是三角形 ABC 中異于 N的另一點，若 P1=ND+NE+NF，P2=MD+ME+MF，那么 P1與 P2的大小關系是

解：設△ABC高為h，過M點分別作BC、AB、AC的垂線，垂足分別是 D′、E′、F′

∵N 是等邊三角形內一點，NE⊥AB，ND⊥BC，NF⊥AC，

根據拓展命題有 NE＋ND＋NF=h=P1，同理 MD′+ME′+MF′=h

又 ∵MD′≤MD，ME′≤ME，MF′≤MF（ 三個等號中最多有一個成立）

∴P1=NE+ND+NF=MD′+ME′+MF′＜MD+ME+MF=P2

∴P1＜P2

例3.如（圖5），等邊三角形ABC內有一點 P，過點P向三邊作垂線，垂足分別是 S、Q、R，且 PQ=6，PR=8，PS=10，求△ABC 的面積。

圖5

解：設等邊三角形邊長為a，高為h，

則根據拓展命題有h=6+8+10=24

例4.如（圖6），設P是等邊三角形 ABC內任意一點，從點 P作三邊的垂線 PD、PE、PF，點 D、E、F 是垂足，則

解：設等邊三角形邊長為a，高為h，

圖6

圖7

例 5.如（ 圖 7），在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=60°，AB=AD=CD=2，E是 BC 上任意一點，EM⊥BD，EC⊥AC 于 N，求EM+EN的值

解：在等腰梯形 ABCD 中，AB=AD=CD=2，∠ABC=60°，

則容易得 BC=4，∠BDC=90°，

OB=OC，從而根據原命題有EM+EN=CD=2

學習數學，不能只記憶書本上的幾條定理，應該將例題、習題中反映的性質做深入研究，爭取做到融會貫通，舉一反三，這種學習方法對于提高學生解題能力會有很大幫助。

朱克祥.初等幾何研究［M］.高等教育出版社，2103-01-01.