跳穩健積分波動率估計量的研究

魏正元，趙瑜，張鑫

（重慶理工大學數學與統計學院，重慶400054）

跳穩健積分波動率估計量的研究

魏正元，趙瑜，張鑫

（重慶理工大學數學與統計學院，重慶400054）

度量和預測資產價格的波動在金融計量學的多個領域起著關鍵的作用，為了更深刻地理解金融市場，基于高頻金融數據的波動率研究更具有價值和意義?；谝褜崿F方法與最鄰近截尾的思想，構建了積分波動率的一種新的估計量——三項最小值已實現波動（TMinRV）。在模型假設下，證明了該估計量的相合性及跳存在情況下所遵循的漸近極限理論。實證研究選取上證綜指和深證成指5分鐘高頻金融數據對TMinRV進行研究，并且將其與MinRV和MedRV進行對比，發現TMinRV能夠更好地消除價格跳躍帶來的波動，TMinRV的有效性及穩健性優于MinRV和MedRV，它能夠更加準確地估計金融資產收益的波動。

高頻金融數據；TMinRV；積分波動率；穩健性

波動率是進行資產定價、風險管理、投資組合選擇等的基礎，波動率研究一直是金融計量學多個領域研究的起點、基礎和核心工作。對于低頻金融時間序列，多采用ARCH類模型和SV類模型對波動率進行研究，而高頻金融時間序列由于包含了更多的市場信息，基于高頻金融數據的波動率研究更具有價值。Andersen和Bollerslev等在此方面做出了開創性的貢獻，他們提出了一種全新的波動率度量方法——“已實現”波動（realized volatility，RV），其具有無模型、計算簡便，并且在一定條件下是積分波動的無偏估計量［1］等優點。受“已實現”波動思想的啟發，學者們對“已實現”波動率估計量不斷進行改進和擴展，提出了其他“已實現”類波動率估計量，如“已實現”極差波動（realized range-based volatility，RRV）［2］，“已實現”雙/三/多冪變差（realized bipower/tripower/mutipower variation，RBV/RTPV/RMPV）［3-5］等，其中RBV、RTPV、RMPV克服了RV不穩健性的缺點。國內方面，張世英［6-8］等考慮到日歷效應的影響，提出了賦權的“已實現”波動/雙冪變差/極差（WRV/WRBV/WRRV）。Andersen et al.（2012）［9］分別在RBV、RTPV的基礎上提出了較之具有更好有效性和穩健性的最小值已實現波動率（MinRV）和中位數已實現波動率（MedRV）。

本文提出了三項最小值已實現波動率（TMinRV），通過近似地尺度化3個連續日內絕對收益率的最小值的平方而達到了跳穩健性，同時證明了該估計量是積分方差的相合估計量，并且得到了相應的漸近分布理論。通過對上證綜指和深證成指的實證研究表明，TMinRV比MinRV和MedRV更加穩健。

1　TM inRV估計量

假設X=｛X｝0≤t≤1是一個定義在帶濾子的概率空間（Ω，F，（Ft）t≥0，P）上的一維的連續時間對數價格過程，滿足下述隨機微分方程

其中μ是一個局部有界的可料過程，σ是一個適應的càdlàg（右連續，左極限存在）有界大于0的隨機過程，W是標準布朗運動，是有限純跳過程，κj表示跳躍的大小，L是計數過程。Xt在一個單位交易日［0，1］上的N+1個等距離散點0≤t0＜t1＜…＜tN≤1上觀測，相應的收益率和時間區間分別表示為ΔXi=Xti-Xti-1和Δti=ti-ti-1，i=1，2，…，N。

金融資產收益率的波動一般是通過X的二次變差的連續部分來實現的，即積分波動率

在一般情況下，通常取時間區間為［0，1］，即給定的某一天。

1.1TM inRV的定義

受Andersen et al.（2012）［9］思想的啟發，本文通過3個連續日內絕對收益率最小值的平方來定義積分波動率的一種新的相合的跳穩健估計量，首先給出如下定義。

定義三項最小值已實現波動（third minimum realized volatility）定義為

TMinRV估計量的相合性和跳穩健的直觀性很明顯，如果ΔXi-1，ΔXi，ΔXi+1～i.i.d.N（0，1），則

1.2 TM inRV的相合性和漸近分布理論

假設X在區間［0，1］上N+1個等時間間隔點觀測，第i個觀測值表示為Xi/N，i=0，1，…，N。相應的對數收益率表示為ΔNiX=Xi/N-Xi-1/N，i=1，2，…，N。我們引入長度為M（M≥1）的非重疊收益率區塊，

則樣本有K=N/M個這樣的區塊。

定義變量

令函數f∶R3R+且

則對于任何兩個三維向量x?=（x1，x2，x3），y?=（y1，y2，y3），及常數C，有

由以上說明可將IV的TMinRV估計量寫作

為了給出并證明TMinRV的相合性及漸近分布理論，繼續作如下說明，令

由Burkholder-Davis-Grundy不等式有

其中p＞0，C是一個正的常數，在本文不同處代表不同的值。

現將IV的基本估計量分解為條件期望和不同鞅序列的和

其中：

假設1令Xt是對數價格過程并假設其服從一個Brownian半鞅

其中μ，σ同上文所述，且進一步假設函數μ，σ是一致有界的，inft＞0σt＞0。

假設2假設波動過程服從廣義It?過程，即

證明首先證明引理1的第一部分，令

從而

由于

所以

事實上式（9）右邊第一項是依概率收斂于0的，由式（7）可知

結合Cauchy-Schwartz不等式和Jensen不等式，當N→∞時，

由上述收斂可知，當N→∞時，

為了證明此引理的第二部分，需要更強的條件假設2成立，事實上

引理2若假設1成立，并且當N→∞時，H2N→—P0。

證明

又因為

所以

根據三角不等式及（7）式知，當N→∞時有

其中g（x）=x2，上式最后一步成立是文獻［11］中的特殊情形。是顯然的，由得到，進而得到，即當N→∞時

引理4若假設1成立，則當N→∞時，有R2N-H2N→—P0；若假設1和假設2同時成立，則當N→∞時，有。

證明要證引理的第一部分，只需證明其第二部分。令

其中g（x）=x2，上式最后一步成立是文獻［11］中的特殊情形。

即當N→∞時，

引理5若假設2成立，則當N→∞時，

其中γ=Var［f（V0，V1）］+2Cov［f（V0，V1），f（V1，V2）］，V0，V1，V2～i.i.d.N（0，1）。

證明將N個收益率觀測等間隔地化分為K個區塊，第K個向量記為，相應的漸近布朗運動觀測向量為通過函數hM（·）∶RMR定義波動率的區塊估計量

可通過Jacod and Shiryaev［12］中定理IX.7.28證明此引理。接下來只需說明定理IX.7.28的條件（7.27）—（7.31）成立：

最后，令｛Nt｝t∈［0，1］是W的有界半鞅，對于每個區塊k，有

其中：γ=Var［f（V0，V1）］+2Cov［f（V0，V1），f（V1，V2）］，V0，V1，V2～i.i.d.N（0，1）。

下面我們分別通過兩個命題給出TMinRV的相合性及漸近分布理論。

命題1假設對數價格過程Xt滿足式（1），進一步假設其中μt是適應的、局部有界的，σt是適應的、左極右連的且inft＞0σt＞0，a.s.則當N→∞時，。

證明對RN作如下分解：RN=R1N+R2N=H1N+H2N+（R1N-H1N）+（R2N-H2N）。

命題2假設對數價格過程Xt滿足式（1），進一步假設其中μt是適應的、局部有界的，σt是有界的，σt≠0且服從假設2所給出的It?過程，則當N→∞時，

其中γ=Var［f（V0，V1）］+2Cov［f（V0，V1），f（V1，V2）］，V0，V1，V2～i.i.d.N（0，1）。

證明為了方便證明，首先作如下分解

由上述引理1，引理3～6知，當N→∞時，

并且，而其中γ代表常數。從而可知當N→∞時，

2　實證研究

本文選取2013.1.4—2013.12.31上證綜指和深證成指5分鐘間隔時間段的高頻金融數據作為實證研究的樣本，這期間共有238個交易日，共有238×51=12 138個數據。（數據從銳思數據庫下載http：// www.resset.cn）

在上證綜指5分鐘時間間隔的對數價格序列中，找出相鄰2個對數價格差絕對值最大的時間點為第5 585和5 586個時間點，可將其看作對數價格序列中的跳躍點，它對應第110天的第26個日內對數價格收益率。圖1給出了［5 000，7 000］區間上的對數價格路徑圖，由圖可見，在第5 585個時間點處發生了跳躍。圖2給出了［105，120］區間上的TMinRV、MinRV和MedRV，其中折線代表TMinRV，星點代表Min-RV，圈點代表MedRV。由圖可清晰地看出第110天的TMinRV明顯小于MinRV和MedRV，說明TMinRV能更好地消除跳躍帶來的波動。

對深證成指作類似于上證綜指的分析，在第1 837和1 838個時間點相鄰2個對數價格差絕對值最大，同樣可看作對數價格序列中的跳躍點，對應第37天的第1個日內對數價格收益率。圖3給出了［1500，3 000］區間上的對數價格路徑圖，由圖可見，在第1 837個時間點處發生了跳躍。圖4給出了［33，63］區間上的TMinRV、MinRV和MedRV，其中折線代表TMinRV，星點代表MinRV，圈點代表MedRV。由圖可清晰地看出第37天的TMinRV明顯小于MinRV和MedRV。

圖1　上證綜指5分鐘數據部分對數價格路徑圖

圖2　上證綜指TMinRV與MinRV、MedRV部分圖

圖3　深證成指5分鐘數據部分對數價格路徑圖

圖4　深證成指TMinRV與MinRV、MedRV部分圖

根據本文所定義的三項最小值已實現波動率（TMinRV）及Andersen et al［9］的最小值已實現波動率（MinRV）和中位數已實現波動率（MedRV）可以分別算出上證綜指和深證成指對數收益率的上述3種估計量的描述性統計特征，如表1。

表1　TMinRV與MinRV及MedRV的描述性統計特征

由表1可知：首先，兩種指數的TMinRV的均值和方差都比MinRV和MedRV小，說明TMinRV估計量較穩定，穩健性更好；其次，各樣本的TMinRV的峰度均小于MinRV和MedRV的峰度，說明TMinRV的估計值的分布更加集中。

圖5～8分別展現了上證綜指和深證成指在2013年的238個交易日的TMinRV與MinRV，TMinRV與MedRV的對比圖。由圖可以直觀地發現，無論是上證綜指還是深證成指，從總體趨勢而言TMinRV始終比MinRV和MedRV更加穩定。

圖5　上證綜指的TMinRV與MinRV

圖6　上證綜指的TMinRV與MedRV

圖7　深證成指的TMinRV與MinRV

圖8　深證成指的TMinRV與MedRV

3　總結及展望

本文采用非參數方法構建了三項最小值以實現波動（TMinRV），從理論和實證兩方面對所提出的TMinRV的統計特征進行了理論證明和實證分析。理論方面首先給出了一系列引理，繼而以定理的形式給出并且證明TMinRV是積分波動率的相合估計量，且服從漸近正態分布；實證方面通過對上證綜指和深證成指2013.1.4—2013.12.31的5分鐘高頻金融數據研究表明所提出的TMinRV具有有效性及穩健性，是比MinRV和MedRV更優的積分波動率估計量，從而進一步證實了本文的理論結論。TMinRV不需要類似于GARCH的模型假設，可直接由觀測的數據進行計算，計算簡便操作性強，可以考慮將TMinRV拓展為賦權三項最小值已實現波動，亦可將最鄰近截尾的理論方法拓展到一般的積分冪變差的估計量，這些工作有待進一步深入研究。

［1］Andersen TG，Bollerslev T，Diebold F X，et al.Exchange rate returns standardized by realized Volatility are（Nearly）Gaussian［J］.Multinational Finance Journal，2000，4：159-179.

［2］Christensen K，Podolskij M.Realized range-based estimation of integrated variance［J］.Journal of Econometrics，2007，141（2）：323-349.

［3］Guangying Liu，Xinsheng Zhang.Power variation of fractional integral processeswith jumps［J］.Statistics&Probability Letters，2011，81（8）：962-972.

［4］Mykland PA，Shephard N，Sheppard K.Econometric analysis of financial jumps using efficient bipower variation［R］.Working paper，Oxford-Man Institute，University of Oxford，2010.

［5］Mykland PA，Zhang L.Inference for continuous semimartingales observed at high frequency［J］.Econometrica，2009，77（5）：1403-1445.

［6］郭名媛，張世英.賦權己實現波動及其長記憶性、最優頻率選擇［J］.系統工程學報，2006，21（6）：568-573.

［7］李勝歌，張世英.金融波動的賦權“己實現”雙冪次變差及其應用［J］.中國管理科學，2007，15（5）：9-14.

［8］唐勇，張世英.金融高頻數據的加權己實現極差波動及其實證分析［J］.系統工程，2006，24（8）：52-57.

［9］Andersen TG，Bollerslev T，Diebold F X，et al.Jump-robust volatility estimation using nearest neighbor truncation［J］.Journal of Econometrics，2012，169（1）：75-93.

［10］Barndorff-Nielsen O E，Graversen SE，Jacod J，etal.A central limit theorem for realised power and bipower variations of continuous semimartingales［M］.Berlin：Springer，2006.

［11］Shephard N，Barndorff-Nielsen O E，Graversen SE，etal.Limit theorems for bipower variation in financial econometrics［J］.E-conometric Theory，2006，22（4）：677-719.

［12］Jacod J，Shiryaev A N.Limit theorems for stochastic processes.In：Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften［M］.Berlin：Springer，2003.

（責任編輯陳艷）

Study of Jum p-Robust Integrated Volatility Estim ation

WEIZheng-yuan，ZHAO Yu，ZHANG Xin
（School of Mathematics and Statistics，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

Measuring and forecasting the volatility of financial asset returns plays a very important role in many areas of financial econometrics.To understand the financialmarket deeply，it is valuable and meaningful to study volatility based on high frequency financial data.We provided a novel jump-robust estimator of integrated variance based on the realized method and the theory of nearest neighbor truncation which is named third minimum realized volatility（TMinRV）.Under the model assumption，we proved the robustness and an asymptotic limit theory in the presence of jumps.By selecting the fiveminutes high frequency financial data of ShanghaiComposite index and Shenzhen Component index，empirical analysis on the statistical property of TMinRV shows that TMinRV can eliminate the influence of price jumpsmore effectively and estimate asset return volatilitymore steady.

high-frequency financial data；third minimum realized volatility（TMinRV）；integrated volatility；jump robustness

O21

A

1674-8425（2015）06-0134-10

2015-02-11

重慶市自然科學基金資助項目（cstc2012jjA00018）；重慶市教委科學技術研究項目（KJ130810）；重慶市高等教育教學改革研究項目（1203053）

魏正元（1975—），男，博士，副教授，主要從事應用概率統計、金融統計、金融數學研究。

魏正元，趙瑜，張鑫.跳穩健積分波動率估計量的研究［J］.重慶理工大學學報：自然科學版，2015（6）：134 -143.

format：WEI Zheng-yuan，ZHAO Yu，ZHANG Xin.Study of Jump-Robust Integrated Volatility Estimation［J］. Journal of Chongqing University of Technology：Natural Science，2015（6）：134-143.