淺析線性代數教學中的條件反例

李 霞

（沈陽理工大學理學院，遼寧 沈陽 110159）

《線性代數》是高等院校工科專業學生必修的一門基礎理論課程。它所涉及的處理問題的思想、方法和技巧廣泛應用到科技、軍事、經濟管理等各個領域。但由于《線性代數》具有概念多、抽象程度高、邏輯推理嚴密的特點，學生們普遍反映《線性代數》抽象、空洞，從而失去了學習的興趣。筆者在多年的教學實踐中認識到提高學生的學習興趣需遵循抽象理論具體化的原則，而反例教學是把抽象理論具體化的一種行之有效的方法。

1 反例可以用于鑒別命題的真假

學生在認識新知識時，往往會把舊知識作為依托，通過挖掘新舊知識的聯系，使學生順利完成新知識的學習，起到事半功倍的效果。但是新知識在形成的過程中往往又具有自身的特點，所以學生在通過類比學習新知識時不可避免地會得出一些錯誤結論，否定這些謬論，僅僅靠書本的概念、命題是不夠的，恰當運用反例是極為有效的方法。

如在學習矩陣線性運算時，通過與實數加減法作比較引出矩陣加減法運算規律與實數加減法運算規律較為一致的結論，學生往往會想當然的認為矩陣乘法也和實數乘法一樣滿足交換律和消去律。對此，最佳的解決方法是舉出簡單的反例。

顯然，AB≠BA，說明矩陣乘法不滿足交換律；AB=AC，A≠O，但B≠C，說明矩陣乘法不滿足消去律。同時，該例還可以說明命題“若B≠O且A≠O，則BA≠O”是假命題。

2 反例可以幫助學生理解定理，培養思維的嚴密性

線性代數中有些定理及相關命題單純從理論上講很抽象，學生在學習時往往只停留在表象上，使用時不注意條件、適用范圍。在教學中針對學生存在的問題，舉反例加以說明，學生就會理清定理中的條件與結論間的充分性與必要性。如克萊姆法則：

該定理需強調當方程個數等于未知量個數且系數行列式不等于零時方程組必有唯一解。反之不真?？膳e反例：

3 反例可以幫助學生理清概念間的關系

線性代數中概念繁多,有些概念之間具有種屬關系、有些具有交叉關系，學生不容易掌握,如矩陣教學中，等價矩陣、相似矩陣、合同矩陣三者間的關系，可舉反例幫助學生把它們之間的關系區別開來,從而使學生牢固地掌握正確概念。

例2 （1）合同矩陣是等價矩陣，反之不一定。

顯然有B=PAQ，即矩陣A與矩陣B等價。

但矩陣A與矩陣B不合同，否則一定存在可逆矩陣C使得B=CTAC=CTC，

顯然ac+bd=1與ac+bd=0不可能同時成立。

（2）相似矩陣是等價矩陣，反之不一定。

仍取上述矩陣等價A與B，二者等價，但不相似，否則存在可逆矩陣C使得B=C-1AC=C-1C=E，矛盾。

（3）合同矩陣不一定是相似矩陣，反之亦然。

顯然，B=CTAC，即矩陣A與矩陣B合同，但二者不相似。否則，一定存在可逆矩陣C使得B=C-1AC=C-1C=E，矛盾。

同上也可舉反例說明相似矩陣不一定合同。

總之，反例是一項積極的創造性思維，在線性代數教學中重視反例的運用，對培養學生思維能力和分析解決問題能力也起到十分重要的作用。

[1]同濟大學數學系.線性代數[M].北京:高等教育出版社,2007.