偽譜法及其在飛行器軌跡優化設計領域的應用綜述*

楊希祥，楊慧欣，王 鵬

偽譜法及其在飛行器軌跡優化設計領域的應用綜述*

楊希祥，楊慧欣，王 鵬

(國防科技大學 航天科學與工程學院， 湖南 長沙 410073)

采用偽譜法進行飛行器軌跡優化設計是近年來的熱點研究方向，然而較全面地對各種方法進行綜合分析的文獻卻很少。在對國內外相關文獻進行系統研究的基礎上，闡述了航空航天領域應用較為廣泛的幾種偽譜法的基本原理；歸納了偽譜法將連續最優控制問題轉化為非線性規劃問題的思路和具體步驟；總結了偽譜法在飛行器軌跡優化設計領域的應用情況；對偽譜法及其在飛行器軌跡優化設計領域應用的未來研究方向進行了分析。

偽譜法；飛行器；軌跡；優化設計；綜述

(College of Aerospace Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China)

飛行器軌跡優化問題一般為非線性、帶有狀態約束和控制約束的最優控制問題。求解最優控制問題的數值方法很多，一般分為間接法和直接法[1]。間接法基于Pontryagin極小值原理推導最優控制的一階必要條件，將最優控制問題轉換為Hamilton邊值問題，然后通過打靶法等數值方法求解。間接法在早期的飛行器軌跡優化研究中應用廣泛[2-3]。直接法無須求解最優性必要條件，而是采用參數化方法將連續空間的最優控制問題求解轉化為非線性規劃(NonLinear Programming，NLP) 問題，通過數值求解NLP問題獲得最優解。根據參數化方法不同，直接法分為兩種基本類型：僅離散控制變量的打靶法與同時離散控制變量和狀態變量的配點法。由于直接法彌補了間接法的諸多不足，近30年來得到迅速發展，并被更為廣泛地應用于飛行器軌跡優化領域[1,4]。

近年來，一類直接配點法——偽譜法 (pseudospectral method)備受關注[5-6]。該方法采用全局插值多項式在一系列離散點上近似狀態變量和控制變量，通過引入類似有限差分矩陣的偽譜差分矩陣將微分方程約束轉換為代數約束。從插值多項式的角度，偽譜法可稱為全局方法，而用分段多項式近似的傳統配點方法可稱為局部方法。由于偽譜法的配點一般為正交多項式的根，因此又稱為正交配點(orthogonal collocation)法。與局部方法相比，偽譜法能夠以較小的計算代價獲得較高的求解精度，因此在航空航天領域得到廣泛應用，包括空間站姿態控制[7]、小推力下航天器軌道轉移[8]、月球軟著陸軌跡優化、運載火箭軌跡優化[9-10]等，并已在實際飛行中得到應用[7]。

本文對航空航天領域常見偽譜法及其在飛行器軌跡快速優化領域的應用情況進行綜述。國外對各種偽譜法進行綜合研究的文獻并不多見，最近的一篇由Fahroo和Ross發表于2008年[11]，而國內尚未見公開發表的相關文獻。

1 飛行器軌跡優化問題描述

對于運載火箭、導彈和可重復使用運載器等不同類型的飛行器，軌跡優化問題的目標函數、約束條件和控制變量等各有特點，但都可以描述為一般的最優控制問題：尋找控制變量u(t)∈m，最小化Bolza型性能指標函數[12]

(1)

其中，狀態變量x(t)∈n，初始時間t0和終端時間tf(自由或固定)滿足：

動力學微分方程約束

(2)

邊界條件

φ[x(t0),t0,x(tf),tf]=0

(3)

以及路徑約束

C[x(t),u(t),t]≤0

(4)

式(1)～(4)中，函數Φ,L,f,φ,C定義為

Φ :n××n×→

L :n×m×→

f :n×m×→n

φ :n××n×→q

C :n×m×→c

應用偽譜法時，都將最優控制問題的時間區間由t∈[t0,tf]轉換到τ∈[-1,1]，對時間t作變換

(5)

將式(5)應用于最優控制問題的表達式(1)～(4)， 最小化性能指標

(6)

動力學微分方程約束

(7)

邊界條件

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(8)

路徑約束

C[x(τ),u(τ),τ]≤0

(9)

2 軌跡快速優化領域常用偽譜法

偽譜法源于求解微分方程數值解的譜方法。常見的譜方法有三種：Galerkin法、Tau法和配點法，其中譜配點法又稱偽譜法[13]。由于偽譜法的配點一般為正交多項式(Chebyshev多項式或Legendre多項式)的根，因此又被稱為正交配點法。

飛行器軌跡快速優化領域常見的偽譜法包括：Legendre偽譜法、Radau 偽譜法、Gauss 偽譜法以及Chebyshev 偽譜法。各種偽譜法的不同在于所選取的插值基函數和配點類型不同，如表1所示。

表1 各種偽譜法插值基函數及配點類型

2.1 Legendre偽譜法

τ0=-1,τ1,τ2,…,τN-1,τN=1

(10)

(11)

對于k=0,1,…,N，

(12)

為N階Lagrange多項式。由Lagrange多項式的性質可得，在配點處，利用插值多項式得到的值和利用動力學微分方程計算所得到的值相等。在第i個配點處，狀態變量的導數為

(13)

{Dik}為(N+1)×(N+1)的差分矩陣，且有

(14)

這樣，在N+1個配點處，原來連續時間最優控制問題的動力學微分方程約束轉換為代數約束，即

i=0,1,…,N

(15)

類似的，性能指標函數轉換為

(16)

式中，wi為權重。

邊界條件約束轉換為

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(17)

路徑約束轉換為

C[x(τi),u(τi)]≤0i=0,1,…,N

(18)

2.2 Radau偽譜法

Radau偽譜法[16-17]的配點采用(-1,1]上的N個Legendre-Gauss-Radau (LGR)點，插值節點由N個配點與初始點τ0=-1構成，即配點數比插值節點數少1個，這也是Radau偽譜法和Legendre偽譜法的不同之處。

狀態變量近似表達式為

(19)

這樣，在N個配點處，原來連續時間最優控制問題的動力學微分方程約束轉換為代數約束，即

i=1,…,N

(20)

{Dik}為N×(N+1)的差分矩陣，且有

(21)

g(τk)=(1+τk)[LN(τk)-LN-1(τk)]

(22)

控制變量近似表示為

(23)

邊界控制點可采用樣條插值外推得到[18]。性能指標函數轉換為

(24)

邊界條件約束轉換為

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(25)

路徑約束轉換為

C[x(τi),u(τi)]≤0i=1,…,N

(26)

2.3 Gauss偽譜法

Gauss偽譜法[13]的配點采用(-1,1)上的N-1個Legendre-Gauss (LG)點，插值節點由N-1個配點與初始點τ0=-1構成，即配點數比插值節點數少1個。

狀態變量近似表達式為

(27)

這樣，在N-1個配點處，原來連續時間最優控制問題的動力學微分方程約束轉換為代數約束，即

(28)

{Dik}為(N-1)×N的差分矩陣，且有

控制變量近似表示為

(29)

性能指標函數轉換為

(30)

邊界條件約束轉換為

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(31)

路徑約束轉換為

C[x(τi),u(τi)]≤0i=1,…,N-1

(32)

式(28)未定義終端狀態xf，終端狀態也應滿足動力學方程約束，將終端狀態約束條件離散并用Gauss積分來近似，可得

(33)

文獻[19]從近似精度和計算效率等方面對上述三種偽譜法進行了比較。Radau偽譜法和Gauss偽譜法在狀態變量、控制變量和共軛變量的近似精度上均優于Legendre偽譜法，同時，Gauss偽譜法對共軛變量邊界值的估計精度高于Radau偽譜法，且在處理含初始和終端約束的問題上具有優勢。在計算效率方面，求解相同規模問題時三種方法耗時差別不大。

2.4 Chebyshev偽譜法

和上述三種偽譜法的配點基于Legendre多項式不同，Chebyshev 偽譜法[20-22]的配點基于Chebyshev多項式，采用[-1,1]上的N+1個Chebyshev-Gauss-Lobatto (CLG)點，即

(34)

狀態變量和控制變量的近似表達式為

(35)

(36)

對于k=0,1,…,N，

(37)

(38)

這樣，在N+1個配點處，連續時間最優控制問題的動力學微分方程約束轉換為代數約束，即

i=0,1,…,N

(39)

{Dik}為(N+1)×(N+1)的差分矩陣，且有

性能指標函數轉換為

邊界條件約束轉換為

φ[x(-1),t0,x(1),tf]=0

(41)

路徑約束轉換為

C[x(τi),u(τi)]≤0i=0,1,…,N

(42)

3 軌跡快速優化領域偽譜法應用綜述

早在1822年，Fourier就已將譜理論引入微分方程的研究。利用譜方法求解微分方程數值解的思想，可以追溯到1938年Lanczos所做的工作，他建立了選擇譜配點法的基函數與配點的理論[23]。20世紀五六十年代，隨著Chebyshev多項式應用于初值問題，譜方法再次復蘇。20世紀70年代，Gottlieb等首次建立了譜方法的統一數學理論；譜方法的成名源于其在流體動力學領域的應用[24]；1972年，Orszag首次將譜配點法稱為偽譜法[25]。80年代后期，Vlassenbroeck等首次利用偽譜法求解最優控制問題[20]，當時采用的是Chebyshev偽譜法；緊接著，Elnagar等提出了Legendre偽譜法[14]；美國海軍研究院的Fahroo和Ross等對偽譜法的研究作出了重要貢獻，并將其引入飛行器軌跡優化領域[9,22]。

2000年以后，尤其是近幾年來，伴隨著利用偽譜法求解最優控制問題研究的逐漸增多[6,26]，其在航空航天領域的應用研究開始受到重視，并由理論計算發展到地面試驗，進而發展到飛行試驗驗證[7]，而飛行器軌跡優化是偽譜法應用最廣泛、最成功的領域。Rao等采用Legendre偽譜法研究了高升阻比機動再入飛行器再入軌跡優化問題，并對得到的最優解進行了驗證和分析[27]；Bollino等將Legendre偽譜法應用于無人飛行器軌跡在線快速生成[28]；Fahroo等研究了Legendre偽譜法在可重復使用運載器可達區快速生成問題中的應用，研究結果表明，采用偽譜法可以避免傳統求解方法(如能態近似法) 的很多不足，提高求解速度和精度[29]；Williams研究了Legendre偽譜法在飛行器地形跟蹤軌跡實時優化問題中的應用[30]；文獻[31]和文獻[32]分別采用Gauss偽譜法實現飛機參數近實時辨識和飛機軌跡優化; Ogawa等將進化算法與Gauss偽譜法相結合，解決火箭基組合動力兩級入軌可重復使用運載器軌跡優化問題[33]。

2001年以來，麻省理工學院航空航天系對偽譜法進行了系統深入研究，取得了眾多研究成果，出版了多篇學位論文。Rea將Legendre偽譜法應用于運載火箭上升段軌跡快速優化問題，分別研究了二維平面內的單級運載火箭軌跡優化問題和三維空間兩級運載火箭軌跡優化問題，并用一個預測制導算法研究了采用偽譜法實現在線控制指令生成的可行性，文章同時提出了一種引入二階差分矩陣減小問題求解規模的方法[34]；Clarke將Legendre偽譜法成功應用于通用航空飛行器性能優化[35]；Taylor研究了Legendre偽譜法在航天飛機應急下降軌跡優化問題中的應用[36]；Stanton采用Legendre偽譜法求解航天器最優轉移軌道問題，包括共面轉移問題、簡單軌道面改變問題和復雜的軌道尺寸/外形/軌道面改變問題，目標函數均選擇為燃料消耗最省，仿真結果證明，求解精度和求解效率都能夠得到很好保證[37]；Benson較系統地研究了Gauss偽譜法，并將其應用于小推力航天器軌跡優化問題和Delta運載火箭上升段軌跡優化問題[38]，研究結果表明，與Legendre偽譜法相比，Gauss偽譜法都具有更快的收斂速度和更精確的共軛變量估算結果；Hawkins研究了Legendre偽譜法在月球軟著陸軌跡快速優化問題中的應用[39]。

從2007年開始，有關偽譜法在航空航天領域中應用的文章陸續出現在《宇航學報》等國內中文核心期刊中。袁建平教授等將Legendre偽譜法應用于月球軟著陸軌跡快速優化問題[40]和空間飛行器有限推力軌道轉移優化設計問題[41]，研究結果證明，算法具有收斂速度快、對初值不敏感、魯棒性強等優點；曹喜濱教授則采用Gauss偽譜法解決日-火Halo轉移軌道快速優化設計問題[42]；楊希祥等研究了Gauss偽譜法在多級固體運載火箭上升段軌跡快速優化和空空導彈最優中制導律設計中的應用，提出采用串行策略進一步提高偽譜法計算效率[43-44]；雍恩米等將Gauss偽譜法應用于高超聲速飛行器再入軌跡快速優化問題，研究了采用偽譜法在線生成飛行器軌跡時的初值生成問題[45-46]；李海陽教授所在課題組對Gauss偽譜法在月球軟著陸軌道優化中的應用進行了大量研究[47]；此外，楊希祥及其所在課題組對Gauss偽譜法在超空泡水下航行體和平流層飛艇軌跡優化中的應用進行了研究[48-49]。總體來看，國內在偽譜法理論研究方面還不夠系統深入，在將其應用于飛行器軌跡快速優化設計領域研究方面正處于快速發展和范圍延伸階段。

4 結論與展望

當前，偽譜法在飛行器軌跡快速優化領域的應用正日益受到重視，根據對國內外研究現狀的研究和本文作者們所在課題組的研究工作體會，今后一段時期內，偽譜法及其在飛行器軌跡優化領域應用研究將重點集中在兩個方面，一是偽譜法理論的完善研究，二是針對飛行器軌跡快速優化領域的現實需求，深化和拓展偽譜法的應用。

4.1 偽譜法理論深化研究

盡管譜方法用于求解微分方程已有70余年的歷史，利用偽譜法求解最優控制問題也已有20多年的歷史，但偽譜法理論還有很多方面亟待完善。

1)NLP問題的 Karush-Kuhn-Tucker (KKT)條件與Hamilton邊值問題一階最優必要條件的等價性問題。此問題可轉化成NLP問題的最優解是否是原最優控制問題最優解問題，這一問題也是直接法普遍面臨的關鍵問題，很多學者對這一問題的證明做了研究，例如，Benson證明了采用Gauss偽譜法轉化得到NLP問題的KKT條件與Hamilton邊值問題一階最優必要條件是等價的[13]，同時，證明了節點上滿足路徑約束即可保證整個過程滿足路徑約束；Huntington在他的博士學位論文中深化了這一工作[50]，但對于Radau和Legendre等偽譜法，這一關鍵問題的證明尚未進行或完成。

2)配點的選取問題。配點是決定偽譜法求解精度和求解效率的關鍵因素之一，很多學者仍在對配點的選取問題進行積極研究，例如，文獻[51]提出了Legendre 偽譜法的改進形式Jacobi偽譜法，它使用Jacobi多項式尋找配點，Legendre 多項式是Jacobi多項式的子集；文獻[52]提出了Hermite-LGL方法，它不使用Legendre 多項式，而是使用分段三次多項式，在LGL點的子集進行配點。隨著偽譜法理論的不斷完善和數值計算方法的發展，這一方面的研究仍將受到關注。

3)偽譜法中共軛變量的估計問題。共軛變量的精確估計對驗證最優控制問題解的最優性、分析狀態變量對優化性能指標的敏感度和進行計算網格加細(mesh refinement)是十分重要的。間接法的求解表達式中都包含了共軛變量，因此其解也一般都給出共軛變量估計值。由于直接法不需要構建Hamilton邊值問題方程，因此不能對共軛變量進行顯式近似，很多學者都一直致力于估計方法的研究[15,53-54]，雖然取得了一定成果，但仍未成熟。

4)計算網格加細問題。偽譜法處理最優控制問題的高精度和高效率是在假定問題完全光滑的前提下得到的。但實際的復雜系統狀態變量往往是不連續的，或者控制變量是不連續的，或者兩者都是不連續的，而且間斷點的數目和位置往往是未知的。計算網格加細算法能夠檢測到間斷點的位置和數目，從而大大提高偽譜法解決問題的能力。

偽譜法理論中需要深入研究的問題還包括邊界控制量的估計、收斂性證明[55]等。

4.2 軌跡優化領域偽譜法應用深化研究

偽譜法在飛行器軌跡快速優化領域的進一步研究，一是要拓寬算法的應用對象和應用范圍，二是要針對軌跡優化中的具體問題應用和改進偽譜法。

1)離線軌跡優化問題。快速、機動發射是現代作戰飛行器發展的必然方向。對于采用攝動制導的快速機動發射運載火箭或彈道導彈，需要在射前預先生成一條最優標準彈道，從而完成射擊諸元裝訂。射擊諸元的快速裝訂對縮短發射準備時間具有重要作用，而發射準備時間關系著運載工具的射前生存能力和所運送有效載荷執行任務的快速性，機動發射地點的時變性，對彈道快速優化設計提出了新要求，偽譜法的高計算效率可應對這一挑戰，它在這一領域的應用值得關注。高效率和高精度是優化計算不斷追求的目標。偽譜法的節點個數是影響計算效率和精度的因素之一，將節點個數同時作為優化問題的設計變量，提高優化效率和精度，是偽譜法求解最優控制問題的研究方向之一[46]。

2)在線軌跡優化問題。軌跡在線生成(快速重規劃)是當前飛行器軌跡優化領域的熱門研究方向。傳統的飛行器制導算法是射前預先計算好一條最優標準彈道，利用一定的制導控制算法，使飛行器克服外界干擾，盡量沿設計的彈道飛行。這樣的飛行彈道實際上是次最優彈道。軌跡在線生成技術的引入，使飛行器在因外界干擾作用而偏離設計的最優彈道時，能夠快速規劃出一條新的最優彈道。簡化的、能轉化為線性規劃的最優控制問題，已經實現了軌跡在線生成，對于只能轉化為NLP問題的復雜最優控制問題，實現軌跡在線生成，還有很多問題需要研究[51]，偽譜法計算高精度和高效率特點，使其恰恰具有應用于這一領域的潛力。很多軌跡在線生成問題可行域的非凸性，使得任意給定初值條件下，利用偽譜法很難得到最優軌跡，因此初值生成方法成為亟待研究的問題，良好的初值生成方法，將大大減小偽譜法的計算時間[45]，從而提高軌跡在線生成速度。

在偽譜法研究方面，國外經歷了由理論研究到開展地面試驗[56]，再到應用于實際飛行的歷程[7,57]。在理論研究和數值仿真成熟的條件下，我們也可以有條件地適時設計開展地面試驗，以驗證理論研究的正確性，并逐步實現其在實際型號中的應用。

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Overview of pseudo-spectral method and its application intrajectory optimum design for flight vehicles

YANG Xixiang， YANG Huixin， WANG Peng

Trajectory optimum design for flight vehicles using pseudo-spectral methods has been a hot research direction in recent years, but studies about the overview of this field are very few. Based on the systematic research of domestic and overseas related literatures, the basic principles of several pseudo-spectral methods which have a wide range of applications in aerospace field were expounded; the thoughts and formulas for transforming continuous optimal control problems into nonlinear programming problems were concluded; the applications of pseudo-spectral method in the trajectory optimum design for flight vehicles were summarized; the development directions of pseudo-spectral method and its application in trajectory optimization design for flight vehicles were discussed.

pseudo-spectral method; flight vehicles; trajectory; optimum design; overview

2015-04-01

國家自然科學基金資助項目(11102229)

楊希祥(1982—)，男，河北阜城人，副教授，博士，碩士生導師，E-mail：nkyangxixiang@163.com

10.11887/j.cn.201504001

http://journal.nudt.edu.cn

V221; V421.1

A

1001-2486(2015)04-001-08