一般樣條濾波器及其在表面計量中的應用

樸偉英　袁怡寶　林海軍　許景波

1.哈爾濱理工大學,哈爾濱,150080　　2.哈爾濱工業大學,哈爾濱,150001

一般樣條濾波器及其在表面計量中的應用

樸偉英1袁怡寶2林海軍1許景波1

1.哈爾濱理工大學,哈爾濱,1500802.哈爾濱工業大學,哈爾濱,150001

提出了樣條濾波器的一般化表達式，由該表達式可以構造線性樣條濾波器、穩健樣條濾波和一般樣條濾波器。一般樣條濾波器保留了部分線性樣條濾波器的特性，又具有穩健性。采用Tucky估計,分別采用一般樣條濾波器、線性樣條濾波器與穩健樣條濾波器在表面計量中進行了對比實驗,實驗結果表明:當表面存在明顯的深谷和尖峰時，采用穩健樣條濾波器更為合適；當表面近似服從正態分布時，三種濾波器得到的表面粗糙度參數比較接近。

表面計量;樣條濾波器;穩健性;濾波中線

0　引言

在表面計量中,表面濾波中線的獲取是一個非常關鍵的問題, 眾多參數的計算均與之相關。

ISO11562和ISO16610-1規定用高斯濾波器獲取表面濾波中線[1-2]。高斯濾波器存在比較明顯的邊緣效應,為消除邊緣效應的影響，通常需要將原始輪廓首尾一定長度內的數據在濾波后舍棄，這會損失一部分有效測量數據。由于特殊的加工工藝,某些表面可能存在一些深谷和尖峰，高斯濾波器不具有穩健性,高斯濾波中線會在深谷和尖峰附近發生扭曲,不能正確反映表面形貌，導致表面參數不可靠。ISO13565-3提出用Rk濾波器來抑制深谷的影響[3]。Rk濾波器進行兩次高斯濾波,第一次濾波后將中線以下的點用中線替代,然后對修改后的輪廓數據進行第二次高斯濾波,獲取最終的中線。Rk濾波器能在一定程度上抑制深谷的影響，但不足以克服較大深谷的影響，而且Rk濾波器對尖峰無效。

為解決上述問題,眾多學者展開了研究。Krystek[4-5]將三次樣條函數與變分方法相結合,構造出三次線性樣條濾波器(linear spline filter),并通過遍歷搜索的方法來求解分段樣條系數以獲得最終的中線,濾波器采用自然邊界條件,在很大程度上抑制了邊緣效應。Goto等[6]將穩健估計理論引入樣條濾波器，構造了穩健樣條濾波器(robust spline filter)。穩健樣條濾波器是一種非線性濾波器，能夠抑制尖峰和深谷對濾波中線的影響。

表面濾波器直接決定了濾波中線的形成,而濾波中線對粗糙度參數的評定有重要影響。目前多種濾波器均被應用于表面計量[7],準確理解不同濾波器之間的關系有助于正確評定表面形貌。Zeng等[8]提出了泛化樣條濾波器，試圖將線性和非線性的穩健樣條濾波器統一在一個理論框架下。本文將線性樣條濾波器和穩健樣條濾波器相結合，提出了樣條濾波器的一般表達式,由該表達式可以構造一系列一般樣條濾波器(general spline filter),一般樣條濾波器既保留了線性樣條濾波器的部分特性,又具有穩健樣條濾波器的特性。線性樣條濾波器和穩健樣條濾波器可以解釋為一般樣條濾波器的兩個特例。推導了一般樣條濾波器的濾波方程,分別采用一般樣條濾波器、線性樣條濾波器和穩健樣條濾波器在表面計量中進行了濾波實驗，并比較了由三種濾波器得到的常用的表面粗糙度參數的異同。

1　樣條濾波器的一般化表達式

線性樣條濾波器可以用以下最小化問題描述:

(1)

其中,zk代表未濾波輪廓數據;wk代表濾波中線;數據μ為拉格朗日參數(Lagrange parameter)。式(1)等號右邊第一項代表濾波中線對數據的最小二乘擬合,第二項代表樣條曲線的彎曲能量。μ就是控制樣條曲線擬合程度和彎曲程度的折中參數,與樣條濾波器的截止波長密切相關。

最小二乘擬合不具有穩健性,濾波中線會受到深谷和尖峰這些異常信號的影響而發生扭曲,為此Goto等[6]提出了穩健樣條濾波器，其定義如下：

(2)

其中,δk為權。

穩健樣條濾波器的前一項為濾波中線對數據的加權最小二乘擬合,因此,穩健樣條濾波器可以抑制深谷等異常信號的影響，從穩健估計理論的角度來看，式(2)可以改寫為

(3)

其中,ρ(v)為穩健估計中M估計的ρ函數,v為自變量,函數ρ(v)前的系數2是為了平衡拉格朗日參數,以保證當μ相同時,穩健樣條濾波器與線性樣條濾波器具有相同的截止波長。函數ρ(v)與權函數δ(v)存在以下關系：

(4)

式中,ψ(v)為影響函數。

由式(1)和式(3),可以構造以下表達式：

(5)

上式稱為樣條濾波器的一般表達式,0≤γ≤1,當γ=1時,式(5)就是穩健樣條濾波器;當γ=0時,式(5)為線性樣條濾波器;當γ取其他值時,式(5)介于穩健樣條濾波器和線性樣條濾波器之間,可以稱為一般樣條濾波器。參數γ控制一般樣條濾波器的穩健程度，γ越接近1,一般樣條濾波器越接近穩健樣條濾波器,穩健性越強;γ越接近0,一般樣條濾波器越接近線性樣條濾波器，穩健性越弱。

2　一般樣條濾波器的求解

求解式(5)可以得到濾波方程：

[(1-γ)I+γδ(z-w)+μQ]w=

[(1-γ)I+γδ(z-w)]z

(6)

其中,I為單位矩陣,z、w為n維行向量,δ(z-w)為n×n維矩陣。δ(z-w)取值如下：

δ(z-w)=diag(δ0,δ1,…,δn-1)

(7)

δk=δ(zk-wk)

Q為n×n維系數矩陣。對于開輪廓,有

(8)

在表面計量中，要求在給定的截止波長處，濾波器的幅度傳輸特性為50%,據此可以得到μ值:

(9)

式(6)為一個穩健估計(robust estimation)問題,從利于計算機編程處理角度考慮,可以用選權迭代法(iteration method with variable weights)求解， 則式(6)可以改寫為

[(1-γ)I+γδ(m)(z-w(m))+μQ]w(m+1)=

[(1-γ)I+γδ(m)(z-w(m))]z

(10)

其中,m代表迭代次數,m=0,1,2,…。當γ=0,m=0時,式(10)變為

(I+μQ)w(1)=z

(11)

式(11)是線性樣條濾波方程,由式(11)可以得到線性樣條濾波中線數據w(1)。w(1)可以作為式(10)的初值,代入式(10)迭代計算，直到滿足條件max|w(m+1)-w(m)|≤ε|w(m)|時,迭代結束,ε代表一個很小的數。具體計算過程如下：①首先令式(10)中的γ=0,得到式(11)；②求解式(11),得到w的第一次估值;③選取其他γ值;④由z-w得到殘差,更新權函數δ;⑤再求解式(10),不斷迭代計算步驟④、⑤,直到前后兩次解的差值符合要求為止。

3　實驗

針對不同的工程表面,采用Tucky估計,比較線性樣條濾波器(γ=0)、穩健樣條濾波器(γ=1)與一般樣條濾波器(γ=0.5)的濾波中線數據。樣條濾波方程采用矩陣分解算法，計算程序使用MATLAB編寫。為了更準確地評價濾波中線對粗糙度輪廓的影響,分別計算由三種濾波中線得到的表面粗糙度參數Ra,Rq,Rsk,Rku,Rt,RSm,各參數取3位有效數字。為了消除邊緣效應的影響，首尾各半個取樣長度的數據在濾波后舍棄，不用于粗糙度參數的計算。

圖1所示為汽車發動機曲軸表面的濾波實驗結果,濾波器截止波長為0.8 mm。該表面的加工工藝為磨削后拋光,表面上存在許多深谷和尖峰。由實驗結果可以看出,穩健樣條濾波器能很好地抑制深谷和尖峰等異常信號的影響,穩健地獲取濾波中線。線性樣條濾波器受深谷和尖峰的影響，濾波中線偏離名義輪廓;一般樣條濾波器的濾波中線介于線性樣條濾波器和穩健樣條濾波器中線之間,也存在偏離名義輪廓的現象。

圖1　拋光表面線性樣條濾波器、一般樣條濾波器和穩健樣條濾波器的濾波中線比較

圖1表面的表面粗糙度參數見表1。可以看出,三者的表面粗糙度參數呈現出明顯的規律性。Ra逐漸減小,Rq、Rsk、Rt逐漸增大,顯示出粗糙度輪廓與濾波中線的高度相關性。由穩健樣條濾波器得到的RSm與另外兩者明顯不同，說明對于存在深谷和尖峰的輪廓，濾波中線的變化會引起RSm的明顯變化。Rq的物理意義與Ra類似，均表示表面的粗糙程度。在該例中，Ra更為準確地反映了表面的粗糙程度，而Rq卻與Ra呈現負相關的特性。這說明對于含有深谷和尖峰的輪廓，Rq不能正確反映表面形貌。Rsk、Rku分別代表表面的偏斜度和峭度，由于Rsk、Rku的計算過程也要使用Rq，故這兩個參數的準確性也存在疑問。

表1　拋光表面的粗糙度參數

圖2所示為磨削加工表面的濾波實驗結果,濾波器截止波長為0.8 mm。該表面的幅度概率密度分布具有近似正態分布的特征,由實驗結果可以看出,穩健樣條濾波中線仍然最平坦，線性樣條濾波中線彎曲程度最大,一般樣條濾波中線介于兩者之間。

圖2　磨削表面線性樣條濾波器、一般樣條濾波器和穩健樣條濾波器的濾波中線比較

圖2表面的粗糙度參數見表2,粗糙度輪廓是由原始輪廓減去濾波中線后得到的，三者濾波中線不同，粗糙度輪廓自然也不同，而三者的Ra幾乎相同，這說明Ra對表面輪廓的變化不敏感。RSm的差距也很小，說明對于近似服從正態分布的輪廓，濾波中線的微小變化對RSm的影響很小。Rq、Rsk、Rku、Rt則逐漸增大，根據實驗結果，一般來說，濾波中線越平坦，Rq越大。

表2　磨削表面的粗糙度參數

在實驗中還選取了其他γ值,結果表明一般樣條濾波中線始終介于線性樣條濾波中線和穩健樣條濾波中線之間,一般來說,隨著γ的增大,迭代次數增加,計算量也相應增加,濾波器的穩健性增強,濾波中線也越接近穩健樣條濾波中線，反之結果則相反。

由不同的一般樣條濾波器可以得到不同的一般樣條濾波中線,相應可以得到不同的表面粗糙度輪廓和粗糙度參數。實驗結果表明,Ra較為可靠,但Ra對表面粗糙度輪廓的變化不敏感，只有當輪廓出現較為明顯變化時,Ra才能有所反映。Rq與Ra呈現不同的變化規律，特別是對于不服從正態分布的表面,Rq與實際情況出入較大，因此，Rq不夠可靠，不能用來單獨表征表面粗糙度。Rsk、Rku、RSm、Rt等參數有一定的參考意義，但這些參數一般不能單獨使用。

4　結語

本文提出了樣條濾波器的一般化表達式，該表達式不僅建立了線性樣條濾波器與穩健樣條濾波器的關系，而且根據該表達式可以構造濾波器，選取不同的γ值可以得到穩健性不同的一般樣條濾波器。在表面計量中進行了應用實驗，實驗結果表明，當表面存在明顯的深谷和尖峰時，采用穩健樣條濾波器更為合適；當表面近似服從正態分布，不存在明顯的離群點時，三種濾波器得到的表面粗糙度參數比較接近。

[1]International Standard Organization .ISO 11562:1996.Geometrical Product Specifications(GPS)-Surface Texture: Profile Method-Metrological Characteristics of Phase Correct Filters[S].1996.

[2]International Standard Organization.ISO/TS 16610-211.Geometrical Product Specifications(GPS)-Filtration-Part 21:Linear Profile Filters:Gaussian Filters[S].2011.

[3]ISO 13565-1.Geometrical Product Specification(GPS)-Surface Texture:Profile Method Surfaces Having Stratified Functional Properties.Part 1.Filtering and General Measurement Conditions[S].1996.

[4]Krystek M.Form Filtering by Splines[J].Measurement,1996,18(1):9-15.

[5]Krystek M.Discrete L-spline Filtering in Roundness Measurements[J].Measurement,1996,18(2):129-138.

[6]Goto T,Miyakura J, Umeda K. A Robust Spline Filter on the Basis of L2-Norm[J]. Precision Engineering, 2005, 29(2):157-161.

[7]Raja J,Muralikrishnan B,Fu Shengyu.Recent Advances in Separation of Roughness,Waviness and Form[J].Precision Engineering,2002,26(2):222-235.

[8]Zeng W,Jiang X,Scott P.A Generalised Linear and Nonlinear Spline Filter[J].Wear,2011,271(3/4):544-547.

(編輯陳勇)

A General Spline Filter and Its Applications in Surface Metrology

Park Weiying1Yuan Yibao2Lin Haijun1Xu Jingbo1

1.Harbin University of Science and Technology,Harbin,150080 2.Harbin Institute of Techniology,Harbin,150001

A general expression of spline filter was proposed and the linear spline filter,robust spline filter and general spline filter could be derived from this expression.The general spline filter kept the characteristics of the linear spline filter partly,and had the characteristics of robustness.Using Tucky estimation,all of the three kinds of spline filter were compared in surface metrology.The experimental results show that the rubost spline filter is more suitable while there are some deep valleys and high peaks in the surface;the roughness parameters of all spline filters are close while the surface approximately fits normal distribution.

surface metrology;spline filter;robustness;reference line

2015-01-28

國家自然科學基金資助項目(61179024);黑龍江省基金資助項目(12541152)

TB921DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.20.006

樸偉英,男,1976年生。哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院講師、博士。主要研究方向為濾波方法。袁怡寶,男,1964年生。哈爾濱工業大學電氣工程與自動化學院教授、博士。林海軍,男,1967年生。哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院教授、博士。許景波，男，1973年生。哈爾濱理工大學測控技術與通信工程學院教授、博士。