運用幾何直觀建構“倍”

余慶燕

【設計理念】“倍”的知識本質上是兩個量的比較，比較兩個數量的大小，有兩種基本方法。一種是比較它們的差（相差問題），一種是比較它們的比率關系（倍比問題）。前者在學生頭腦中建構的是“加法結構”，而要真正理解兩個量或多個量之間的比率關系就需要在學生頭腦中建構起“乘法結構”，“倍”的學習正是建構乘法結構的開始。教材是利用學生已有的知識，利用“幾個幾”引出倍的含義后，再從除法的角度加深對倍的概念的理解，讓學生體會倍的本質。由于倍的概念涉及兩個量之間的比較，十分抽象，不好理解。而借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，幫助學生直觀地理解“倍”。因此筆者試圖通過多種直觀形式來實施教學，為學生提供參與幾何直觀活動的機會，積累用圖示學習數學的經驗。實現從“加法結構”到“乘法結構”的轉變，真正理解“倍”。

【教學目標】

1.通過觀察、比較、操作，溝通“幾個幾”和“倍”的聯系，建立“倍”的概念，理解“倍”的含義，并能運用“倍”的知識解決生活中的實際問題。

2.體驗生活中處處有“倍”的知識存在，對“倍”的知識產生興趣。

【教具準備】多媒體課件，三種蘿卜的圖片。

【教學過程】

一、激趣引入

課件展示教材P50主題圖。

師：秋天到了，一群可愛的兔子在地里拔蘿卜呢。你們瞧，從圖中，你發現了哪些數學信息？

師：你能把各種蘿卜準確地擺在黑板上嗎？

師：你能說一說它們的數量以及它們之間的數量關系嗎？誰來說？

師：剛才大家對兩個量進行了比較，找出了一個數比另一個數多幾或少幾。其實呢，除了這種數量關系，它們之間還存在另一種數量關系，看看大家能不能通過仔細觀察、認真思考，把它找出來。想試試嗎？

【設計意圖】從學生熟悉的兩個量之間的加法關系入手，引出“兩個量之間還存在另一種數量關系”來激發學生的探究欲望。同時在排列蘿卜時，讓學生思考如何排列更易于比較，也是對學生有序思考的滲透。

二、探究新知

1.在直觀中初步認識“倍”。

（1）師：為了便于研究，我們先從數據小的開始，那我們就先來研究胡蘿卜和紫紅蘿卜，讓胖胖的白蘿卜在旁邊稍等。

教師動手把黑板上的2根胡蘿卜靠緊，畫圈。問：這樣表示什么？

教師拿2根紫紅蘿卜。問：紫紅蘿卜有幾根？如果把2根胡蘿卜看作一份，這2根紫紅蘿卜能不能也看作1份？紫紅蘿卜也就是有1個2根。

師：把2根胡蘿卜看作1份，紫紅蘿卜也有這樣的1份，也就是有1個2根，那我們就說，紫紅蘿卜的根數是胡蘿卜的1倍。（板書：倍）

師：如果小兔子拔的紫紅蘿卜有6個2根、10個2根呢？紫紅蘿卜的根數又是胡蘿卜的幾倍？

師小結：剛才大家通過擺一擺、圈一圈發現了——把2根胡蘿卜看作1份，紫紅蘿卜有這樣的幾份，那么紫紅蘿卜的根數是胡蘿卜的幾倍。

（2）師：白蘿卜的根數是胡蘿卜的幾倍？怎么讓人一眼看出這兩種蘿卜之間的倍數關系？

師：請同學們用你手中的學具擺一擺吧，注意擺好后能讓人一眼就看出它們之間的倍數關系。

師：說一說，為什么是每2根白蘿卜擺在一起呢？怎么不是每3根或每4根地放呢？

師：你能帶著大家完整地說一說嗎？（把2根胡蘿卜看成1份，白蘿卜有這樣的5份，也就是有5個2根，那么白蘿卜的根數是胡蘿卜的5倍）

師：根據大家的想法，我們在黑板上圈一圈吧。（每2根白蘿卜圈一圈）

師：小結：在尋找兩個數之間的倍數關系時，最重要的是要明確把誰看作標準，然后按標準來圈，就能準確找到它們之間的倍數關系。

【設計意圖】本環節分兩個層次，第一個層次是通過教師的直觀演示，讓學生明白把2根胡蘿卜看作一份，當紫紅蘿卜也有2根時，和胡蘿卜的1份的數量是一樣多的，就可以說紫紅蘿卜的數量是胡蘿卜的1倍，從兩個量的數量“同樣多”到“1倍”是符合學生的認知基礎的。在認識2倍、3倍后，學生就把“倍”的知識與“幾個幾”建立起初步的聯系。第二個層次是學生運用學具具體地擺一擺，找到白蘿卜和胡蘿卜之間的倍數關系。通過教師的追問明確了擺的時候要把哪個量看作標準，以此突出標準的重要性。

2.在變化中深入認識“倍”。

（1）現在小兔子又拔了一根胡蘿卜，現在的胡蘿卜有3根，紫紅蘿卜是胡蘿卜的幾倍？（課件演示）

師：為什么現在是2倍呢？

（2）一只貪吃的小兔吃了一根紫紅蘿卜，現在白蘿卜的個數（10根）是紫紅蘿卜（5根）的幾倍？（課件演示）

師：說一說你是怎么想的。

【設計意圖】通過連續的情境變化，不斷改變兩個比較量的數量，讓學生在變化中進一步認識倍，感受比較時標準的重要性，明確誰和誰在比，再找出倍數關系，同時滲透比例的思想。

3.在畫圖中延伸“倍”的認識。

師：小兔子不僅收獲了蘿卜，還收獲了白菜，白菜有幾棵呢？我們一起來看看——白菜的數量是紫紅蘿卜的2倍。

師：誰來說一說白菜要跟誰比，要把誰的數量看作一份呢？白菜有這樣的幾份？

師：如果老師請大家把自己的想法畫出來，你想怎么畫？請大家在練習紙上先畫圖，再說一說你是怎么想的。

師：小結——在解決這個問題的時候，大家都注意到了把什么看作一份，再去思考有這樣的幾份，就能求出結果了，條理和思路都很清晰。同時，大家也發現畫圖是解決問題的好幫手，以后再遇到問題的時候，我們可以嘗試畫圖來幫助思考。

【設計意圖】在此增加了教材情境中所沒有的白菜，目的是為了提供學生運用幾何直觀進行思考的機會，給他們創設自主畫圖的空間。白菜的數量是紫紅蘿卜的2倍，如何用圖來表示呢？學生要思考把誰的數量看作標準，白菜有幾個這樣的1份，與幾個幾的知識緊密聯系。同時在畫的時候還要思考怎么畫能更簡潔，就突出了符號化的意識。

三、鞏固認識“倍”

1.比一比誰的眼睛亮，找到兩個數量間的倍數關系。

師：6是3的2倍，8是4的2倍，為什么物體不同、數據不同，但都是2倍呢？

【設計意圖】練習的目的是在之前學習的基礎上，感悟出“倍”的本質，與物體、具體數量無關，與一個數中有幾個這樣的數有關。去除非本質的屬性，抓住本質屬性，這樣對倍的認識就完整了。

2.你能找到生活中哪兩個量之間存在倍數關系嗎？

四、總結提升

師：今天我們認識了倍，現在一起來回顧今天的學習吧。我們用擺一擺、圈一圈、畫一畫的方法來學習倍的知識，還找到了倍的知識和乘法的幾個幾之間的聯系，用舊知識解決新問題。希望大家在學習中能不斷總結學習方法，讓自己的數學水平成倍增長。

附板書設計：

倍的認識

（作者單位：福建省閩侯縣教師進修學校 責任編輯：王彬）endprint