基于改進PSO算法的數控機床主軸優化設計

朱成實　勾延生　李鐵軍　李尚帥

沈陽化工大學,沈陽,110142

基于改進PSO算法的數控機床主軸優化設計

朱成實勾延生李鐵軍李尚帥

沈陽化工大學,沈陽,110142

通過分析主軸結構和加工過程中受載變形情況, 建立了主軸優化設計的數學模型。根據鄧克萊法計算得到的一階固有頻率近似值，引入動態約束條件 。針對傳統優化設計方法在解決主軸優化設計中出現的問題，引入粒子群優化 (PSO) 算法，并提出了一種慣性權重值適應性遞減的粒子群(ADW)算法。將ADW算法用于數控機床主軸優化實例中，得到主軸結構參數優化組合。研究結果表明，運用所建立的主軸優化設計數學模型及改進粒子群算法可以得到主軸結構參數優化組合，充分顯示了該研究方法的有效性。

數控機床主軸;數學模型;粒子群算法;慣性權重;優化設計

0　引言

機床主軸是機床的重要部件,它直接參與機床加工，其性能直接影響生產率、表面粗糙度和加工精度，是決定機床性能的重要因素[1-3]。主軸的結構參數是影響主軸性能的關鍵指標，因而對主軸結構參數進行優化設計是十分必要的[4-5]。傳統的優化設計方法存在求解過程復雜和尋優過程困難的問題[6]，而粒子群算法是一種容易實現、調整參數不多且其本身沒有復雜數學操作的優化算法[7-8]。本文采用一種新型的粒子群算法對主軸結構參數進行優化設計,使優化過程得到簡化,取得了較好的效果。

1　改進粒子群算法

粒子群優化(particle swarm optimization,PSO)算法是由Kennedy等[9]在1995年基于鳥群覓食行為提出的一種隨機優化算法。后來Shi等[10]引入慣性權重w來更好地平衡探索(exploration)和收斂(convergence),形成了現有的標準PSO算法。粒子群算法首先初始化一群隨機粒子,然后通過迭代找到最優解。在每一次迭代中,粒子根據下式來更新自己的速度和位置:

vi,k+1=wvi,k+c1r1(pi-zi,k)+c2r2(pg-zi,k)

zi,k+1=zi+vi,k+1

其中,zi表示第i個粒子的位置，pi為粒子當前找到的個體最優位置;pg為整個種群當前找到的最優位置;k是當前迭代次數；r1和r2為[0,1]之間的隨機數字；c1和c2被稱作習因子。vmax和vmin是常數,用來限制速度。w是慣性權重,它決定了先前速度對當前速度的影響程度，因此可以平衡全局收斂能力和局部收斂能力的比例關系。現有算法中,Shi等[10]提出的慣性權重值線性遞減(linearly decreasing weight,LDW)PSO算法在優化性能方面有顯著的效果,但是這種慣性權重值w遞減的策略也有其缺點:一方面,如果早期已找到全局最優點,則過大的權重值可能會使粒子跳出這個最優點，因此不能在其附近搜索，從而降低最優點的搜索能力;另一方面,如果在初期無法搜索到最優點，隨著后期w的逐漸減小，算法的局部收斂能力加強，使算法容易陷入局部最優[11-13]。綜上,本文提出一種慣性權重值適應性遞減(adaptively decreasing weight,ADW)的粒子群算法，簡稱ADW算法。在該算法中，慣性權重值不僅隨迭代次數的增加而遞減,而且會隨著粒子群進化而適應性改變。

為使慣性權重值在遞減的同時具有適應性，引入進化率的概率[14]:個體最優值決定全局最優值的變化,同時也反映了粒子的運動效果,在迭代過程中，當前迭代的個體最優值總要優于或至少等于上次迭代的個體最優值。因此，可以比較當前迭代的個體最優值與上次迭代的個體最優值，從而判斷粒子是否向全局最優位置進化。以尋找極小值問題為例,用s(i,k)判斷粒子是否進化，即

其中,pi,k表示到第k次迭代所找到的個體最優位置;F()為優化函數,當F(pi,k)

其中,npp為種群粒子個數,Ps(k)是[0,1]之間的一個值。較大的進化率值表示種群中大多數粒子發生進化,說明種群距全局最優位置較遠,需要相對較大的速度去尋找最優位置;而較小的進化率值表明粒子群在全局最優位置附近，不需要較大的速度去搜索。

綜上所述,可以通過進化率的大小來調節慣性權重值,使其在遞減的同時具有適應性。慣性權重值w可表示為

其中,kmax是最大迭代次數。這樣可以保證粒子具有較強的前期搜索能力和后期收斂能力,并有效避免了粒子早期跳出全局最優和后期陷入局部最優。

2　機床主軸優化數學模型的建立

數控機床主軸一般為多支撐的空心階梯軸,為便于使用材料力學公式進行結構分析,通常將階梯軸簡化為一當量直徑表示的等截面軸。圖1所示是一個已經簡化的機床主軸。

圖1　機床主軸變形簡圖

2.1確定設計變量

以主軸外直徑D、內直徑d和軸上各段長L作為設計變量。即

X=[d∑Di∑Li]T

2.2建立目標函數

以主軸體積最小和剛度最大為設計目標,其中剛度可用伸出端C點的撓度來表征。F1(x)為主軸撓度目標函數,F2(x)為主軸體積目標函數,則優化目標函數為

(1)

式中,λ1、λ2為加權因子,反映各分目標函數的重要程度;kA、kB分別為前后支承剛度,N/m;F為切削力;E為材料的彈性模量,Pa；I為主軸慣性矩，m4。

2.3約束條件

(1)強度約束。由于切削應力強度限制,建立強度約束:g1(x)=s-[τT]≤0。給定輸入功率和轉速的情況下,有

式中,D為主軸平均直徑;P為主軸傳遞功率,kW;n為主軸轉速,r/min;[τT]為主軸許用切削應力,Pa。

(2)撓度約束。由于主軸外伸端的撓度y不得超過許用值y0,建立剛度約束:g2(x)=y-y0≤0。即

式中,η為傳動效率;v為主軸線速度。

(4)扭轉變形約束。軸的扭轉變形條件為φ≤[φ],建立扭轉變形約束:g4(x)=φ-[φ]≤0。給定轉矩時,φ=5.73×104T/(GIp),則

式中,T為主軸的工作轉矩,N·m;G為剪切彈性模量,Pa；Ip為主軸極慣性矩,m4。

(5)轉角約束。軸的偏轉角θ應小于許用值[θ],建立轉角約束:g5(x)=θ-[θ]≤0,給定外力時,θ=FaL/(2EI),則

式中,[θ]為許用偏轉角,rad/m。

(6)動態性能約束。機床主軸具有一定靜剛度要求的基礎上,要保證主軸結構的動態特性。主要考慮主軸一階固有頻率f的約束,要求一階固有頻率不低于f0=1400 Hz,建立一階固有頻率約束：g6(x)=f0-f≤0,由鄧克萊法[15]計算可得到一階固有頻率近似值f,則

g6(x)=1400-

式中,g為重力加速度;m為圖1中主軸AB段的質量。

(7)設計變量邊界約束。由主軸各邊界尺寸,建立主軸尺寸邊界約束:

2.4基于粒子群算法構造適應度函數

根據優化目標函數及約束條件,可將問題轉化為在滿足gj(x)≤0(i=1,2,…,n)條件下求可行域內目標函數F(x)的極小值問題。采用罰函數法,實現約束優化問題向無約束優化問題轉化,則適應度函數fitness(x)=F(x)+p(x),其中,p(x)為懲罰函數。采用動態罰函數法得到數控機床主軸的適應度函數：

其中,通常取c=0.5,α=β=2。

3　主軸優化設計實現

3.1優化設計實例

以沈陽機床集團生產的SSCK40-750型機床主軸部件為例，進行基于ADW算法的機床主軸優化設計。最低轉速nmin=30 r/min,主電機功率P=7.5 kW,轉矩T=700 kN·mm,切削力F=3500 N,彈性模量E=160 GPa,剪切彈性模量G=80 GPa,密度ρ=7.4×10-6kg/mm3。該機床主軸結構如圖2所示。

圖2　主軸結構簡圖

由式(1),主軸的優化設計變量為

X=[dD1D2D3D4D6L1L2…L5]T

構造適應度函數：

fitness(x)=F(x)+p(x)=

其中,gj(x)為約束函數。且L=L4+L5,a=L1+L2+L3。

3.2結果分析

為了證明ADW算法的有效性，分別采用ADW算法和LDW算法對主軸適應度函數進行優化。主軸設計變量有11個,取粒子維數為11,每一維的范圍根據約束條件確定，種群粒子個數為20,最大迭代次數為300,c1=1.8,c2=1.8，wmax=0.9,wmin=0.4，vmax=1,vmin=-1,λ1=0.8,λ2=0.2,得到優化曲線如圖3所示。

圖3　優化過程圖

由圖3可知:ADW算法在收斂速度方面要優于LDW算法，ADW算法經過12次迭代后收斂,而LDW算法則經過25次迭代后收斂。在收斂精度方面,ADW算法也找到了較LDW算法更優的主軸適應度函數值。優化結果見表1。

對表1中優化前后的主軸參數數據進行分析比較：

(1)LDW算法結構參數優化結果為

L=L4+L5=291 mm

主軸剛度提高率為

主軸體積減小率為

(2)ADW算法結構參數優化結果為

L=L4+L5=292 mm

a=L1+L2+L3=135 mm

主軸剛度提高率為

主軸體積減小率為

從分析結果中可得:在主軸體積優化方面,ADW算法得到的主軸結構參數使得主軸體積較原有體積減小9.7%,而LDW算法使得主軸體積減小8.4%,優化結果相差1.3%,因此,ADW算法優化效果要優于LDW算法。在主軸剛度方面,ADW算法得到的主軸結構參數使主軸剛度較原有剛度提高3.5%,而LDW算法使主軸剛度提高2.9%,優化結果相差0.6%。

4　結論

(1)本文提出了一種適應性遞減的新型粒子群算法,引入Ps來衡量種群粒子的進化度,并將其作為慣性權重w的變量,使w具有適應性遞減的特性,從而改進算法性能,與LDW算法相比,ADW算法在收斂速度和收斂精度方面都體現了較好的效果。

(2)建立了主軸優化數學模型,以主軸剛度和體積為優化目標,在約束條件中,考慮動態約束條件——固有頻率的影響,同時引入強度約束、撓度約束、切削力約束、扭轉變形約束、轉角約束、設計變量邊界約束，使用鄧克萊法計算得到主軸一階固有頻率的近似值，加入動態性能約束，從而實現數控機床主軸優化數學模型的表達。

(3)主軸優化設計實例分析結果表明，應用ADW算法對主軸進行優化，能夠保證優化進程收斂，并且優化效果明顯，其中主軸剛度提高9.7%,主軸體積減小3.5%。

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(編輯陳勇)

Optimization Design of CNC Machine Tool Spindle Based on Improved PSO Algorithm

Zhu ChengshiGou YanshengLi TiejunLi Shangshuai

Shenyang University of Chemical Technology,Shenyang,110142

A mathematical model of CNC machine tool spindle optimization design was established by analyzing the spindle’s structure and the deformation under load under the working situations.A dynamic constraint was applied according to approximate value of first natural frequency calculated by Dunkerley.The PSO algorithm was applied to solve the problems of the traditional optimization design and a particle swarm algorithm with adaptively decreasing inertia weight(ADW) was presented.ADW algorithm was used to the example of CNC machine tool spindle’s optimization. The results show that the spindle structure parameter optimization can get from the mathematical model of CNC machine tool spindle optimization design and the improved PSO algorithm,the effectiveness of this method is demonstrated.

CNC machine tool spindle;mathematical model;particle swarm optimization(PSO) algorithm;inertia weight;optimization design

2015-01-16

國家自然科學基金資助項目(51375081)

TH133.2DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.015

朱成實，男，1962年生。沈陽化工大學工業與藝術設計系教授。研究方向為機械優化設計、機械設備智能故障診斷。發表論文30篇。勾延生,男,1990年生。沈陽化工大學機械工程學院碩士研究生。李鐵軍,男,1978年生。沈陽化工大學機械工程學院講師。李尚帥,男,1990年生。沈陽化工大學機械工程學院碩士研究生。