偶數(shù)與自然數(shù)一樣多

曾洪根

名人小卡片

伽利略

（Galileo Galilei，1564～1642），意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，科學(xué)革命的先驅(qū)。伽利略發(fā)明了擺針和溫度計，在科學(xué)上為人類做出了巨大貢獻(xiàn)，是近代實驗科學(xué)的奠基人之一。

偶數(shù)與自然數(shù)，哪一種數(shù)多？這時，恐怕同學(xué)們都會說：“當(dāng)然是自然數(shù)比偶數(shù)多了。”可能還會有同學(xué)說：“偶數(shù)個數(shù)等于自然數(shù)個數(shù)的一半！”什么道理呢？因為奇數(shù)與偶數(shù)合起來就是自然數(shù)，而奇數(shù)與偶數(shù)是相間排列的，所以奇數(shù)與偶數(shù)一樣多，其個數(shù)都是自然數(shù)的一半。

自然數(shù)包括偶數(shù)，偶數(shù)是自然數(shù)的一部分，自然數(shù)比偶數(shù)多這不是顯而易見、再明白不過的事嗎？聽起來好像確實是這么一回事，可事實是不是這樣的呢？

16世紀(jì)，意大利著名科學(xué)家伽利略給出了正確的答案。他曾提出過一個著名的悖論，叫作“伽利略悖論”，內(nèi)容就是偶數(shù)和自然數(shù)一樣多。這似乎違背常識，因為在1～10中，你只要數(shù)一下，就可以知道自然數(shù)有10個，偶數(shù)有5個，兩者相比較，很清楚，自然數(shù)比偶數(shù)多5個。但這是在有限的情況下，畢竟自然數(shù)和偶數(shù)可遠(yuǎn)不止那幾個，所以在比較兩者數(shù)量的時候這往往是不正確的，為此伽利略提出了無限的問題。對于無限的數(shù)量，數(shù)的辦法是不行了，因為無限多是永遠(yuǎn)數(shù)不完的。

那有什么方法可以用來比較它們的數(shù)量呢？其實，我們可以用“一對一”的方法來進(jìn)行比較。一一對應(yīng)是比較物體的集合是否相等的最簡便、最直接的方式。比如教室里有48個座位，老師走進(jìn)教室，一看座位坐滿了，他不必張三李四一個一個地點名，便知道此時聽課的學(xué)生人數(shù)為48。這是因為每個人都占了一個座位，而每個座位上都坐著一個人，兩者建立了一一對應(yīng)的關(guān)系。如果這時空了一些座位，老師就知道聽課的學(xué)生人數(shù)少于48，因為部分小于整體。

這種方法同樣可以用在無限上，關(guān)鍵看要比較的兩者之間能否建立起這種一一對應(yīng)的關(guān)系。如果能建立，我們就可以認(rèn)為兩者的數(shù)量相等。伽利略在自然數(shù)與偶數(shù)之間建立了如下的對應(yīng)關(guān)系。

自然數(shù)：0 1 2 3 4 5 6 …… n

↓ ↓↓↓↓ ↓ ↓ ↓

偶 數(shù)：0 2 4 6 8 10 12 ……2n

給出一個自然數(shù)，我們可以找出一個偶數(shù)與之對應(yīng)，給出的自然數(shù)不同，與之相對應(yīng)的偶數(shù)也不同；反過來，對于每一個偶數(shù)，我們都可以找到一個自然數(shù)與其對應(yīng)，偶數(shù)不同，所對應(yīng)的自然數(shù)也不同；由此我們稱自然數(shù)與偶數(shù)之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，所以自然數(shù)與偶數(shù)一樣多。其實不僅偶數(shù)與自然數(shù)一樣多，所有3的倍數(shù)、4的倍數(shù)也與自然數(shù)一樣多。

在無限中，“部分”可以等于“整體”。如果一個量等于它的一部分量，那么這個量必是無限量；反之，無限量必然可以等于它的某一部分量。