基于搜索論的遠程反艦導彈搜捕概率建模方法*

張建強，劉 忠，楊紅梅

(1.海軍工程大學 電子工程學院， 湖北 武漢 430033 ; 2.空軍預警學院， 湖北 武漢 430019)

基于搜索論的遠程反艦導彈搜捕概率建模方法*

張建強1，劉 忠1，楊紅梅2

(1.海軍工程大學 電子工程學院， 湖北 武漢 430033 ; 2.空軍預警學院， 湖北 武漢 430019)

針對傳統捕捉概率模型難以滿足遠程反艦導彈機動搜捕概率建模計算的問題，提出利用搜索論進行導彈機動搜捕概率計算的建模方法。該方法根據目標機動規律建立其分布概率密度函數，并依據末制導雷達發現目標概率的“倒四次方律”及彈目相對運動軌跡，構建其探測函數，通過求取兩者之積的積分實現搜捕概率計算。計算結果顯示：若遠程反艦導彈不采取機動搜捕策略，目標指示誤差增加1km時搜捕概率降低0.47，目標速度增加10節時搜捕概率降低0.3，末制導雷達搜索半徑減小50%時搜捕概率降低0.3；若采取平行搜捕策略，上述因素對其影響大幅下降。可見，該方法綜合考慮了目標機動規律、傳感器探測規律、導彈搜捕策略，可實現遠程反艦導彈機動搜捕概率的解算。

反艦導彈；末制導雷達；搜索論；搜捕策略；搜捕概率

(1.ElectronicsEngineeringCollege,NavalUniversityofEngineering,Wuhan430033,China;

2.AirForceEarlyWarningAcademy,Wuhan430019,China)

未來戰爭將主要是信息化的非接觸戰爭，遠程精確打擊是信息化戰爭的主要作戰樣式，反艦導彈遠程化趨勢日趨明顯[1]。然而，中遠程反艦導彈的射擊誤差、目標機動范圍等都隨其射程的增大而顯著增大[2]，但是遠程反艦導彈的末制導搜索區卻由于多種因素被限制在一個不大的區域內(方位搜索扇面角在±10°～±45°之間，距離在10km～30km范圍內)，難以完全覆蓋目標的可能散布區[3]。要解決這一難題就必須發展更先進的搜捕技術，其中采用機動搜索方式，充分利用遠程反艦導彈自身機動能力，在目標散布區進行某種特定的機動是提高導彈大范圍搜索捕獲目標能力的有效途徑[4]。因此，有必要建立遠程反艦導彈機動搜捕概率模型，為其機動搜捕策略的效果評估提供理論支持。

1 傳統導彈捕捉概率模型

目前，導彈捕捉概率計算方法基本采用基于導彈自控終點散布概率的傳統搜捕概率模型[5]，該模型假設導彈末制導雷達搜捕范圍覆蓋目標即認為捕捉成功。如圖1所示，當末制導雷達在Azk點開鎖搜索時，只要目標處于S內即被捕捉。換言之，當目標位于Mzk點時，導彈的自控終點只要散布在矩形S′內，目標就被捕捉，稱S′為導彈自控終點允許散布區，Azk點是其散布中心，散布區域矩形面積為2a×2b。

圖1 導彈自控終點允許散布區Fig.1 Allowed zone of auto-control end-point dispersion

因此，傳統導彈捕捉概率模型把捕捉概率計算問題轉化為自控終點落在允許散布區內的概率問題[6]，其計算模型為：

可以看出這種方法存在以下不足：①簡單認為導彈搜索區域覆蓋目標即捕獲目標，未考慮末制導雷達的探測規律；②只考慮了導彈自控終點散布概率誤差對捕捉概率的影響，未考慮目標初始位置及其機動導致的目標分布概率；③因難以構建具有航路規劃和機動搜索能力的遠程反艦導彈不同搜捕策略下的自控終點允許散布區,難以滿足此類導彈搜捕概率計算。

2 搜索論模型

搜索論主要研究利用探測手段機動搜索指定目標優化方案的理論和方法，已廣泛應用于衛星監視、資源勘探、海空失事救援以及制導武器搜捕目標等各個領域[7]。文獻[8]引入搜索論分析了導彈探測系統對彈道導彈的搜索過程，建立了不同目標指示條件下彈道導彈發現概率模型；文獻[9]利用搜索論建立了對地觀測衛星對海洋未知目標的搜索模型，實現衛星在有限的觀測時間內最大概率發現目標；文獻[10]針對傳統捕捉概率計算方法存在的不足，提出了基于搜索論的捕捉概率計算方法，實現了常見目標分布條件下的現在點射擊捕捉概率計算模型，但是該模型沒有進一步考慮反艦導彈末制導雷達探測規律(探測能力與目標距離關系)對其搜捕概率的影響，沒有考慮遠程反艦導彈不同搜索模式下其搜捕概率建模計算問題。為此，李建強等綜合考慮彈目相對運動規律[11]、雷達探測規律、導彈搜捕策略，建立基于搜索論的遠程反艦導彈捕捉概率模型，實現遠程反艦導彈不同搜捕策略下搜捕概率的建模計算，為具備智能機動搜索能力的遠程反艦導彈目標搜捕概率提供一種有效的建模計算方法。搜索論模型由目標分布概率密度函數、探測函數、發現潛能及搜索概率四個要素構成。

2.1 目標分布概率密度函數

“搜索”這一概念意味著，被搜索目標的運動要素(t時刻的位置、方位、航向、航速等)不能準確給出，但存在一定統計規律。在搜索論中，這種規律由某一形式的目標分布概率密度函數描述。假設目標位置空間Vn是空間Rn的一個子集，這里n=1,2,3，…。當時間t=0時，目標位置用向量X(0)=( X1(0),…, Xn(0))表示，則目標概率密度函數p(X)定義為[12]：

(1)

其中，當dVn→0時o(dVn)→0，并且滿足： ∫Vnp(X)n=1,p(X)≥0。

2.2 探測函數

探測函數是以搜索資源為自變量的探測概率，定義于空間Vn的探測函數為：

b ∶Vn×[0,)→[0,1]

(2)

由此，b(Vn, z)表示目標位于空間Vn中時，把z量的搜索資源施加于Vn而探測到目標的條件概率，是一個正則函數[13]。搜索資源可以是搜索軌跡路程、搜索掃描面積、搜索時間等。特別地，當搜索資源為時間t時，b(X,t)即為[0,t]內在X處發現目標的累積概率，則b(X,t)具有以下性質：

1-b(X,t+Δt)=[1-b(X,t)][1-γ(t)Δt]

(3)

其中，γ(t)為t時刻的瞬時發現率[14]，在此定義它為：搜索過程執行到時刻t尚未發現目標，而在t時刻以后的下一個單位時間內發現目標的概率。式(3)在初始條件為b(X,0)=0時的解為：

(4)

2.3 發現潛能

當搜索者和目標各自相對運動時，它們之間相對位置的變化會影響瞬時發現率γ(t)，也就是說γ依賴于它們之間的相對位置。假設C為其相對運動軌跡，t時刻目標相對位置為x=x(t),y=y(t)，那么γ(t)=γ(x(t),y(t))。根據探測函數的定義(4)可得：

b(X,t)=1-e-∫Cγ(x(t),y(t))dt=1-e-F[C]

(5)

其中，F(C)稱為發現潛能，具有可列可加性[15]。

2.4 搜索概率

若采用探測函數b(Vn, z)對空間Vn中概率分布密度函數為p(X)的目標進行搜索，則成功發現目標的總概率可表示為：

P(z)=∫Vnp(X)b[X,z(X)]dVn

(6)

3 基于搜索論的反艦導彈搜捕概率模型

反艦導彈雖然發射平臺可能不同(空射、艦射、岸射、潛射)，射程有所不同(遠程、中程、近程)，但其使用方式卻有許多共同點。通常首先由搜索兵力搜索并發現目標，并進行目標指示；然后，根據目標指示對導彈進行目標參數裝定，發射導彈；導彈發射后，在末制導系統工作前進行自控或程序飛行；導彈飛行至自控終點Azk時，末制導雷達即開始工作。末制導雷達依靠距離波門和波束的左右轉動形成扇形搜索區，以便捕捉目標。如果在搜索區內出現目標，則雷達有可能捕捉目標。當捕獲目標后，末制導雷達進入跟蹤狀態，控制導彈自動導向目標。反艦導彈搜捕目標原理圖，如圖2所示。

圖2 反艦導彈搜捕目標原理圖Fig.2 Principle diagram of anti-ship missile search target

3.1 目標分布概率密度函數

(7)

可見，目標規避機動時間t后，與原點距離R也服從均勻分布，其范圍為0～Vmaxt，又因其航向在0～2π內服從均勻分布，因此，目標規避機動時間t后均勻散布在如圖1所示的虛線圓O中。

3.2 直航搜捕模式的探測函數

若遠程反艦彈道未采取任何機動搜捕策略，而采取與近程反艦導彈相同的直航搜捕目標模式，采用上述基于搜索論的反艦導彈搜捕模型建模方法，建立反艦導彈直航搜捕模式探測函數。

假設：①從導彈末制導雷達開機到捕獲目標這一階段，由于導彈的速度v遠大于水面艦艇的速度Vm，可以近似認為Vm≈0，也就是說，目標的規避機動發生在導彈開機之前是最有效的；②由于導引頭的末制導雷達作用距離dl遠大于距離選擇搜索區半長a，因此從Aga到Agb的扇環形導引頭掃描區域，可用圖1中陰影部分的矩形區域代替；③目標艦艇初始位置為(z0,x0)。

在坐標系(Azk, X, Z)中，目標艦船相對于反艦導彈的被發現軌跡C即是從A′ga到A′gb的直線，因此，可表示為時間t的函數：

(8)

假設反艦導彈末制導雷達對目標的探測概率服從“倒四次方律”[17]，即：

(9)

其中：Y0為雷達恒虛警時的檢測門限；fr為雷達脈沖重復頻率；R0為信噪比為1時的雷達作用距離。

那么，反艦導彈對位于(z0,x0)艦艇的搜索發現潛能函數F[C]可以表示為時間t的函數：

(10)

令x=x0-vt，則F[t]變換為x的函數：

(11)

根據式(5)、式(11)可得直航式搜索的探測函數為：

b(z0,x0,x)=1-exp(f(x0-2a)-f(x0))

(12)

3.3 平行機動式搜索的探測函數

目前，在不能獲得目標精確定位信息的前提下，反艦導彈一般采用概略定位射擊[18]，此時由于遠程反艦導彈飛行時間長、目標機動范圍較大，導致目標大范圍散布，反艦導彈搜捕概率下降明顯，為充分利用遠程反艦導彈具有的火力機動能力增加搜捕目標概率，其搜索目標模式一般采用平行搜索模式，如圖3所示，在一個含有目標的矩形區域內，遠程反艦導彈按平行軌道依次向前搜索，平行軌道間的間隔寬度為W，Z為軌道長度。

圖3 平行搜索模式Fig.3 Parallel search strategy

由圖3可知，平行搜索模式下反艦導彈在nW(n=0, ±1, ±2，…，±m)平行軌道上對(x0,z0)處目標進行搜索，可等價于反艦導彈對 (x0-nW,z0)處的目標進行搜索。根據搜索發現潛能的可列可加性，可知平行搜索模式下反艦導彈對位于(x0,z0)的水面艦艇的搜索發現潛能F[x]可以表示為導彈在各個軌道nW上的直航式搜索潛能之和，即：

(13)

令x=x0-vt-nW，由式(5)、式(11)、式(13)可得平行搜索模式下的探測函數為：

(14)

3.4 基于搜索論的反艦導彈搜捕概率模型

不妨令：

(15)

轉化為極坐標系，聯立式(5)、式(6)、式(12)或式(14)，可得反艦導彈對圖1中所示圓O內均勻分布的目標的搜捕概率為：

(16)

4 計算示例

根據文獻[6]提供的反艦導彈參考數據，假設遠程反艦導彈搜索區縱向搜索半徑a=1km，橫向搜索半徑b=2km，射程為500km，自導距離dx=20km，自控飛行距離50km后末制導雷達開機搜捕目標，目標最大速度為30節。利用搜索論建立遠程反艦導彈捕捉概率模型，計算分析直航式搜索模式與平行機動搜索模式下，不同射擊距離條件下橫向搜索半徑b、目標機動速度以及目標指示誤差對遠程反艦導彈目標捕獲概率的影響。

4.1 橫向搜索半徑b對捕獲概率影響分析

如圖4(a)所示，當橫向搜索半徑為2km時，射擊距離超過150km后反艦導彈搜捕概率大幅下降。與之相比，當橫向搜索半徑擴大1倍到4km時，射擊距離接近350km時反艦導彈搜捕概率才開始大幅下降，此時捕捉概率與橫向搜索半徑為2km時下降0.47。可以看出對于遠程反艦導彈而言，隨著反艦導彈射程的不斷增大，橫向搜索半徑對遠程反艦導彈捕捉概率的影響越來越大。因此，擴大末制導雷達搜索扇面區域是提高其搜捕概率，增強作戰能力的有效途徑之一。

同時，若遠程反艦導彈采用機動搜索策略后其機動能力可大大彌補末制導雷達搜索扇面大小的影響，增強其作戰能力。如圖4(b)所示為橫向搜索半徑為2km、目標速度為30節時，目標散布半徑隨射擊距離的增大從2.5km增加到25km時，遠程反艦導彈分別采取平行式機動搜索和直航式未機動搜索兩種模式，其捕捉概率隨反艦導彈射程的變化趨勢，可以看出當遠程反艦導彈采用平行式機動搜索策略后其搜捕概率隨著射程的增大變化緩慢，與之相反若未采用機動搜索策略其捕捉概率隨著導彈射擊距離的增大迅速減小。

(a) b為2km、4km時的搜捕概率變化對比(a) Acquisition probability change comparison when b is 2 km, 4 km

(b)機動搜索與未機動搜索捕獲概率變化對比(b) Acquisition probability change comparison when taking maneuver search strategy or not圖4 橫向搜索半徑b對捕獲概率的影響Fig.4 Impact of lateral search radius b on acquisition probability

4.2 目標機動速度對捕獲概率影響分析

如圖5(a)所示，當橫向搜索半徑為2km、目標機動速度為30節時，射擊距離超過60km后反艦導彈搜捕概率大幅下降。相比而言，當目標機動速度為10節時，射擊距離超過160km時反艦導彈搜捕概率才開始大幅下降，此時與目標機動速度為30節時的搜捕概率下降0.29。可以看出對于遠程反艦導彈而言，隨著反艦導彈射程的不斷增大，目標機動對于遠程反艦導彈捕捉概率的影響越來越大，反艦導彈會因目標規避機動而迅速丟失目標。因此，為了提高目標規避機動情況下遠程反艦導彈的捕獲概率，增大反艦導彈速度縮短目標機動時間是一種有效方式。

(a)未采用機動搜索策略(a) Not taking maneuver search strategy

(b) 采用機動搜索策略(b) Taking maneuver search strategy圖5 目標機動速度對捕獲概率的影響Fig.5 Impact of target maneuver velocity on acquisition probability

考慮到導彈速度提高的技術復雜性，在不改變導彈速度的前提下，若遠程反艦導彈采用機動搜索策略，其機動能力可大大減少目標規避機動對其搜捕概率的影響。如圖5(b)所示，當橫向搜索半徑為2km、目標機動速度為30節時，射擊距離超過300km后反艦導彈搜捕概率才開始緩慢下降，直至射程達到500km時捕捉概率僅下降了0.06。

4.3 目標指示誤差對捕獲概率影響分析

如圖6(a)所示，目標指示誤差對直航式遠程反艦導彈捕捉概率影響較大。當橫向搜索半徑為2km、目標機動速度為20節時，目標指示誤差增加1km，捕獲概率大幅下降0.43。因此,在作戰使用過程中，要最大程度地降低目標定位誤差和時間延時誤差，提高遠程反艦導彈目標捕獲能力。

(a)未采用機動搜索策略(a) Not taking maneuver search strategy

(b) 采用機動搜索策略(b) Taking maneuver search strategy圖6 目標指示誤差對捕獲概率的影響Fig.6 Impact of target indication error on acquisition probability

但是，當提供目標指示的探測平臺觀測精度不能滿足遠程反艦導彈精確射擊條件，而僅給出目標概略位置信息時，遠程反艦導彈若采用機動搜索策略，其機動能力可大大減少目標指示誤差對其搜捕概率的影響，大大提高遠程反艦導彈概略射擊效果。如圖6(b)所示，當遠程反艦導彈采用平行機動搜索模式，目標指示誤差為1km時目標搜捕概率隨著射擊距離的增加保持0.95基本不變，即便是增加到10km，目標搜捕概率也僅從0.935下降到0.918。

5 結論

1)基于搜索論的遠程反艦導彈機動搜捕概率建模計算方法不僅考慮了目標初始位置及目標機動規律形成的目標分布概率密度，同時還構建了用于描述末制導雷達探測目標規律的探測函數，與傳統導彈搜捕概率模型相比，該方法更加貼合實際，計算示例也顯示了該方法的合理有效性。

2)基于搜索論的遠程反艦導彈機動搜捕概率建模計算方法采用基于彈目相對運動軌跡的發展潛能函數解決了傳統導彈搜捕概率模型難以實現的機動搜捕策略下的搜捕概率建模計算問題。

3)基于搜索論的遠程反艦導彈機動搜捕概率計算結果顯示：在未采取機動搜索策略的情況下上述因素對遠程反艦導彈目標搜捕概率的影響較大；與之相反，若采取平行搜索策略，上述因素對其影響大幅下降；說明隨著反艦導彈射程的不斷增大，中遠程反艦導彈自控飛行時間越來越長，目標指示精度、目標機動速度和末制導雷達搜索范圍等因素對其搜捕概率的影響程度，都隨著反艦導彈巡航時間的增長而顯著增大，而采用機動搜索方式，是擴大反艦導彈搜捕范圍、提高搜索捕獲目標能力的有效途徑。

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The target acquisition probability modeling method of long-range anti-ship missile based on search theory

ZHANG Jianqiang1, LIU Zhong1, YANG Hongmei2

Sincethetraditionalcaptureprobabilitymodelcannotsolvetheproblemoflong-rangeanti-shipmissile’stargetcapturecalculation,amodelwasputforwardtoworkoutitsmaneuveracquisitionprobabilitybyusingsearchtheory.Thetargetdistributionprobabilitydensityfunctionwasestablishedaccordingtothetargetmaneuveringrules.Accordingto"invertedfourtimessquarelaw"oftheterminalguidanceradartargetdetectionprobabilityandmissiletargetrelativemotiontrajectory,theanti-shipmissile’sdetectionfunctionwasconstructed.Thetargetacquisitionprobabilitycouldbecalculatedbytheintegraloperationoftheirmultiplication.Thecalculationresultsshowthat,iflong-rangeanti-shipmissilesdonottakemaneuversearchstrategy,acquisitionprobabilitydecreasesby0.47whentargetindicationerrorincreases1km,acquisitionprobabilitydecreasesby0.3whentargetvelocityincreases10knot,andacquisitionprobabilitydecreasesby0.3whenterminalguidanceradarsearchradiusreducedby50%.Iftheanti-shipmissiletakesparallelsearchstrategy,theimpactofabovefactorsonitsacquisitionprobabilityhasfallendramatically.Thismethodtakesthefollowingfactorsintoaccount,suchastargetmaneuverrules,sensordetectionrulesandmissileacquisitionstrategy,andthemaneuveracquisitionprobabilityoflong-rangeanti-shipmissilecanbefiguredoutaccordingly.

anti-shipmissile;terminalguidanceradar;searchtheory;searchstrategy;acquisitionprobability

2015-02-03

國家自然科學基金資助項目(61401493)；國家部委基金資助項目(9140A01060113JB11012)

張建強(1980—)，男，山東昌樂人，博士研究生，E-mail：jianqiang97176@163.com；劉忠(通信作者)，男，教授，博士，博士生導師，E-mail：liuzhong0602@163.com

10.11887/j.cn.201504030

http://journal.nudt.edu.cn

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