基于模型匹配原則的線性系統控制器設計

葉 倩

（無錫職業技術學院，江蘇 214121）

0 引言

控制系統中不可避免地存在誤差或不確定性，一方面由于被控對象難以用精確的數學模型進行描述而導致的模型誤差或不確定性，另一方面由于控制過程的進行，被控對象本身的特性發生變化而導致的不確定性。經典控制理論雖然在一定程度上能處理相關單變量控制系統的不確定性問題，但存在明顯的湊試性，且僅限于系統存在微小攝動的不確定性情況；狀態空間方法能較好地解決多變量控制系統的分析和綜合問題[1]，設計狀態反饋控制器可獲得較好的穩定裕度，但對于攝動的魯棒性不夠理想[2]。Zames于1981年首次提出了利用控制系統內某些信號間的傳遞函數的H∞范數作為優化指標的設計思想[3]。本世紀初，美國弗吉尼亞大學Iwasaki等[4,5]將H∞控制問題歸結為求解線性矩陣不等式問題，提出了廣義Kalman-Yakubovic-Popov（KYP）引理，從而將H∞控制問題轉化為一個凸優化問題來處理。文獻[6]提出了窗口H∞范數概念，給出了低頻段PID控制器設計方法。

本文將從中頻段角度考慮連續線性系統的新型PID控制器設計問題，利用廣義KYP引理將頻域進行分段，并基于模型匹配原則將PID控制器設計轉化為求相應區域內H∞范數構成的不等式最優解問題，進一步地將問題轉化為求解與系統狀態空間參數相關的線性矩陣不等式可行解問題，最后給出一個數值例子來驗證所提控制設計方法的有效性。

1 預備知識

1.1 近似模型匹配

圖1 典型線性控制系統結構圖

考慮圖1所示控制系統結構。其中，z表示PID控制器；G(s)表示被控對象傳遞函數。根據模型匹配原則[7]，選擇一個參考模型，其開環傳遞函數記作Gε(s)，則控制器D(s)的設計可通過求解下述不等式得到：

其中，ε是一給定的正實數。ε取值越小，模型匹配的效果越好。

1.2 KYP引理

對于矩陣M，其轉置及共軛轉置分別記作MT和M*。M是Hermitian矩陣, 即滿足M=M*。對于矩陣Φ和P，它們的Kronecker乘積記作PΦ?。將2×2的Hermitian矩陣集記作?。定義函數:σ×→???為：

引理1（KYP引理, [5]）給定復矩陣A,B, Π= Π*和(Φ, Ψ)∈Ω，其中：

設(A,B)是能控的，并且A不含特征值λ使得σ( λ, Φ ) = 0 成立。那么以下陳述等價：

1）對于A的所有特征值λ∈Λ，下述不等式成立：

2）存在Hermitian矩陣P和Q，滿足Q>0，且：

由引理1可知，通過選擇合適的矩陣Φ和Ψ，Λ可表示頻域范圍內的某一特定區段。對于連續控制系統，可取，則，其中F是實數域的子集，其具體表示的頻域范圍可由Ψ的選取唯一確定。

2 控制器設計

下面將給出本文在不同頻段控制器設計的主要結果。

2）存在實對稱矩陣P和Q，滿足Q>0，使得：

利用實矩陣M滿足M*=MT的事實，將上式展開得：

其對應矩陣形式為：

令：

則根據引理1可得, 其成立的充要條件是存在P和Q，滿足Q>0，使得：

成立。 證畢。

定理1的對偶形式由如下推論給出。

2）存在實對稱矩陣P和Q，滿足Q0＞，使得：

注意到定理1中矩陣不等式在仿真和實際應用中不方便求解，下面給出簡便求解線性矩陣不等式的結果。

2）存在實對稱矩陣P和Q，滿足Q＞0，使得：

整理得：

將上面不等式左邊第一項進一步矩陣相乘合并得：

3 數值仿真

我們需要設計PID控制器D(s)使得系統在單位階躍輸入下輸出響應的中頻段沒有靜態誤差。控制器的傳遞函數和狀態空間表達式的各項系數為：

根據傳遞函數與狀態空間表達式之間的轉換關系可得：

相應地，匹配模型的開環傳遞函數可表示為：

圖2 階躍響應曲線

圖3 伯德圖

4 結束語

本文提出了基于模型匹配原則的PID控制器新方法，文獻[6]給出了低頻段的設計方法，本文針對線性控制系統的中頻段提出了普適性的定理和推論，應用這些定理及推論便可將PID控制器的優化設計轉化為與系統狀態空間參數相關的線性矩陣不等式可行解的求解問題，數值仿真例子驗證了所設計方法在保證系統魯棒穩定的情況下，能提高相應頻段的性能，滿足設計要求。

[1] 王娟,張秀華.基于LMI的一類不確定奇異系統的魯棒控制[J].控制工程,2013,20(4):691-693+698.

[2] 褚健,俞立,蘇宏業.魯棒控制理論及應用[M].杭州:浙江大學出版社,2000.

[3] Zames G.Feedback and optimal sensitivity: model reference transformations, multiplicative seminorms and approximation inverses[J].IEEE Trans. Automatic Control,1981,26(2):301-320.

[4] Iwasaki T, Hara S.Generalized KYP lemma: unified frequency domain inequalities with design applications[J].IEEE Trans.Automatic Control,2005,50(1):41-59.

[5] Iwasaki T,Hara S.Generalization of Kalman-Yakubovic-Popov lemma for restricted frequency inequalities[C].Proc.of American Control Conference 2003,Denver,Colorado,June 4-6,2003,pp. 3828-3833.

[6] Ma G L, Chen Q, Hu W.Optimal design of PID controller based on window H∞ norm[J].Acta Automatica Sinica,2007,33(9):1000-1003.

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